Forma bilineal

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En matemáticas, y más concretamente en álgebra lineal, una forma bilineal sobre un espacio vectorial es una aplicación que asocia un escalar a cada par de vectores, tal que es lineal en cada uno de sus argumentos por separado.[1]

Definición[editar]

Dados un cuerpo K y un K-espacio vectorial V, una forma bilineal es una aplicación

que verifica:[1]

para cualquier y

También se puede definir una forma bilineal como un caso particular de una forma multilineal, en particular como un tensor de tipo (0,2).

Ejemplos[editar]

  • El producto escalar en el espacio euclideo es una forma bilineal. En particular, dados dos vectores en el plano bidimensional de la forma u=(a,b) y v=(c,d), su producto escalar viene dado por:
    que se puede verificar que es una forma bilineal.
  • El determinante de una matriz cuadrada de dimensión dos es una forma bilineal, con respecto a los vectores columna de la matriz. Dados dos vectores en el plano bidimensional u=(a,b) y v=(c,d), y sea

    se define

    denotado más comúnmente por

    .

Propiedades[editar]

De la definición se tienen las siguientes propiedades:

para todo y

Forma bilineal simétrica y antisimétrica[editar]

Una forma bilineal puede tener un comportamiento especialmente simple frente al intercambio de los argumentos; aún en el caso de que no lo tenga, se puede descomponer de manera única en dos formas bilineales que sí lo tienen.

Forma bilineal simétrica[editar]

Una forma bilineal simétrica es aquella que es conmutativa, por lo que se puede intercambiar el primer con el segundo argumento sin variar la imagen:

Como ejemplo se tiene que el producto escalar en el espacio euclídeo es una forma bilineal simétrica.

Forma bilineal antisimetrica[editar]

Una forma bilineal antisimétrica es aquella en la que el intercambio de argumentos provoca un cambio de signo:

en particular se tiene que

Un ejemplo de ello es el símbolo de Levi-Civita bidimensional.

Descomposición de una forma bilineal cualquiera[editar]

Dada una forma bilineal cualquiera se puede definir su forma bilineal simétrica como:

Análogamente la forma bilineal antisimétrica se define como:

Las formas así definidas componen la forma original:

Matriz asociada[editar]

Una forma bilineal se puede expresar de manera sencilla en forma matricial. Dadas una forma bilineal y una base del espacio vectorial V, se define la matriz asociada a la forma f respecto de la base B como:[2]

Donde cada entrada de la matriz es la imagen de los correspondientes vectores de la base por f: . Con la matriz así definida, la imagen por f de los vectores y sería:

Nótese que por ser un escalar, se verifica que

Bajo estas condiciones, puede demostrarse la siguiente propiedad.

Las matrices asociadas a formas simétricas son simétricas, y las matrices asociadas a formas antisimétricas son antisimétricas.

Demostración
El enunciado puede reescribirse como un par de implicaciones dobles.
  1. f es simétrica si y sólo si su matriz asociada es simétrica.
  2. f es antisimétrica si y sólo si su matriz asociada es antisimétrica.

con la sustitución de las definiciones correspondientes, se tiene para todo u, v en V,

  1. por un lado, y
  2. .

Se demuestra cada proposición por separado.

  1. por hipótesis, luego

    como la igualdad es cierta para todo u, v tiene que ser

    .

    Escribimos nuevamente a f en forma matricial

    pero como por hipótesis ,

    .

  2. La prueba es análoga.

    por lo tanto .

    Escribimos nuevamente a f en forma matricial

Forma cuadrática asociada[editar]

Dada una forma bilineal, se puede definir su forma cuadrática asociada como:

dado por

Además, cada forma cuadrática tiene una forma bilineal asociada denominada forma polar.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Notas[editar]

  1. a b Weisstein, Eric W. «Forma bilineal». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Consultado el 13 de abril de 2014. 
  2. (Merino y Santos , 2006, p. 270)

Bibliografía[editar]

  • Merino, Luis; Santos, Evangelina (2006). Álgebra lineal con métodos elementales. Paraninfo. ISBN 9788497324816. 

Enlaces externos[editar]