Forma multilineal

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En matemáticas, dado un anillo conmutativo, una función multilineal es una función de n argumentos de n espacios vectoriales respectivos. Dicha función se caracteriza por respetar la suma de vectores y la multiplicación escalar en cualquiera de las coordenadas.

Definición[editar]

Sea R un anillo conmutativo (por ejemplo R = \mathbb R \! o R = \mathbb C \! ) y V_1 , \ldots V_n,W espacios vectoriales sobre R.

Una función  V_1 \times V_2 \times \cdots \times V_n \stackrel{f}{\longrightarrow} W se dice multilineal si es lineal en cada argumento, es decir, para i\leq i \leq n y r \in R, se cumple
f(x_1,\ldots,x_i + x_i',\ldots,x_n) = f(x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_n)+f(x_1,\ldots, x_i',\ldots,x_n),
y,
f(x_1,\ldots,r \cdot x_i,\ldots,x_n) = r \cdot f(x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_n).

Se puede demostrar que la colección de todas las funciones multilineales de V_1 , \ldots V_n en W es un R-espacio vectorial respecto a las operaciones usuales de suma y multiplicación escalar de funciones. Dicho espacio se denota por {\mathcal M}(V_1,\ldots,V_n;W). Si V_1=\cdots=V_n=V y W=R, el espacio se denota por {\mathcal M}_n(V;R).

Funciones multilineales especiales[editar]

Sea V un R-espacio vectorial y f \in {\mathcal M}_n(V;R), es decir,  \underbrace{V \times \cdots \times V}_{n\mbox{-veces}} \stackrel{f}{\longrightarrow} R. En álgebra abstracta a una función como f se le llama tensor y el conjunto de tensores de n argumentos sobre el espacio vectorial V se denota por {\mathcal T}_n (V). En otras palabras, {\mathcal T}_n (V)={\mathcal M}_n(V;R).

Se puede demostrar que:

{\mathcal T}_n (V):={\mathcal M}_n(V;R) \cong (\underbrace{V \otimes \cdots \otimes V}_{n\mbox{-veces}})^* \cong \underbrace{V^* \otimes \cdots \otimes V^*}_{n\mbox{-veces}}

donde V^* denota el espacio dual, y \otimes denota el producto tensorial.

Tensor simétrico[editar]

Un tensor f \in {\mathcal T}_n (V) se dice simétrico si para cada permutación \pi del grupo simétrico S_n y cualquier elemento (v_1,\ldots,v_n) \in V \times \cdots \times V se cumple f(\pi(v_1),\ldots,\pi(v_n))=f(v_1,\ldots,v_n). El R-espacio vectorial de todos los tensores simétricos se denota por {\mathcal S}_n (V) y obviamente, {\mathcal S}_n (V) \subset {\mathcal T}_n (V).

Tensor antisimétrico[editar]

Un tensor f \in {\mathcal T}_n (V) se dice antisimétrico si para cada permutación \pi del grupo simétrico S_n y cualquier elemento (v_1,\ldots,v_n) \in V \times \cdots \times V se cumple f(\pi(v_1),\ldots,\pi(v_n))=(-1)^{\pi}f(v_1,\ldots,v_n), donde (-1)^{\pi} denota el signo de la permutación. El R-espacio vectorial de todos los tensores antisimétricos se denota por {\mathcal A}_n (V) y obviamente, {\mathcal A}_n (V) \subset {\mathcal T}_n (V).

Tensor alternado[editar]

Un tensor f \in {\mathcal T}_n (V) se dice alternado si dado (v_1,\ldots,v_n) \in V \times \cdots \times V con la particularidad de que v_i = v_j para algún par de índices i \neq j, se tiene que f(v_1,\ldots,v_n)=0. El R-espacio vectorial de todos los tensores alternados se denota por {\mathcal AL}_n (V) y {\mathcal AL}_n (V) \subset {\mathcal A}_n (V) \subset {\mathcal T}_n (V). Además, cuando en el anillo conmutativo R el 2 es invertible, entonces se tiene la igualdad {\mathcal AL}_n (V) = {\mathcal A}_n (V).

Bibliografía[editar]

Lezama, O., Cuadernos de Álgebra, No. 4: Álgebra Lineal, SAC²: Seminario de Álgebra Constructiva, Departamento de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá. http://www.matematicas.unal.edu.co/sac2/