Forma bilineal

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En álgebra, una forma bilineal sobre un espacio vectorial es una aplicación que asocia un escalar a cada par de vectores, tal que es lineal en cada uno de sus argumentos por separado.[1]

Definición[editar]

Dados un cuerpo K y un K-espacio vectorial V, una forma bilineal es una aplicación

que verifica:[1]

para cualquier y

También se puede definir como una forma bilineal como un caso particular de una forma multilineal, en particular como un tensor de tipo (0,2).

Ejemplo[editar]

El producto escalar en el espacio euclideo (el plano bidimensional) es una forma bilineal. En particular, dados dos vectores en de la forma u=(a,b) y v=(c,d), su producto escalar viene dado por:

que se puede verificar que es una forma bilineal.

Propiedades[editar]

De la definición se tienen las siguientes propiedades:

para todo y

Forma bilineal simétrica y antisimétrica[editar]

Una forma bilineal puede tener un comportamiento especialmente simple frente al intercambio de los argumentos; aún en el caso de que no lo tenga, se puede descomponer de manera única en dos formas bilineales que sí lo tienen.

Forma bilineal simétrica[editar]

Una forma bilineal simétrica es aquella que es conmutativa, por lo que se puede intercambiar el primer con el segundo argumento sin variar la imagen:

Como ejemplo se tiene que el producto escalar en el espacio euclídeo es una forma bilineal simétrica.

Forma bilineal antisimetrica[editar]

Una forma bilineal antisimétrica es aquella en la que el intercambio de argumentos provoca un cambio de signo:

en particular se tiene que

Un ejemplo de ello es el símbolo de Levi-Civita bidimensional.

Descomposición de una forma bilineal cualquiera[editar]

Dada una forma bilineal cualquiera se puede definir su forma bilineal simétrica como:

Análogamente la forma bilineal antisimétrica se define como:

Las formas así definidas componen la forma original:

Forma cuadrática asociada[editar]

Dada una forma bilineal, se puede definir su forma cuadrática asociada como:

dado por

Además, cada forma cuadrática tiene una forma bilineal asociada denominada forma polar.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Notas[editar]

  1. a b Weisstein, Eric W. «Forma bilineal». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. Consultado el 13 de abril de 2014. 

Bibliografía[editar]

  • Luis Merino, Evangelina Santos (2006). Álgebra lineal con métodos elementales. Paraninfo. ISBN 9788497324816. 

Enlaces externos[editar]