Monoide

En álgebra abstracta, un monoide es una estructura algebraica con una operación binaria, que es asociativa y tiene elemento neutro, es decir, es un semigrupo con elemento neutro.

Definición formal

Un monoide $(A,\circledcirc )$ es una estructura algebraica en la que $A\,$ es un conjunto y $\circledcirc$ es una operación binaria interna en $A\,$:

${\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}$

Que cumple las siguientes tres propiedades (la primera es redundante con la definición):​

Operación interna: para cualquiera de los dos elementos del conjunto A operados bajo $\circledcirc$, el resultado siempre pertenece al mismo conjunto A. Es decir: $\forall x,y\in A\;:\quad x\circledcirc y\in A$ Asociatividad: para cualquier elemento del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos (ver grupo abeliano), siempre dará el mismo resultado. Es decir: $\forall x,y,z\in A\;:\quad x\circledcirc (y\circledcirc z)=(x\circledcirc y)\circledcirc z$ Elemento neutro: existe un (único) elemento, e, en A que es neutro de la operación $\circledcirc$, es decir: $\exists \ !e\in A\;,\quad \forall x\in A\;:\quad e\circledcirc x=x\circledcirc e=x$

Es fácil demostrar que el elemento neutro es necesariamente único por lo que es redundante exigir su unicidad en este axioma o propiedad. En esencia, un monoide es un semigrupo con elemento neutro.

Conmutatividad

Si además se cumple la propiedad conmutativa:

Conmutatividad: un conjunto A tiene la propiedad conmutativa respecto a la operación interna $\circledcirc$ si: $\forall a,b\in A\;:\quad a\circledcirc b=b\circledcirc a$

Se dice que es un monoide conmutativo o abeliano.

Ejemplos

Concatenación de cadenas alfanuméricas

Dado un conjunto A de caracteres alfanuméricos, que llamaremos alfabeto, una cadena alfanumerica del alfabeto A es una secuencia de elementos de A en cualquier orden y de cualquier longitud, si tomas el conjunto como:

$A=\{d,e,f,g,5,8,9\}$

Cadenas del alfabeto​ A, que representamos C(A) pueden ser:

$\langle fdggdd\rangle$

$\langle df5d8\rangle$

$\langle 888\rangle$

$\langle eeefeffe\rangle$

La cadena vacía, la que no tiene ningún carácter, sería:

$\langle \rangle$

Definimos la operación $\|$ de concatenación de cadenas del alfabeto A como:

${\begin{array}{rccl}\|:&C(A)\times C(A)&\to &C(A)\\&(a,b)&\to &c=a\|b\end{array}}$

que podemos representar, de las siguientes formas:

• $\langle egdd\rangle \|\langle dfdf\rangle \;\to \;\langle egdddfdf\rangle$

• $\langle 589\rangle \|\langle gg\rangle \;\to \;\langle 589gg\rangle$

podemos ver que $(C(A),\|)$ tiene estructura algebraica de monoide:

1.- Es una operación interna: para cualquiera dos cadenas del alfabeto A su concatenación es una cadena de A:

$\forall a,b\in C(A):\quad a\|b\in C(A)$.

2.- Es asociativa:

$\forall a,b,c\in C(A):\quad a\|(b\|c)=(a\|b)\|c\;$

3.- Tiene elemento neutro: para todo elemento a cadena de caracteres de A, existe la cadena vacía $\langle \rangle$ de A, de modo que:

$\forall a\in C(A):\quad \exists \,\langle \rangle :\quad \langle \rangle \|a=a\|\langle \rangle =a$

La concatenación de cadenas de caracteres no es conmutativa:

$a,b\in C(A):\quad a\|b\neq b\|a$

Siendo a, b de C(A) la concatenación de a con b no es igual a la concatenación de b con a.

Luego la concatenación de cadenas alfanuméricas es un monoide no conmutativo.

Multiplicación de números naturales

Partiendo del conjunto de los números naturales:

$\mathbb {N} =\{1,2,3,4,\dots \}\,$

y la operación multiplicación, podemos ver que: $(\mathbb {N} ,\times )$ es un monoide

1.- Es una operación interna: para cualquiera dos números naturales su multiplicación es un número natural:

$\forall a,b\in \mathbb {N} :\quad a\times b\in \mathbb {N}$.

2.- Es asociativa:

$\forall a,b,c\in \mathbb {N} :\quad a\times (b\times c)=(a\times b)\times c\;$

3.- Tiene elemento neutro: el 1 en N, es neutro para todos los números naturales ya que cumple:

$\exists \,1\in \mathbb {N} :\quad \forall a\in \mathbb {N} :\quad 1\times a=a\times 1=a$

4.- La multiplicación de números naturales es conmutativa:

$\forall a,b\in A:\quad a\times b=b\times a\;$

El conjunto de los números naturales, bajo la operación multiplicación: $(\mathbb {N} ,\times )$, tiene estructura algebraica de monoide conmutativo o abeliano.

En la teoría de categorías

Una categoría monoidal^{[cita requerida]}, es una categoría con una operación binaria que convierte a la categoría en un monoide. Dos ejemplos:

1. La categoría de conjuntos con la unión disjunta de conjuntos y el conjunto vacío como elemento neutro.
2. La categoría $\mathbf {Vect} _{\mathbb {K} }$ de los espacios vectoriales sobre un campo $\mathbb {K}$ junto con el producto tensorial de espacios vectoriales y a $\mathbb {K}$ como el elemento neutro.

Véase también

Grupo Monoide Semigrupo Magma Conjunto Ley de composición Interna Asociatividad Elemento neutro Elemento simétrico

Referencias

Bibliografía

1. Gutiérrez Gómez, Andrés; García Castro, Fernando. Álgebra lineal (2 edición). Ediciones Pirámide, S.A. ISBN 978-84-368-0174-3. 

Enlaces externos

• Enciclopedia Libre Universal en Español: Monoide
• CIENCIA.NET: Monoide (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).

• Datos: Q208237
• Multimedia: Monoids / Q208237