Polinomio homogéneo

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En Matemáticas, un polinomio homogéneo es un polinomio en que cada uno de sus términos (monomios) tienen el mismo grado; o sus elementos son de la misma dimensión. Por ejemplo, x^5 + 2 x^3 y^2 + 9 x^1 y^4 es un polinomio homogéneo de grado 5, en dos variables; la suma de los exponentes es siempre 5.

Una forma algebraica, o simplemente forma es otro nombre para un polinomio homogéneo. Un polinomio homogéneo de grado 2 es una forma cuadrática, y puede ser representado como una matriz simétrica. La teoría de las formas algebraicas es muy extensa, y tiene numerosas aplicaciones en todas las otras matemáticas y ciencias teóricas.

Tensores simétricos[editar]

Los polinomios homogéneos en un espacio vectorial pueden ser construidos directamente a partir de tensores simétricos, y viceversa. Para espacios vectoriales definidos sobre los cuerpos de números reales o complejos, el sistema de polinomios homogéneos y los tensores simétricos son de hecho isomorfos. Este parentesco es usualmente expresados como sigue.

Siendo X e Y vectores del espacio vectorial, y T el mapa multilineal o tensor simétrico:


\begin{matrix}
T: & \underbrace{X \times X \times \cdots \times X} & \to & Y\\
 & n & &\\
\end{matrix}

Se define el operador diagonal \Delta como:


\begin{matrix}
\Delta: & X &\to     &X^n \\
        & x &\mapsto &(x,x,\dots,x) \\
\end{matrix}

El polinomio homogéneo \widehat{T} de grado n asociado con T es simplemente \widehat{T} = T \circ \Delta, de modo que

\widehat{T}(x) = (T \circ \Delta) (x) = T(x,x,\ldots,x)

Escrito de esta manera, está claro que un polinomio homogéneo es una función homogénea de grado n. Esto, para un escalar a, uno tiene

\widehat{T}(ax) = a^n \widehat{T}(x)

Inversamente, dado un polinomio homogéneo P, uno puede construir el tensor simétrico correspondiente \check{P}, el cuál sigue inmediatamente una multilinearidad del tensor por medio de una fórmula polarizada:

\check{P}(x_1,x_2,\cdots x_n) = \frac{1}{2^n n!} 
\sum_{\varepsilon_i=\pm 1 \atop 1\le i\le n}
\varepsilon_1\varepsilon_2\cdots\varepsilon_n 
P\left(\sum_{i=1} \varepsilon_i x_i\right)

\mathcal{L}(X^n,Y) denota el espacio de tensores simétricos de rango n, y \mathcal{P}(X,Y) denota el espacio de polinomios homogéneos de grado n. Si el vector espacial X e Y están encima de los números reales o complejos (o más generalmente, encima de un cuerpo de característica cero), luego esos dos espacios son isomórficos, con los mapeados dados por sombreros y comprobamos:

\widehat{\;}: \mathcal{L}(X^n,Y) \to \mathcal{P}(X,Y)

y

\check{\;}: \mathcal{P}(X,Y) \to \mathcal{L}(X^n,Y)

Forma algebraica[editar]

Forma algebraica, o simplemente forma, es otro termino para polinomios homogéneos. Estos se utilizan generalmente para formas cuadráticas a de grados 3 y más, y en el pasado también fueron conocidos como cuantos. Al especificar el tipo de forma, uno tiene que dar su grado de una forma, y el número de variables n. Una forma está encima de algún campo K dado, si este va de Kn a K, donde n es el número de variables de la forma.

Una forma encima de algún campo K en n variables representa 0 si en él existe un elemento

(x1,...,xn)

en Kn semejante que por lo menos de

xi (i=1,...,n)

no es igual a cero.

Propiedades básicas[editar]

El número de diferentes monomios homogéneos de grado M en N variables es \frac{(M+N-1)!}{M!(N-1)!}

La serie de Taylor de un polinomio homogéneo P ampliado al punto x puede ser escrito como


\begin{matrix}
P(x+y)= \sum_{j=0}^n {n \choose j} 
\check{P} (
&\underbrace{x,x,\dots ,x} & \underbrace{y,y,\dots ,y}
 ). \\
& j & n-j\\
\end{matrix}

Otra identidad útil es


\begin{matrix}
P(x)-P(y)= \sum_{j=0}^{n-1} {n \choose j} 
\check{P} (
&\underbrace{y,y,\dots ,y} & \underbrace{(x-y),(x-y),\dots ,(x-y)} ). \\
& j & n-j\\
\end{matrix}

Historia[editar]

Los polinomio homogéneos tuvieron un importante papel en las matemáticas del siglo XIX.

Las dos evidentes áreas donde se podría aplicar fueron la geometría proyectiva, y la teoría de números (en menor medida). El uso geométrico fue relacionado con teoría invariante.