Chaflán (geometría)

Unchamfered, slightly chamfered and chamfered cubo

Historical crystal models of slightly chamfered Sólidos platónicoss

En geometría, biselado o truncamiento de bordes es un operador topológico que modifica un poliedro en otro. Es similar a expansion, separando faces y hacia afuera, pero también mantiene el vertices original. Para poliedros, esta operación agrega una nueva cara hexagonal en lugar de cada edge original.

En Notación de poliedros de Conway se representa con la letra c. Un poliedro con aristas e tendrá una forma achaflanada que contiene vértices nuevos 2e, aristas nuevas 3e y caras hexagonales nuevas e.

Sólidos platónicos biselados

En los capítulos siguientes se describen en detalle los chaflanes de los cinco Sólidos platónicos. Cada uno se muestra en una versión con bordes de igual longitud y en una versión canónica donde todos los bordes tocan el mismo interesfera. (Solo se ven notablemente diferentes para los sólidos que contienen triángulos). Los duals que se muestran son duales a las versiones canónicas.

Seed	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}
Chamfered

Tetraedro achaflanado

Chamfered tetrahedron
(with equal edge length)
Conway notation	cT
Goldberg polyhedron	GPIII(2,0)= {3+,3}2,0
Faces	4 triángulos 6 hexágonos
Edges	24 (2 types)
Vertices	16 (2 types)
Configuración de vértices	(12) 3.6.6 (4) 6.6.6
Grupo de simetría	Tetrahedral (Td)
Poliedro conjugado	Alternate-triakis tetratetrahedron
Properties	convex, triángulo equilátero-faced
net

El tetraedro chaflanadoed (o cubo truncado alternativo) es un convex poliedro construido como una operación alternately cubo truncado o chaflán en un tetraedro, reemplazando sus 6 aristas con hexágonos.

Es el Goldberg polyhedron G_III(2,0), que contiene caras triangulares y hexagonales.

The tetraedro truncado looks similar, but its hexagons correspond to the 4 faces of the original tetrahedron, rather than to its 6 edges.

Tetrahedral chamfers and related solids

chamfered tetrahedron (canonical)	dual of the tetratetrahedron	chamfered tetrahedron (canonical)
alternate-triakis tetratetrahedron	octaedro	alternate-triakis tetratetrahedron

Cubo biselado

Chamfered cube
(with equal edge length)
Conway notation	cC= t4daC
Goldberg polyhedron	GPIV(2,0)= {4+,3}2,0
Faces	6 squares 12 hexágonos
Edges	48 (2 types)
Vertices	32 (2 types)
Configuración de vértices	(24) 4.6.6 (8) 6.6.6
Symmetry	Oh, [4,3], (*432) Th, [4,3+], (3*2)
Poliedro conjugado	Tetrakis cuboctahedron
Properties	convex, triángulo equilátero-faced
net

El cubo achaflanado es un convex poliedro con 32 vértices, 48 ​​aristas y 18 caras: 12 hexágonos y 6 cuadrados. Se construye como un chaflán de un cubo. Los cuadrados se reducen de tamaño y se añaden nuevas caras hexagonales en lugar de todas las aristas originales. Su dual es el tetrakis cuboctahedron.

También se le llama incorrectamente dodecaedro rómbico truncado, aunque ese nombre sugiere más bien un rombicuboctaedro. Se puede llamar con más precisión un dodecaedro rómbico tetratruncado porque solo los vértices de orden 4 están truncados.

Las caras hexagonales son triángulo equilátero pero no regular. Están formados por un rombo truncado, tienen 2 ángulos internos de unos 109,47° $\cos ^{-1}(-{\frac {1}{3}})$ y 4 ángulos internos de unos 125,26°, mientras que un hexágono regular tendría todos los ángulos de 120°.

Como todas sus caras tienen un número par de lados con simetría de rotación de 180°, es un zonohedron. También es Goldberg polyhedron GP_IV(2,0) o {4+,3}_2,0, que contiene caras cuadradas y hexagonales.

El cubo biselado es el Suma de Minkowski de un dodecaedro rómbico y un cubo de lado 1 cuando ocho vértices del dodecaedro rómbico están en $(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ y sus seis vértices están en las permutaciones de $(\pm {\sqrt {3}},0,0)$.

Se puede construir un equivalente de topological con simetría tetraédrica y caras rectangulares achaflanando los bordes axiales de un dodecaedro. Esto ocurre en los cristales pirita.

Pyritohedron and its axis truncation

Historical crystallographic models

The octaedro truncado looks similar, but its hexagons correspond to the 8 vertices of the cube, rather than to its 12 edges.

Octahedral chamfers and related solids

chamfered cube (canonical)	rombododecaedro	chamfered octahedron (canonical)
tetrakis cuboctahedron	cuboctaedro	triakis cuboctahedron

Octaedro achaflanado

Chamfered octahedron
(with equal edge length)
Conway notation	cO= t3daO
Faces	8 triángulos 12 hexágonos
Edges	48 (2 types)
Vertices	30 (2 types)
Configuración de vértices	(24) 3.6.6 (6) 6.6.6
Symmetry	Oh, [4,3], (*432)
Poliedro conjugado	Triakis cuboctahedron
Properties	convex

En geometría, el octaedro achaflanado es un convex poliedro construido a partir del rombododecaedro por truncating los 8 (orden 3) vértices.

También se le puede llamar dodecaedro rómbico tritruncado, un truncamiento de los vértices de orden 3 del rombododecaedro.

Los 8 vértices se truncan de manera que todos los bordes tienen la misma longitud. Las 12 caras rhombic originales se convierten en hexágonos aplanados y los vértices truncados se convierten en triángulos.

Las caras hexagonales son triángulo equilátero pero no regular.

Historical drawings of rhombic cuboctahedron and chamfered octahedron

Historical models of triakis cuboctahedron and chamfered octahedron

Dodecaedro achaflanado

Chamfered dodecahedron
(with equal edge length)
Conway notation	cD]= t5daD= dk5aD
Goldberg polyhedron	GV(2,0)= {5+,3}2,0
Fullereno	C80​
Faces	12 pentágonos 30 hexágonos
Edges	120 (2 types)
Vertices	80 (2 types)
Configuración de vértices	(60) 5.6.6 (20) 6.6.6
Grupo de simetría	Icosahedral (Ih)
Poliedro conjugado	Pentakis icosidodecahedron
Properties	convex, triángulo equilátero-faced

El dodecaedro achaflanado es un convex poliedro con 80 vértices, 120 aristas y 42 caras: 30 hexágonos y 12 pentágonos. Se construye como un chaflán de un regular dodecahedron. Los pentágonos se reducen de tamaño y se añaden nuevas caras hexagonales en lugar de todas las aristas originales. Su dual es el pentakis icosidodecahedron.

También se le llama incorrectamente triacontaedro rómbico truncado, aunque ese nombre sugiere más bien un rombicosidodecaedro. Se puede llamar con más precisión un triacontaedro rómbico pentatruncado porque solo los vértices de orden 5 están truncados.

The icosaedro truncado looks similar, but its hexagons correspond to the 20 vertices of the dodecahedron, rather than to its 30 edges.

Icosahedral chamfers and related solids

chamfered dodecahedron (canonical)	triacontaedro rómbico	chamfered icosahedron (canonical)
pentakis icosidodecahedron	icosidodecaedro	triakis icosidodecahedron

Icosaedro achaflanado

Chamfered icosahedron
(with equal edge length)
Conway notation	cI= t3daI
Faces	20 triángulos 30 hexágonos
Edges	120 (2 types)
Vertices	72 (2 types)
Configuración de vértices	(24) 3.6.6 (12) 6.6.6
Symmetry	Ih, [5,3], (*532)
Poliedro conjugado	triakis icosidodecahedron
Properties	convex

En geometría, el icosaedro achaflanado es un convex poliedro construido a partir del triacontaedro rómbico por truncating los 20 vértices de orden 3. Las caras hexagonales se pueden hacer triángulo equilátero pero no regular.

También se le puede llamar triacontaedro rómbico tritruncado, un truncamiento de los vértices de orden 3 del triacontaedro rómbico.

Baldosas regulares achaflanadas

Chamfered regular and quasiregular tilings

Teselado cuadrado, Q {4,4}	Teselado triangular, Δ {3,6}	Teselado hexagonal, H {6,3}	Rhombille, daH dr{6,3}
cQ	cΔ	cH	cdaH

Relación con los poliedros de Goldberg

La operación de chaflán aplicada en serie crea poliedros progresivamente más grandes con nuevas caras hexagonales que reemplazan los bordes de la anterior. El operador de chaflán transforma GP(m,n) en GP(2m,2n).

Un poliedro regular, GP(1,0), crea una secuencia Goldberg polyhedra: GP(1,0), GP(2,0), GP(4,0), GP(8,0), GP(16,0) ...

	GP(1,0)	GP(2,0)	GP(4,0)	GP(8,0)	GP(16,0)...
GPIV {4+,3}	C	cC	ccC	cccC
GPV {5+,3}	D	cD	ccD	cccD	ccccD
GPVI {6+,3}	H	cH	ccH	cccH	ccccH

El octaedro truncado o icosaedro truncado, GP(1,1) crea una secuencia de Goldberg: GP(1,1), GP(2,2), GP(4,4), GP(8,8)....

	GP(1,1)	GP(2,2)	GP(4,4)...
GPIV {4+,3}	tO	ctO	cctO
GPV {5+,3}	tI	ctI	cctI
GPVI {6+,3}	tH	ctH	cctH

Un truncated tetraquishexaedro o pentaquisdodecaedro, GP(3,0), crea una secuencia de Goldberg: GP(3,0), GP(6,0), GP(12,0)...

	GP(3,0)	GP(6,0)	GP(12,0)...
GPIV {4+,3}	tkC	ctkC	cctkC
GPV {5+,3}	tkD	ctkD	cctkD
GPVI {6+,3}	tkH	ctkH	cctkH

Politopos biselados y panales

Al igual que la operación de expansión, el chaflán se puede aplicar a cualquier dimensión. Para polígonos, triplica el número de vértices. Para polychora, se crean nuevas celdas alrededor de los bordes originales. Las celdas son prismas que contienen dos copias de la cara original, con pirámides aumentadas en los lados del prisma.

Véase también

• Notación de poliedros de Conway
• Casi sólido de miss Johnson
• Canteado (geometría)

Referencias

• Goldberg, Michael (1937). «A class of multi-symmetric polyhedra». Tohoku Mathematical Journal 43: 104-108. 
• Joseph D. Clinton, Conjetura del ángulo central igual de Clinton [1]
• Hart, George (2012). «Goldberg Polyhedra». En Senechal, Marjorie, ed. Shaping Space (2nd edición). Springer. pp. 125–138. ISBN 978-0-387-92713-8. doi:10.1007/978-0-387-92714-5_9. 
• Hart, George (June 18, 2013). «Mathematical Impressions: Goldberg Polyhedra». Simons Science News. 
• Antoine Deza, Michel Deza, Viatcheslav Grishukhin, Fullerenos y poliedros de coordinación versus incrustaciones de medio cubo, 1998 PDF [2] (p.&nbsp ;72 Fig. 26. Tetraedro biselado)
• Deza, A.; Deza, M.; Grishukhin, V. (1998), «Fullerenes and coordination polyhedra versus half-cube embeddings», Discrete Mathematics 192 (1): 41-80, doi:10.1016/S0012-365X(98)00065-X, archivado desde el original el 6 de febrero de 2007 ..

Enlaces externos

• Tetraedro achaflanado
• Sólidos biselados
• Truncación de vértices y bordes de los sólidos platónicos y de Arquímedes que conducen a poliedros transitivos de vértices Livio Zefiro
• generador poliédrico VRML (Notación de poliedros de Conway)
  • Modelo VRML Cubo biselado
• 3.2.7. Numeración sistemática para (C80-Ih) [5,6] fullerene
• Fullereno C80
  1. [3] (Número 7 -Ih)
  2. [4]
• Cómo hacer un cubo biselado

• Datos: Q18018756
• Multimedia: Chamfer (geometry) / Q18018756