Teorema de Liouville (análisis complejo)

En matemáticas, y en particular en el análisis complejo, el teorema de Liouville afirma que si una función es holomorfa en todo el plano complejo y está acotada, entonces es constante. Nótese que esta afirmación es falsa en los números reales (tómese, por ejemplo, la función $\cos(x)$, que está acotada pero no es constante).

Enunciado del teorema

Sea $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ una función entera y acotada, es decir, existe $M > 0$ tal que

$|f(z)| < M\quad \forall z \in \mathbb{C}$;

entonces resulta que $f$ es constante.

Una versión más general de este teorema afirma que si $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ es una función entera y si $\forall z \in \mathbb{C}$ se tiene que $|f(z)|\leq C+D|z|^n$, con $C,\;D>0$ para algún $n\in\mathbb{N}_0$, entonces $f$ debe ser un polinomio de grado a lo más $n$. Como consecuencia directa de lo anterior, si $|f(z)|\leq |p(z)|,\;\forall z\in\mathbb{C}$, con $p(z)\in\mathbb{C}[z]$, un polinomio de grado $n$, entonces $f$ es un polinomio de grado a lo más $n$.

Demostración

La fórmula integral de Cauchy dice que

$f'(z) = \frac{1}{2\pi\,i}\oint_{|z-\zeta| = r}\frac{f(\zeta)}{(z-\zeta)^2}d\zeta.$

De modo que

$|f'(z)| \le \frac{1}{2\pi}\frac{M}{r^2}\,2\pi\,r = \frac{M}{r}.$

Como podemos elegir $r$ tan grande como queramos, concluimos que $f'(z) = 0$ para todo $z$ en $\mathbb{C}$. Finalmente, como $f$ está definida sobre un conjunto simplemente conexo, entonces f debe ser constante.

Teorema de Liouville y teorema fundamental del álgebra

El teorema de Liouville entrega una demostración simple del teorema fundamental del álgebra, es decir, de que todo polinomio no constante a coeficientes en $\mathbb{C}$ tiene una raíz en $\mathbb{C}$. La demostración es la siguiente:

Sea $P(z)$ un polinomio no constante, y supongamos que no tiene raíces. Luego, como todos los polinomios son funciones enteras, se tiene que $Q(z)=\frac{1}{P(z)}$ resulta ser también una función entera. Pero $\lim_{z\rightarrow \infty} |P(z)|=\infty$ (eso siempre ocurre para polinomios no constantes), luego $\lim_{z\rightarrow \infty} |Q(z)|=0$, por lo que $Q$ resulta ser una función acotada. Luego, por el teorema de Liouville, $Q$ es una función constante, por lo que $P$ también lo será. Eso contradice nuestra hipótesis inicial, y se concluye que entonces $P$ debe tener una raíz.

Notar que se sigue fácilmente que entonces $P$ tiene tantas raíces como su grado (contando multiplicidad), pues basta dividir cada vez $P$ por $(z-z_0)$, donde $z_0$ es la raíz recién encontrada.

Consecuencias

Espectro de un operador

Una de las consecuencias interesantes del teorema de Liouville es que el espectro de un operador necesariamente es un conjunto no-vacío. Para verlo, veamos que el hecho de que fuera vacío contradice el teorema de Liouville. Si dicho espectro fuera vacío entonces la norma de la función resolvente:

$\rho:\mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C} \qquad \lambda \mapsto \rho_\lambda = \|(\lambda I - B)^{-1}\|$

Donde $B\;$ es un operador acotado de un espacio de Banach, estaría definida en todo el plano complejo y sería holomorfa y acotada. Y eso implica que la función sería constante por el teorema de Liouville. Y dado que:

$\lim_{\lambda \to \infty} \rho_\lambda = 0$

Por ser constante, tendría que ser 0 en todos sitios y eso contradiría el hecho de que el resolvente sea un operador lineal acotado.

Enlaces externos

• Liouville's theorem en PlanetMath
• Weisstein, Eric W. «Liouville’s Boundedness Theorem» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.