Geometría compleja

En matemáticas, la geometría compleja es el estudio de las estructuras y construcciones geométricas que surgen de los números complejos o están descritas por ellos. En particular, se ocupa del estudio de espacios tales como variedades complejas y variedades algebraicas complejas, funciones de múltiples variables complejas y construcciones holomorfas como haces de vectores holomórficos y paquetes coherentes. La aplicación de métodos trascendentes a la geometría algebraica cae en esta categoría, junto con aspectos más geométricos del análisis complejo.

La geometría compleja se encuentra en la intersección de la geometría algebraica, la geometría diferencial y el análisis complejo, y utiliza herramientas de las tres áreas. Debido a la combinación de técnicas e ideas de diversas áreas, los problemas de geometría compleja suelen ser más manejables o concretos que otros tipos de cuestiones en general. Por ejemplo, la clasificación de variedades complejas y variedades algebraicas complejas a través de un programa de modelo mínimo y la construcción de espacio de módulos distingue el campo de la geometría diferencial, donde la clasificación de posibles variedad diferenciables es un problema significativamente más difícil. Además, la estructura adicional de geometría compleja permite, especialmente en su configuración compacta, que los resultados de análisis global se prueben con gran éxito, incluida la prueba de Shing-Tung Yau de la conjetura de Calabi, la correspondencia de Hitchin-Kobayashi), la correspondencia no abeliana de Hodge y resultados de existencia para métricas de Kähler-Einstein y para la métrica de Kähler de curvatura escalar constante. Estos resultados a menudo retroalimentan la geometría algebraica compleja y, por ejemplo, recientemente la clasificación de variedades de Fano usando la K-estabilidad se ha beneficiado enormemente tanto de las técnicas de análisis como de la geometría birracional pura.

La geometría compleja tiene aplicaciones importantes en la física teórica, donde es esencial para comprender la teoría conforme de campos; y la teoría de cuerdas y su simetría especular. A menudo es una fuente de ejemplos en otras áreas de las matemáticas, incluso en la teoría de representación, donde las variedades de banderas generalizadas puede estudiarse utilizando geometría compleja que conduce al teorema de Borel-Weil-Bott, o en topología simpléctica, donde las variedades de Kähler son simplécticas, en Geometría de Riemann donde las variedades complejas proporcionan ejemplos de estructuras métricas exóticas como como la variedad de Calabi-Yau y la hípervariedad de Kähler, y en teoría de calibres, donde los haces de vectores holomorfos a menudo permiten obtener soluciones para ecuaciones diferenciales importantes que surgen de la física, como las ecuaciones de Yang-Mills. La geometría compleja también tiene un impacto en la geometría algebraica pura, donde los resultados analíticos en entornos complejos, como la teoría de Hodge de variedades de Kähler inspiran la comprensión de la estructura de Hodge para variedades y esquemas, así como la teoría p-ádica de Hodge, una teoría de la deformación para variedades complejas inspira la comprensión de la teoría de deformación de los esquemas, y los resultados sobre la cohomología de variedades complejas inspiraron la formulación de las conjeturas de Weil y las conjeturas estándar de Alexander Grothendieck. Por otro lado, los resultados y técnicas de muchos de estos campos a menudo retroalimentan la geometría compleja y, por ejemplo, los avances en las matemáticas de la teoría de cuerdas y la simetría especular han revelado mucho sobre la naturaleza de las variedades de Calabi-Yau, que los teóricos de cuerdas predicen que debería tener la estructura de fibraciones lagrangianas a través de la conjetura SYZ, y el desarrollo de la teoría de Gromov–Witten de variedades simplécticas ha llevado a avances en geometría enumerativa de variedades complejas.

La conjetura de Hodge, uno de los problemas del milenio, es una cuestión de geometría compleja.​

Idea general

Un ejemplo típico de espacio complejo es la esfera de Riemann. Puede verse como una esfera, una variedad suave que surge de la geometría diferencial, o como una esfera de Riemann, una extensión del plano complejo agregando un punto del infinito

En términos generales, la geometría compleja se refiere a spaces y geometric objects que, en cierto sentido, están modelados en plano complejo. Características del plano complejo y análisis complejo de una sola variable, como una noción intrínseca de orientabilidad (es decir, poder rotar consistentemente 90 grados en sentido antihorario en cada punto del plano complejo) y la rigidez de holomorphic functions (es decir, la La existencia de una única derivada compleja implica una diferenciabilidad compleja en todos los órdenes) se manifiestan en todas las formas de estudio de la geometría compleja. Como ejemplo, cada variedad compleja es canónicamente orientable, y una forma de Liouville's theorem se aplica a variedades complejas compact o variedades algebraicas complejas projective.

La geometría compleja tiene un sabor diferente a lo que podría llamarse geometría "real", el estudio de espacios basado en las propiedades geométricas y analíticas del recta real. Por ejemplo, mientras que los variedad diferenciable admiten partitions of unity, colecciones de funciones suaves que pueden ser idénticamente iguales a uno en algunos conjunto abierto e idénticamente cero en otros lugares, las variedades complejas no admiten tales colecciones de funciones holomorfas. De hecho, esta es la manifestación del identity theorem, un resultado típico en un análisis complejo de una sola variable. En cierto sentido, la novedad de la geometría compleja puede remontarse a esta observación fundamental.

Es cierto que toda variedad compleja es, en particular, una variedad realmente suave. Esto se debe a que el plano complejo $\mathbb {C}$ es, después de olvidar su estructura compleja, isomorfo al plano real $\mathbb {R} ^{2}$. Sin embargo, la geometría compleja no suele verse como un subcampo particular de geometría diferencial, el estudio de variedades suaves. En particular, Serre de GAGA theorem dice que cada projective analytic variety es en realidad un variedad algebraica, y el estudio de datos holomórficos en una variedad analítica es equivalente al estudio de datos algebraicos.

Esta equivalencia indica que la geometría compleja está, en cierto sentido, más cerca de geometría algebraica que de geometría diferencial. Otro ejemplo de esto que se relaciona con la naturaleza del plano complejo es que, en el análisis complejo de una sola variable, las singularidades de función meromorfa son fácilmente describibles. En cambio, la posibilidad El comportamiento singular ble de una función continua de valor real es mucho más difícil de caracterizar. Como resultado de esto, se pueden estudiar fácilmente espacios singular en geometría compleja, como analytic varieties complejo singular o variedades algebraicas complejas singulares, mientras que en geometría diferencial a menudo se evita el estudio de espacios singulares.

En la práctica, la geometría compleja se encuentra en la intersección de la geometría diferencial, la geometría algebraica y análisis en múltiples variables complejas, y un geómetra complejo utiliza herramientas de los tres campos para estudiar espacios complejos. Las direcciones típicas de interés en geometría compleja involucran classification de espacios complejos, el estudio de objetos holomorfos adjuntos a ellos (como holomorphic vector bundle y coherent sheaves) y las relaciones íntimas entre objetos geométricos complejos y otras áreas de las matemáticas y la física.

Definiciones

La geometría compleja se ocupa del estudio de variedad compleja, complex algebraic y complex analytic varieties. En esta sección se definen estos tipos de espacios y se presentan las relaciones entre ellos.

Una variedad compleja es una espacio topológico $X$ tal que:

• $X$ es Hausdorff y segundo axioma de numerabilidad.
• $X$ es localmente homeomorfismo para un subconjunto abierto de $\mathbb {C} ^{n}$ para algunos $n$. Es decir, para cada punto $p\in X$, existe un entorno (matemática) $U$ de $p$ y un homeomorfismo $\varphi :U\to V$ a un subconjunto abierto $V\subseteq \mathbb {C} ^{n}$. Estos conjuntos abiertos se denominan "gráficos".
• Si $(U_{1},\varphi )$ y $(U_{2},\psi )$ son dos gráficos superpuestos que se asignan a conjuntos abiertos $V_{1},V_{2}$ de $\mathbb {C} ^{n}$ respectivamente, entonces la función de transición $\psi \circ \varphi ^{-1}:\varphi (U_{1}\cap U_{2})\to \psi (U_{1}\cap U_{2})$ es una biholomorfismo.

Tenga en cuenta que dado que cada biholomorfismo es un difeomorfismo, y $\mathbb {C} ^{n}$ es un isomorfismo como espacio vectorial a $\mathbb {R} ^{2n}$, cada variedad compleja de dimensión $n$ es, en particular, una variedad suave de dimensión $2n$, que siempre es un número par.

A diferencia de las variedades complejas que siempre son suaves, la geometría compleja también se ocupa de espacios posiblemente singulares. Una variedad analítica compleja afín es un subconjunto $X\subseteq \mathbb {C} ^{n}$ tal que alrededor de cada punto $p\in X$, hay una vecindad abierta $U$ de $p$ y una colección de un número finito de funciones holomorfas $f_{1},\dots ,f_{k}:U\to \mathbb {C}$ tales que $X\cap U=\{z\in U\mid f_{1}(z)=\cdots =f_{k}(z)=0\}=Z(f_{1},\dots ,f_{k})$. Por convención también requerimos que el conjunto $X$ sea irreducible. Un punto $p\in X$ es "singular" si el Matriz y determinante jacobianos del vector de funciones holomorfas $(f_{1},\dots ,f_{k})$ no tiene rango completo en $p$, y "no singular" en caso contrario. Una variedad analítica compleja proyectiva es un subconjunto $X\subseteq \mathbb {CP} ^{n}$ de espacio proyectivo complejo que está, de la misma manera, dado localmente por los ceros de una colección finita de funciones holomorfas en subconjuntos abiertos de $\mathbb {CP} ^{n}$.

De manera similar, se puede definir una variedad algebraica compleja afín como un subconjunto $X\subseteq \mathbb {C} ^{n}$ que se da localmente como el conjunto cero de un número finito de polinomios en variables complejas $n$. Para definir una variedad algebraica compleja proyectiva, se requiere que el subconjunto $X\subseteq \mathbb {CP} ^{n}$ esté dado localmente por el conjunto cero de un número finito de polinomio homogéneo.

Para definir una variedad algebraica compleja general o analítica compleja, se requiere la noción de locally ringed space. Una variedad algebraica/analítica compleja es un espacio localmente anillado $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ que es localmente isomorfo como un espacio localmente anillado a una variedad algebraica/analítica compleja afín. En el caso analítico, normalmente se permite que $X$ tenga una topología que es localmente equivalente a la topología subespacial debido a la identificación con subconjuntos abiertos de $\mathbb {C} ^{n}$, mientras que en el caso algebraico $X$ suele estar equipado con un Topología de Zariski. Nuevamente también requerimos por convención que este espacio anillado localmente sea irreducible.

Dado que la definición de un punto singular es local, la definición dada para una variedad analítica/algebraica afín se aplica a los puntos de cualquier variedad analítica o algebraica compleja. El conjunto de puntos de una variedad $X$ que son singulares se denomina "lugar singular", denotado $X^{sing}$, y el complemento es el lugar geométrico "no singular" o "suave", denotado $X^{nonsing}$. Decimos que una variedad compleja es "suave" o "no singular" si su locus singular está vacío. Es decir, si es igual a su lugar geométrico no singular.

Según teorema de la función implícita para funciones holomorfas, cada variedad compleja es en particular una variedad analítica compleja no singular, pero en general no es afín ni proyectiva. Según el teorema GAGA de Serre, toda variedad analítica compleja proyectiva es en realidad una variedad algebraica compleja proyectiva. Cuando una variedad compleja no es singular, es una variedad compleja. De manera más general, el lugar no singular de "cualquier" variedad compleja es una variedad compleja.

Tipos de espacios complejos

Colectores Kähler

Las variedades complejas se pueden estudiar desde la perspectiva de la geometría diferencial, mediante la cual están equipadas con estructuras geométricas adicionales como Variedad de Riemann o espacio vectorial simpléctico. Para que esta estructura adicional sea relevante para la geometría compleja, se debe pedir que sea compatible con la estructura compleja en un sentido adecuado. Una Variedad de Kähler es una variedad compleja con una estructura simpléctica y métrica de Riemann compatible con la estructura compleja. Cada subvariedad compleja de una variedad de Kähler es Kähler, y por lo tanto, en particular, cada variedad compleja proyectiva o afín no singular es Kähler, después de restringir la métrica hermitiana estándar en $\mathbb {C} ^{n}$ o Fubini-Study metric en $\mathbb {CP} ^{n}$ respectivamente.

Otros ejemplos importantes de variedades de Kähler incluyen Superficie de Riemann, K3 surface y Variedad de Calabi-Yau.

Colectores Stein

El teorema GAGA de Serre afirma que las variedades analíticas complejas proyectivas son en realidad algebraicas. Si bien esto no es estrictamente cierto para las variedades afines, existe una clase de variedades complejas que actúan de manera muy similar a las variedades algebraicas complejas afines, llamadas Variedad de Stein. Una variedad $X$ es Stein si es holomórficamente convexa y holomórficamente separable (consulte el artículo sobre variedades de Stein para conocer las definiciones técnicas). Sin embargo, se puede demostrar que esto equivale a que $X$ sea una subvariedad compleja de $\mathbb {C} ^{n}$ para algún $n$. Otra forma en que las variedades de Stein son similares a las variedades algebraicas complejas afines es que Cartan's theorems A and B se cumple para las variedades de Stein.

Ejemplos de variedades de Stein incluyen superficies de Riemann no compactas y variedades algebraicas complejas afines no singulares.

Colectores Hyper-Kähler

Una clase especial de variedades complejas son las hyper-Kähler manifold, que son Variedad de Riemann que admiten tres integrable almost complex structures $I,J,K$ distintos compatibles que satisfacen el quaternionic relations $I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-\operatorname {Id}$. Por lo tanto, las variedades hiper-Kähler son variedades Kähler de tres maneras diferentes y, posteriormente, tienen una rica estructura geométrica.

Ejemplos de variedades hiper-Kähler incluyen ALE spaces, K3 surface, espacios de módulo Higgs bundle, quiver varieties y muchos otros moduli space que surgen de teoría de campo de gauge y teoría de representación.

Colectores Calabi-Yau

A real two-dimensional slice of a quintic Calabi–Yau threefold

Como se mencionó, las variedades Calabi-Yau dan una clase particular de variedades de Kähler. Estos están dados por variedades de Kähler con paquete canónico trivial $K_{X}=\Lambda ^{n}T_{1,0}^{*}X$. Normalmente, la definición de una variedad Calabi-Yau también requiere que $X$ sea compacto. En este caso, la prueba Yau's de Calabi conjecture implica que $X$ admite una métrica de Kähler con Tensor de Ricci nula, y esto puede tomarse como una definición equivalente de Calabi-Yau.

Las variedades Calabi-Yau han encontrado uso en teoría de cuerdas y mirror symmetry, donde se utilizan para modelar las 6 dimensiones adicionales del espacio-tiempo en modelos de 10 dimensiones de la teoría de cuerdas. curva elíptica, superficies K3 y Abelian varieties complejos dan ejemplos de variedades Calabi-Yau.

Variedades complejas de Fano

Un Fano variety complejo es una variedad algebraica compleja con un paquete de líneas anticanónico ample (es decir, $K_{X}^{*}$ es amplio). Las variedades de Fano son de considerable interés en geometría algebraica compleja y, en particular, en birational geometry, donde a menudo surgen en minimal model program. Ejemplos fundamentales de variedades Fano vienen dados por el espacio proyectivo $\mathbb {CP} ^{n}$ donde $K={\mathcal {O}}(-n-1)$, y las hipersuperficies suaves de $\mathbb {CP} ^{n}$ de grado menor que $n+1$.

Variedades tóricas

Moment polytope describing the first Hirzebruch surface.

Toric varieties son variedades algebraicas complejas de dimensión $n$ que contienen un biholomórfico conjunto denso abierto a $(\mathbb {C} ^{*})^{n}$, equipado con una acción de $(\mathbb {C} ^{*})^{n}$ que extiende la acción en el subconjunto denso abierto. Una variedad tórica puede describirse combinatoriamente mediante su "abanico tórico" y, al menos cuando no es singular, mediante un "politopo moment". Este es un polígono en $\mathbb {R} ^{n}$ con la propiedad de que cualquier vértice puede convertirse en la forma estándar del vértice del ortante positivo mediante la acción de $\operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )$. La variedad tórica se puede obtener como un espacio adecuado que se fibrosa sobre el politopo.

Muchas construcciones que se realizan sobre variedades tóricas admiten descripciones alternativas en términos de combinatoria y geometría del politopo de momento o su abanico tórico asociado. Esto hace que las variantes tóricas sean un caso de prueba especialmente atractivo para muchas construcciones de geometría compleja. Ejemplos de variedades tóricas incluyen espacios proyectivos complejos y haces sobre ellos.

Técnicas en geometría compleja

Debido a la rigidez de las funciones holomorfas y las variedades complejas, las técnicas típicamente utilizadas para estudiar variedades complejas y variedades complejas difieren de las utilizadas en la geometría diferencial regular y están más cerca de las técnicas utilizadas en la geometría algebraica. Por ejemplo, en geometría diferencial, muchos problemas se abordan tomando construcciones locales y uniéndolas globalmente utilizando particiones de unidad. Las particiones de unidad no existen en la geometría compleja, por lo que el problema de cuándo los datos locales pueden unirse a los datos globales es más sutil. sheaf cohomology mide precisamente cuándo se pueden unir los datos locales, y sheaves y su cohomología son herramientas importantes.

Por ejemplo, problemas famosos en el análisis de varias variables complejas

Las variables complejas que preceden a la introducción de definiciones modernas son las Cousin problems, que preguntan con precisión cuándo se pueden pegar datos meromórficos locales para obtener una función meromórfica global. Estos viejos problemas pueden resolverse simplemente después de la introducción de gavillas y grupos de cohomología.

Ejemplos especiales de gavillas utilizadas en geometría compleja incluyen line bundle holomorfas (y las divisor asociadas a ellas), holomorphic vector bundle y coherent sheaves. Dado que la cohomología de gavilla mide obstrucciones en geometría compleja, una técnica que se utiliza es demostrar teoremas de fuga. Ejemplos de teoremas de fuga en geometría compleja incluyen el Kodaira vanishing theorem para la cohomología de haces de líneas en variedades compactas de Kähler y el Cartan's theorems A and B para la cohomología de haces coherentes en variedades complejas afines.

La geometría compleja también hace uso de técnicas que surgen del análisis y la geometría diferencial. Por ejemplo, Hirzebruch-Riemann-Roch theorem, un caso especial de Teorema del índice de Atiyah-Singer, calcula el holomorphic Euler characteristic de un paquete de vectores holomorfos en términos de clases características del paquete de vectores complejo suave subyacente.

==Clasificación en geometría compleja==.

Un tema importante en geometría compleja es classification. Debido a la naturaleza rígida de las variedades y variedades complejas, el problema de clasificar estos espacios suele ser manejable. La clasificación en geometría compleja y algebraica a menudo se produce mediante el estudio de moduli space, que a su vez son variedades o variedades complejas cuyos puntos clasifican otros objetos geométricos que surgen en geometría compleja.

Superficies Riemann

El término "módulos" fue acuñado por Bernhard Riemann durante su trabajo original en superficies de Riemann. La teoría de clasificación es más conocida para las superficies compactas de Riemann. Según classification of closed oriented surfaces, las superficies compactas de Riemann vienen en un número contable de tipos discretos, medidos por su genus $g$, que es un número entero no negativo que cuenta el número de agujeros en la superficie compacta de Riemann dada.

La clasificación se deriva esencialmente de la uniformization theorem y es la siguiente:​​​

• g = 0: $\mathbb {CP} ^{1}$
• g = 1: Existe una variedad compleja unidimensional que clasifica posibles superficies compactas de Riemann del género 1, denominada curva elíptica, la curva modular. Por uniformization theorem cualquier curva elíptica se puede escribir como un cociente $\mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} )$ donde $\tau$ es un número complejo con parte imaginaria estrictamente positiva. El espacio de módulos viene dado por el cociente del grupo $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ que actúa sobre upper half plane por Transformación de Möbiuss.
• g > 1: Para cada género mayor que uno, existe un espacio de módulos ${\mathcal {M}}_{g}$ de superficies compactas de Riemann de género g, de dimensión $\dim _{\mathbb {C} }{\mathcal {M}}_{g}=3g-3$. Similar al caso de las curvas elípticas, este espacio puede obtenerse mediante un cociente adecuado de Siegel upper half-space por la acción del grupo $\operatorname {Sp} (2g,\mathbb {Z} )$.

Paquetes de líneas holomorfas

La geometría compleja se ocupa no solo de espacios complejos, sino también de otros objetos holomorfos adjuntos a ellos. La clasificación de haces de líneas holomorfas en una variedad compleja $X$ viene dada por Picard variety $\operatorname {Pic} (X)$ de $X$.

La variedad picard se puede describir fácilmente en el caso en que $X$ es una superficie compacta de Riemann del género g. Es decir, en este caso la variedad Picard es una unión disjunta del complejo Abelian varieties, cada uno de los cuales es isomorfo al Jacobian variety de la curva, clasificando a divisors de grado cero hasta equivalencia lineal. En términos de geometría diferencial, estas variedades abelianas son toros complejos, variedades complejas difeomorfas de $(S^{1})^{2g}$, posiblemente con una de muchas estructuras complejas diferentes.

Por Torelli theorem, una superficie compacta de Riemann está determinada por su variedad jacobiana, y esto demuestra una de las razones por las que el estudio de estructuras en espacios complejos puede ser útil, ya que puede permitir resolver la clasificación de los espacios mismos.

Véase también

• Bivector (complex)
• Variedad de Calabi-Yau
• Cartan's theorems A and B
• Complex analytic space
• Grupo de Lie complejo
• Complex polytope
• Espacio proyectivo complejo
• Cousin problems
• Deformation Theory#Deformations of complex manifolds
• Enriques–Kodaira classification
• GAGA
• Hartogs' extension theorem
• Hermitian symmetric space
• Teoría de Hodge
• Hopf manifold
• Imaginary line (mathematics)
• Kobayashi metric
• Kobayashi–Hitchin correspondence
• Variedad de Kähler
• $\partial {\bar {\partial }}$-lemma
• Lelong number
• List of complex and algebraic surfaces
• Mirror symmetry
• Multiplier ideal
• Projective variety
• Pseudoconvexity
• Múltiples variables complejas
• Variedad de Stein

Referencias

• Huybrechts, Daniel (2005). Complex Geometry: An Introduction. Springer. ISBN 3-540-21290-6. 
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523 .
• Hörmander, Lars (1990) [1966], An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North–Holland Mathematical Library 7 (3rd (Revised) edición), Amsterdam–London–New York–Tokyo: North-Holland, ISBN 0-444-88446-7, MR 1045639, Zbl 0685.32001 .
• Plantilla:Kobayashi-Nomizu
• Eric Harold Neville (1922) Prolegómenos a la geometría analítica en el espacio euclidiano anisotrópico de tres dimensiones, Cambridge University Press.

• Datos: Q2137810