Forma bilineal

En matemáticas, una forma bilineal sobre un espacio vectorial V es una aplicación bilineal V × V → K, donde K es el cuerpo de escalares. En otras palabras, una forma bilineal es una función que asocia un escalar a cada par de vectores, tal que es lineal en cada uno de sus argumentos por separado.^[1]

Cuando K es el cuerpo de números complejos C, es más interesante hablar de formas sesquilineales, que son similares a las formas bilineales pero son conjugadas lineales en un argumento.

Definición

Dados un cuerpo K y un K-espacio vectorial V, una forma bilineal es una aplicación

f:V\times V\to K

que verifica:^[1]

$\ f(u_{1}+u_{2},v)=f(u_{1},v)+f(u_{2},v)$
$\ f(u,v_{1}+v_{2})=f(u,v_{1})+f(u,v_{2})$
$\ f(au,v)=af(u,v)$
$\ f(u,av)=af(u,v)$

para cualquier $a\in K$ y $u,v,u_{1},u_{2},v_{1}\ y\ v_{2}\in V$

También se puede definir una forma bilineal como un caso particular de una forma multilineal, en particular como un tensor de tipo (0,2).

Si el cuerpo K es el cuerpo de números complejos C, se puede definir una forma sesquilineal como:

$\ f(u_{1}+u_{2},v)=f(u_{1},v)+f(u_{2},v)$
$\ f(u,v_{1}+v_{2})=f(u,v_{1})+f(u,v_{2})$
$\ f(au,v)=af(u,v)$
$\ f(u,av)={\overline {a}}f(u,v)$

donde ${\overline {a}}$ , en la última condición, denota al complejo conjugado.

Se dice que una forma sesquilineal f es hermítica si es igual a su conjugada

se denomina que una forma hermítica f es positiva si a f (v, v)≥ 0^[2]

Ejemplos

El producto escalar en el espacio euclideo es una forma bilineal. En particular, dados dos vectores en el plano bidimensional $\mathbb {R} ^{2}$ de la forma $u=(a,b)$ y $v=(c,d)$ , su producto escalar viene dado por:
$\ \langle u,v\rangle =ac+bd$
que se puede verificar que es una forma bilineal.
El determinante de una matriz cuadrada de dimensión dos es una forma bilineal, con respecto a los vectores columna de la matriz. Dados dos vectores en el plano bidimensional $\mathbb {R} ^{2}$ , $u=(a,b)$ y $v=(c,d)$ , y sea
$M={\begin{bmatrix}u&v\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}$
se define
$f:\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\ f(u,v)=ad-bc$
denotado más comúnmente por
$\det(M)=ad-bc$ .

Propiedades

De la definición se tienen las siguientes propiedades:

$\ f(u,0)=f(0,u)=0$
$\ f(-u,v)=f(u,-v)=-f(u,v)$
$\ f(\sum _{i}a_{i}u_{i},\sum _{j}b_{j}v_{j})=\sum _{i}\sum _{j}a_{i}b_{j}f(u_{i},v_{j})$

para todo $a\in K$ y $u,v,u_{1},u_{2},v_{1},v_{2}\in V$

Forma bilineal simétrica y antisimétrica

Una forma bilineal puede tener un comportamiento especialmente simple frente al intercambio de los argumentos; aún en el caso de que no lo tenga, se puede descomponer de manera única en dos formas bilineales que sí lo tienen.

Forma bilineal simétrica

Una forma bilineal simétrica es aquella que es conmutativa, por lo que se puede intercambiar el primer con el segundo argumento sin variar la imagen:

\ f(u,v)=f(v,u)

Como ejemplo se tiene que el producto escalar en el espacio euclídeo es una forma bilineal simétrica.

Forma bilineal antisimetrica

Una forma bilineal antisimétrica es aquella en la que el intercambio de argumentos provoca un cambio de signo:

\ f(u,v)=-f(v,u)

en particular se tiene que $\ f(v,v)=0$

Un ejemplo de ello es el símbolo de Levi-Civita bidimensional.

Descomposición de una forma bilineal cualquiera

Dada una forma bilineal cualquiera se puede definir su forma bilineal simétrica como:

\ f_{S}={\frac {1}{2}}(f(x,y)+f(y,x))

Análogamente la forma bilineal antisimétrica se define como:

\ f_{T}={\frac {1}{2}}(f(x,y)-f(y,x))

Las formas así definidas componen la forma original:

\ f(x,y)=f_{S}(x,y)+f_{T}(x,y)

Matriz asociada

Una forma bilineal se puede expresar de manera sencilla en forma matricial. Dadas una forma bilineal $f:V\times V\to K$ y una base $B=\{e_{1},..,e_{n}\}$ del espacio vectorial V, se define la matriz asociada a la forma f respecto de la base B como:^[3]

\mathbb {A} =\;{\begin{pmatrix}a_{(1,1)}&a_{(1,2)}&\cdots &a_{(1,n)}\\a_{(2,1)}&a_{(2,2)}&\cdots &a_{(2,n)}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{(n,1)}&a_{(n,2)}&\cdots &a_{(n,n)}\end{pmatrix}}

Donde cada entrada de la matriz es la imagen de los correspondientes vectores de la base por f: $a_{(i,j)}=f(e_{i},e_{j})$ . Con la matriz así definida, la imagen por f de los vectores $u=(u_{1},..,u_{n})$ y $v=(v_{1},..,v_{n})$ sería:

f(u,v)=u^{t}\cdot \mathbb {A} \cdot v=(u_{1},u_{2},...,u_{n})\cdot {\begin{pmatrix}a_{(1,1)}&a_{(1,2)}&\cdots &a_{(1,n)}\\a_{(2,1)}&a_{(2,2)}&\cdots &a_{(2,n)}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{(n,1)}&a_{(n,2)}&\cdots &a_{(n,n)}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}

Nótese que por ser $f(u,v)\in K$ un escalar, se verifica que

f(u,v)=u^{t}\mathbb {A} v=v^{t}\mathbb {A} ^{t}u={{\Big [}f(u,v){\Big ]}}^{t}

Bajo estas condiciones, puede demostrarse la siguiente propiedad.

Las matrices asociadas a formas simétricas son simétricas, y las matrices asociadas a formas antisimétricas son antisimétricas.

Demostración
El enunciado puede reescribirse como un par de implicaciones dobles. f es simétrica si y sólo si su matriz asociada es simétrica. f es antisimétrica si y sólo si su matriz asociada es antisimétrica. con la sustitución de las definiciones correspondientes, se tiene para todo u, v en V, $f(u,v)=f(v,u)\iff \mathbb {A} =\mathbb {A} ^{t}$ por un lado, y $f(u,v)=-f(v,u)\iff \mathbb {A} =-\mathbb {A} ^{t}$ . Se demuestra cada proposición por separado. $\Longrightarrow )$ por hipótesis, $f(u,v)=f(v,u)$ luego $0=f(u,v)-f(v,u)=u^{t}\cdot \mathbb {A} \cdot v-u^{t}\cdot \mathbb {A} ^{t}\cdot v=u^{t}\cdot \left(\mathbb {A} -\mathbb {A} ^{t}\right)\cdot v$ como la igualdad es cierta para todo u, v tiene que ser $\mathbb {A} =\mathbb {A} ^{t}$ . $\Longleftarrow )$ Escribimos nuevamente a f en forma matricial $f(u,v)=u^{t}\cdot \mathbb {A} \cdot v=v^{t}\cdot \mathbb {A} ^{t}\cdot u$ pero como por hipótesis $\mathbb {A} ^{t}=\mathbb {A}$ , $f(u,v)=v^{t}\cdot \mathbb {A} \cdot u=f(v,u)$ . $\Longrightarrow )$ La prueba es análoga. $0=f(u,v)+f(v,u)=u^{t}\cdot \mathbb {A} \cdot v+u^{t}\cdot \mathbb {A} ^{t}\cdot v=u^{t}\cdot \left(\mathbb {A} +\mathbb {A} ^{t}\right)\cdot v$ por lo tanto $\mathbb {A} =-\mathbb {A} ^{t}$ . $\Longleftarrow )$ Escribimos nuevamente a f en forma matricial $f(u,v)=u^{t}\cdot \mathbb {A} \cdot v=-u^{t}\cdot \mathbb {A} ^{t}\cdot v=-v^{t}\cdot \mathbb {A} \cdot u=-f(v,u)$ ∎