Desarrollo de un poliedro

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Desarrollo de un dodecaedro

En geometría el desarrollo de un poliedro es la sucesión ordenada en un plano de polígonos unidos por sus lados, de forma que se puedan doblar (por los bordes) para formar las caras del poliedro. Los desarrollos de poliedros son útiles a la hora de estudiar los cuerpos geométricos, ya que gracias a ellos se pueden construir las figuras geométricas utilizando diferentes materiales como por ejemplo papel o cartón.

Es una cuestión abierta desde hace mucho tiempo si todos los poliedros convexos P (aquellos poliedros cuyos ángulos diedros entre bordes valen 180 grados) tienen desarrollo: si la superficie de P puede ser cortada a lo largo de los bordes y ser desarrollada como un polígono plano (sin solapamiento). (Este contorno a veces se denota como el despliegue del poliedro) Este problema explícito se planteó en un artículo de Shephard. La historia y los progresos sobre esta cuestión se discutieron en la Parte III de los Algoritmos de la Geometría Plegable. Si la restricción de que los cortes sean sobre los bordes del poliedro permite los cortes a través del interior de las caras, entonces existen varios métodos para cortar y desplegar un poliedro convexo sobre un polígono plano. Por ejemplo, cortar a lo largo del lugar geométrico de un punto de corte sería suficiente.

Además, en un desarrollo bien hecho, la ruta más corta (sobre la superficie) entre dos puntos de la superficie de un poliedro se corresponde con una línea recta. Dicha línea debe estar completamente dentro del desarrollo, aunque se pueden considerar diferentes desarrollos para ver cual de ellos ofrece da el camino más corto. Por ejemplo, en el caso de un cubo, si los puntos están en caras adyacentes el camino más corto puede ser aquel que cruza el vértice común; en estos casos el camino más corto se obtiene con un desarrollo en el que las dos caras también sean adyacentes. Otros posibles candidatos a ser el camino más corto son aquellos que pasan a través de la superficie de una tercera cara adyacente a ambos, y los desarrollos correspondientes se pueden utilizar para encontrar el camino más corto en cada caso.

Desarrollo de politopos de mayores dimensiones[editar]

El concepto geométrico de un desarrollo se puede extender a una dimensión mayor.

Tesseract2.svg
Tesseract
Truncated tesseract net.png
Truncated tesseract
Polychoron 24-cell net.png
24-cell