Grupos de puntos en tres dimensiones

Grupos de puntos en tres dimensiones

Simetría involutiva Cs, (*) [ ] =	Simetría cíclica Cnv, (*nn) [n] =	Simetría diédrica Dnh, (*n22) [n,2] =
Grupo poliédrico, [n,3], (*n32)
Simetría tetraédrica Td, (*332) [3,3] =	Simetría octaédrica Oh, (*432) [4,3] =	Simetría icosaédrica Ih, (*532) [5,3] =

En geometría, un grupo puntual en tres dimensiones es un grupo de isometría tridimensional que deja fijo el origen, o en consecuencia, un grupo de isometría de una esfera. Es un subgrupo de los grupo ortogonal O(3), el grupo de todas las isometrías que dejan fijo el origen, o correspondientemente el grupo de matrices ortogonales. O(3) en sí mismo es un subgrupo del grupo euclídeo E(3) de todas las isometrías.

Los grupos de simetría de objetos geométricos son grupos de isometría. En consecuencia, el análisis de grupos de isometría es el análisis de posibles simetrías. Todas las isometrías de un objeto 3D acotado (finito) tienen uno o más puntos fijos comunes. Se sigue la convención habitual eligiendo el origen como uno de ellos.

El grupo de simetría de un objeto también se denomina a veces su grupo de simetría total, a diferencia de su grupo de simetría propio, la intersección de su grupo de simetría total con E⁺(3), que consta de todos las isometrías directas , es decir, isometrías que conservan la orientación. Para un objeto acotado, el grupo de simetría propio se denomina grupo de rotación. Es la intersección de su grupo de simetría total con SO(3), el grupo de rotación total del espacio 3D. El grupo de rotación de un objeto delimitado es igual a su grupo de simetría total si y solo si el objeto es quiral.

Los grupos de puntos que son generados puramente por un conjunto finito de planos de reflexión que pasan por el mismo punto son los grupos de Coxeter, representados por la notación de Coxeter.

Los grupos de puntos en tres dimensiones se usan mucho en química, especialmente para describir las simetrías de las moléculas y de los orbitales moleculares que forman los enlaces covalentes, y en este contexto también se les llama grupos de puntos moleculares.

Isometrías 3D que dejan el origen fijo

Las isometrías de tridimensional R³ que dejan fijo el origen, formando el grupo O(3), se pueden categorizar de la siguiente manera:

• SO(3):
  • identidad
  • rotación alrededor de un eje que pasa por el origen en un ángulo no igual a 180°
  • rotación alrededor de un eje que pasa por el origen en un ángulo de 180°;
• lo mismo con inversion (x se asigna a −x), es decir, respectivamente:
  • inversión
  • rotación alrededor de un eje por un ángulo no igual a 180°, combinado con reflexión en el plano a través del origen perpendicular al eje
  • reflexión en un plano a través del origen.

El 4º y 5º en particular, y en un sentido más amplio también el 6º, se denominan rotación impropia.

Véase también el similar overview including translations.

Conjugación

Al comparar el tipo de simetría de dos objetos, el origen se elige para cada uno por separado, es decir, no es necesario que tengan el mismo centro. Además, dos objetos se consideran del mismo tipo de simetría si sus grupos de simetría son subgrupos conjugados de O(3) (dos subgrupos H₁, H₂ de un grupo G son conjugate, si existe g ∈ G tal que H₁ = g⁻¹H₂g ).

Por ejemplo, dos objetos 3D tienen el mismo tipo de simetría:

• si ambos tienen simetría especular, pero con respecto a un plano especular diferente
• si ambos tienen simetría rotacional triple, pero con respecto a un eje diferente.

En el caso de múltiples planos de espejo y/o ejes de rotación, dos grupos de simetría son del mismo tipo de simetría si y solo si hay una rotación que mapea toda la estructura del primer grupo de simetría con la del segundo. (De hecho, habrá más de una rotación de este tipo, pero no un número infinito como cuando solo hay un espejo o eje). La definición de conjugación también permitiría una imagen especular de la estructura, pero esto no es necesario, la estructura misma es aquiral. Por ejemplo, si un grupo de simetría contiene un eje de rotación triple, contiene rotaciones en dos direcciones opuestas. (La estructura es quiral para 11 pares de grupo espacials con un eje de tornillo.)

Grupos de isometría infinita

Véase también: Simetría rotacional

Hay muchos grupos de isometría infinita; por ejemplo, el "grupo cíclico" (lo que significa que es generado por un elemento, que no debe confundirse con un torsion group) generado por una rotación de un número irracional de vueltas alrededor de un eje. Podemos crear grupo abeliano no cíclicos agregando más rotaciones alrededor del mismo eje. También hay grupos no abelianos generados por rotaciones alrededor de diferentes ejes. Estos suelen ser (genéricamente) grupo libre. Serán infinitos a menos que las rotaciones se elijan especialmente.

Todos los grupos infinitos mencionados hasta ahora no son closed como topological subgroups de O(3). Ahora discutimos subgrupos topológicamente cerrados de O(3).

An unmarked esfera has O(3) symmetry.

Todo O(3) es el grupo de simetría de simetría esférica; Grupo de rotación SO(3) es el grupo de rotación correspondiente. Los otros grupos de isometría infinita consisten en todos los movimiento de rotación sobre un eje que pasa por el origen, y aquellos con reflexión adicional en los planos por el eje, y/o reflexión en el plano por el origen, perpendicular al eje. Aquellos con reflexión en los planos que pasan por el eje, con o sin reflexión en el plano por el origen perpendicular al eje, son los grupos de simetría para los dos tipos de simetría esférica. Cualquier forma 3D (subconjunto de R³) que tenga simetría rotacional infinita también debe tener simetría especular para cada plano a través del eje. Los objetos físicos, como un cono que gira alrededor de su eje, pueden tener una simetría rotacional infinita sin tener una simetría especular.

metría​

Hay siete grupos continuos que son todos los límites de los grupos de isometría finitos. Estos llamados "grupos de puntos limitantes" o "grupos limitantes de Curie" llevan el nombre de Pierre Curie, quien fue el primero en investigarlos.​​ Las siete series infinitas de grupos axiales conducen a cinco grupos límite (dos de ellos son duplicados), y los siete grupos puntuales restantes producen dos grupos continuos más. En notación internacional, la lista es ∞, ∞2, ∞/m, ∞mm, ∞/mm, ∞∞ y ∞∞m.​

Grupos de isometría finitos

Las simetrías en 3D que dejan fijo el origen se caracterizan completamente por simetrías en una esfera centrada en el origen. Para grupos de puntos 3D finitos, consulte también spherical symmetry groups.

Hasta la conjugación, el conjunto de grupos de puntos 3D finitos consta de:

• 7 series infinitas con como máximo un eje de rotación de más del doble; son los grupos de simetría finitos en un cylinder infinito, o de manera equivalente, los de un cilindro finito. A veces se denominan grupos de puntos axiales o prismáticos.
• 7 grupos de puntos con múltiples ejes de rotación de 3 o más pliegues; también se pueden caracterizar como grupos de puntos con múltiples ejes de rotación triples, porque los 7 incluyen estos ejes; con respecto a los ejes de rotación de 3 o más pliegues, las combinaciones posibles son:
  • 4 ejes de 3 pliegues
  • 4 ejes de 3 pliegues y 3 ejes de 4 pliegues
  • 10 ejes de 3 pliegues y 6 ejes de 5 pliegues

Según teorema de restricción cristalográfica, un número limitado de grupos de puntos es compatible con simetría traslacional discreto: 27 de las 7 series infinitas y 5 de las 7 otras. Juntos, estos forman los 32 llamados crystallographic point group.

Las siete series infinitas de grupos axiales

Las series infinitas de grupos axiales o prismáticos tienen un índice n, que puede ser cualquier número entero; en cada serie, el grupo de simetría n contiene simetría rotacional de n sobre un eje, es decir, simetría con respecto a una rotación en un ángulo de 360°/n. n=1 cubre los casos sin simetría rotacional. Hay cuatro series sin otros ejes de simetría rotacional (ver cyclic symmetries) y tres con ejes adicionales de simetría doble (ver grupo diedral). Pueden entenderse como point groups in two dimensions extendidos con una coordenada axial y reflexiones en ella. Están relacionados con los friso (matemáticas);​ pueden interpretarse como patrones de grupos de frisos repetidos "n" veces alrededor de un cilindro.

La siguiente tabla enumera varias notaciones para grupos de puntos: Hermann–Mauguin notation (usado en cristalografía), Schönflies notation (usado para describir simetría molecular), orbifold notation y Coxeter notation. Los tres últimos no solo están convenientemente relacionados con sus propiedades, sino también con el orden del grupo. La notación orbifold es una notación unificada, también aplicable para grupo del papel pintado y friso (matemáticas). Los grupos cristalográficos tienen "n" restringida a 1, 2, 3, 4 y 6; la eliminación de la restricción cristalográfica permite cualquier número entero positivo. la serie son:

Intl		Schoenflies	Orbifold	Coxexter	Frieze	Struct.	Order	Example	Comments
Even n	Odd n				(cylinder)
n		Cn	nn	[n]+	p1	Zn	n		n-fold rotational symmetry
2n	n	S2n	n×	[2n+,2+]	p11g	Z2n	2n		2n-fold rotación impropia symmetry
n/m	2n	Cnh	n*	[n+,2]	p11m	Zn×Z2	2n
nmm	nm	Cnv	*nn	[n]	p1m1	Dihn	2n		Pyramidal symmetry; in biology, biradial symmetry
n22	n2	Dn	22n	[n,2]+	p211	Dihn	2n		Dihedral symmetry
2n2m	nm	Dnd	2*n	[2n,2+]	p2mg	Dih2n	4n		Antiprismaatic symmetry
n/mmm	2n2m	Dnh	*22n	[n,2]	p2mm	Dihn×Z2	4n		Prismatic symmetry

Para n impar tenemos Z_2n = Z_n × Z₂ y Dih_2n = Dih_n × Z₂.

Los grupos C_n (incluido el trivial C₁) y D_n son quirales, los demás son aquirales.

Los términos horizontal (h) y vertical (v), y los subíndices correspondientes, se refieren al plano del espejo adicional, que puede ser paralelo al eje de rotación (vertical) o perpendicular al eje de rotación (horizontal).

Los grupos axiales no triviales más simples son equivalentes al grupo abstracto Z₂:

• C_i (equivalente a S₂) – inversion simetría
• C₂ – 2 veces simetría rotacional
• C_s (equivalente a C_1hy C_1v) – simetría especular, también llamado bilateral symmetry.

Patterns on a cylindrical band illustrating the case n= 6 for each of the 7 infinite families of point groups. The symmetry group of each pattern is the indicated group.

El segundo de ellos es el primero de los grupos uniaxiales (grupo cíclicos) C_n de orden n (también aplicable en 2D), que son generados por una sola rotación de ángulo 360°/n' '. Además de esto, se puede agregar un plano de espejo perpendicular al eje, dando el grupo Cnh de orden 2n, o un conjunto de planos de espejo n que contienen el eje, dando el grupo Cnv, también de orden 2n. Este último es el grupo de simetría para un pyramid regular de n lados. Un objeto típico con el grupo de simetría Cn o Dn es un hélice (dispositivo).

Si se agregan los planos de reflexión horizontal y vertical, sus intersecciones dan "n" ejes de rotación de 180°, por lo que el grupo ya no es uniaxial. Este nuevo grupo de orden 4n se denomina D_nh. Su subgrupo de rotaciones es el grupo diedral D_n de orden 2n, que todavía tiene los ejes de rotación dobles perpendiculares al eje de rotación principal, pero no tiene planos de espejo.

Nota: en 2D, D_n incluye reflejos, que también se pueden ver como voltear objetos planos sin distinción de anverso y reverso; pero en 3D, se distinguen las dos operaciones: D_n contiene "voltear", no reflejos.

Hay un grupo más en esta familia, llamado D_nd (o D_nv), que tiene planos de espejo verticales que contienen el eje de rotación principal, pero en lugar de tener un plano de espejo horizontal, tiene una isometría que combina una reflexión en el plano horizontal y una rotación en un ángulo de 180°/n. D_nh es el grupo de simetría para un prism "regular" n-gonal y también para un "regular" n-gonal bipirámide. D_nd es el grupo de simetría para un antiprisma "normal" n-gonal, y también para un trapezoedro "normal" n-gonal. D_n es el grupo de simetría de un prisma parcialmente rotado ("torcido").

Los grupos D₂ y D_2h son dignos de mención porque no tienen un eje de rotación especial. Más bien, hay tres ejes perpendiculares de 2 pliegues. D₂ es un subgrupo de todas las simetrías poliédricas (ver más abajo) y D_2h es un subgrupo de los grupos poliédricos T_h y O_h. D₂ ocurre en moléculas como twistane y en homotetramer como Concanavalin A. Los elementos de D₂ están en correspondencia 1 a 2 con las rotaciones dadas por los unit Cuaternión de Hurwitz.

El grupo S_n se genera por la combinación de una reflexión en el plano horizontal y una rotación de un ángulo de 360°/n. Para n impar esto es igual al grupo generado por los dos por separado, C_nh de orden 2n, y por lo tanto no se necesita la notación S_n; sin embargo, para n incluso es distinto, y de orden n. Al igual que D_nd, contiene un número de rotación impropia sin contener las rotaciones correspondientes.

Todos los grupos de simetría en las 7 series infinitas son diferentes, excepto por los siguientes cuatro pares de iguales entre sí:

• C_1h y C_1v: grupo de orden 2 con un solo reflejo (C_s )
• D₁ y C₂: grupo de orden 2 con una sola rotación de 180°
• D_1h y C_2v: grupo de orden 4 con una reflexión en un plano y una rotación de 180° a través de una línea en ese plano
• D_1d y C_2h: grupo de orden 4 con una reflexión en un plano y una rotación de 180° sobre una recta perpendicular a ese plano.

S₂ es el grupo de orden 2 con una sola inversión (C_i ).

"Igual" se entiende aquí como lo mismo hasta la conjugación en el espacio. Esto es más fuerte que "hasta el isomorfismo algebraico". Por ejemplo, hay tres grupos diferentes de orden dos en el primer sentido, pero solo hay uno en el segundo sentido. Del mismo modo, p. S_2n es algebraicamente isomorfo con Z_2n.

Los grupos se pueden construir de la siguiente manera:

• C_n. Generado por un elemento también llamado C_n, que corresponde a una rotación de ángulo 2π/n alrededor del eje. Sus elementos son E (la identidad), C_n, C_n², ..., C_nⁿ⁻¹, correspondientes a los ángulos de rotación 0, 2π/n, 4π/ n, ..., 2(n − 1)π/n.
• S_2n. Generado por el elemento C_2nσ_h, donde σ_h es una reflexión en la dirección del eje. Sus elementos son los elementos de C_n con C_2nσ_h, C_2n³σ_h, ..., C_2n²ⁿ⁻¹σ_h añadido.
• C_nh. Generado por el elemento C_n y la reflexión σ_h. Sus elementos son los elementos del grupo C_n, a los que se añaden los elementos σ_h, C_nσ_h, C_n²σ_h, ..., C_nⁿ⁻¹σ_h.
• C_nv. Generado por el elemento C_n y reflexión σ_v en una dirección en el plano perpendicular al eje. Sus elementos son los elementos del grupo C_n, a los que se añaden los elementos σ_v, C_nσ_v, C_n²σ_v, ..., C_nⁿ⁻¹σ_v.
• D_n. Generado por el elemento C_n y rotación de 180° U = σ_hσ_v alrededor de una dirección en el plano perpendicular al eje. Sus elementos son los elementos del grupo C_n, a los que se añaden los elementos U, C_nU, C_n²U, ..., C_n^n − 1U.
• D_nd. Generado por los elementos C_2nσ_h y σ_v. Sus elementos son los elementos del grupo C_n y los elementos adicionales de S_2n y C_nv, con los elementos C_2nσ_hσ_v, C_2n³σ_hσ_v, .. ., agregó C_2n^2n − 1σ_hσ_v.
• D_nh. Generado por los elementos C_n, σ_h y σ_v. Sus elementos son los elementos del grupo C_n y los elementos adicionales de C_nh, C_nv y D_n.

Tomando n a ∞ se obtienen grupos con rotaciones axiales continuas:

H–M	Schönflies	Orbifold	Coxeter		Limit of	Abstract group
∞	C∞	∞∞	[∞]+		Cn	Z∞	SO(2)
Plantilla:Overbar, ∞/m	C∞h	∞*	[2,∞+]		Cnh, S2n	Z2×Z∞	Z2×SO(2)
∞m	C∞v	*∞∞	[∞]		Cnv	Dih∞	O(2)
∞2	D∞	22∞	[2,∞]+		Dn	Dih∞	O(2)
Plantilla:Overbarm, ∞/mm	D∞h	*22∞	[2,∞]		Dnh, Dnd	Z2×Dih∞	Z2×O(2)

Los siete grupos de puntos restantes

Se dice que los grupos de puntos restantes tienen una simetría muy alta o polyhedral porque tienen más de un eje de rotación de orden mayor que 2. Aquí, C_n denota un eje de rotación de 360°/n y S _n denota un eje de rotación impropio a través del mismo. En líneas sucesivas están el orbifold notation, el Coxeter notation y el Diagrama de Coxeter-Dynkin, y el Hermann–Mauguin notation (completo y abreviado si es diferente) y el orden (número de elementos) del grupo de simetría. Los grupos son:

T, (332) [3,3]+ () 23 order 12	chiral simetría tetraédrica	The three-fold rotational axes (C3) of a tetrahedron. The two-fold rotational axes (C2) of a tetrahedron. There are four C3 axes, each through two vertices of a circumscribing cubo (red cube in images), or through one vertex of a regular tetraedro, and three C2 axes, through the centers of the cube's faces, or the midpoints of the tetrahedron's edges. This group is isomorfismo to A4, the grupo alternante on 4 elements, and is the rotation group for a regular tetrahedron. It is a subgrupo normal of Td, Th, and the octahedral symmetries. The elements of the group correspond 1-to-2 to the rotations given by the 24 unit Cuaternión de Hurwitzs (the "binary tetrahedral group").
Td, (*332) [3,3] () 43m order 24	full tetrahedral symmetry	A mirror plane of a tetrahedron. A four-fold rotation-reflection axis (S4) of a tetrahedron. This group is the symmetry group of a regular tetrahedron. This group has the same rotation axes as T, and the C2 axes are now S4 axes. This group has six mirror planes, each containing two edges of the cube or one edge of the tetrahedron, a single S4 axis, and two C3 axes. Td is isomorphic to S4, the grupo simétrico on 4 letters, because there is a 1-to-1 correspondence between the elements of Td and the 24 permutations of the four 3-fold axes. An object of C3v symmetry under one of the 3-fold axes gives rise under the action of Td to an orbit consisting of four such objects, and Td corresponds to the set of permutations of these four objects. Td is a normal subgroup of Oh. See also the isometries of the regular tetrahedron.
Th, (3*2) [3+,4] () 2/m3, m3 order 24	pyritohedral symmetry	The seams of a volleyball have Th symmetry. This group has the same rotation axes as T, with mirror planes parallel to the cube faces. The C3 axes become S6 axes, and there is inversion symmetry. Th is isomorphic to A4 × Z2 (since T and Ci are both normal subgroups), and not to the grupo simétrico S4. It is the symmetry of a cube with on each face a line segment dividing the face into two equal rectangles, such that the line segments of adjacent faces do not meet at the edge. The symmetries correspond to the even permutations of the body diagonals and the same combined with inversion. It is also the symmetry of a dodecaedro, which is similar to the cube described, with each rectangle replaced by a pentagon with one symmetry axis and 4 equal sides and 1 different side (the one corresponding to the line segment dividing the cube's face); i.e., the cube's faces bulge out at the dividing line and become narrower there. It is a subgroup (but not a normal subgroup) of the full icosahedral symmetry group (as isometry group, not just as abstract group), with 4 of the 10 3-fold axes. It is a normal subgroup of Oh. In spite of being called Th, it does not apply to a tetrahedron.
O, (432) [4,3]+ () 432 order 24	chiral simetría octaédrica	This group is like T, but the C2 axes are now C4 axes, and additionally there are 6 C2 axes, through the midpoints of the edges of the cube. This group is also isomorphic to S4 because its elements are in 1-to-1 correspondence to the 24 permutations of the 3-fold axes, as with T. An object of D3 symmetry under one of the 3-fold axes gives rise under the action of O to an orbit consisting of four such objects, and O corresponds to the set of permutations of these four objects. It is the rotation group of the cube and octaedro. Representing rotations with cuaternións, O is made up of the 24 unit Cuaternión de Hurwitzs and the 24 Cuaternión de Hurwitzs of squared norm 2 normalized by dividing by ${\sqrt {2}}$. As before, this is a 1-to-2 correspondence.
Oh, (*432) [4,3] () 4/m32/m, m3m order 48	full octahedral symmetry	This group has the same rotation axes as O, but with mirror planes, comprising both the mirror planes of Td and Th. This group is isomorphic to S4 × Z2 (because both O and Ci are normal subgroups), and is the symmetry group of the cube and octaedro. See also the isometries of the cube.
I, (532) [5,3]+ () 532 order 60	chiral simetría icosaédrica	the rotation group of the icosaedro and the dodecaedro. It is a subgrupo normal of index 2 in the full group of symmetries Ih. The group contains 10 versions of D3 and 6 versions of D5 (rotational symmetries like prisms and antiprisms). It also contains five versions of T (see Compound of five tetrahedra). The group I is isomorfismo to A5, the grupo alternante on 5 letters, since its elements correspond 1-to-1 with even permutations of the five T symmetries (or the five tetrahedra just mentioned). Representing rotations with cuaternións, I is made up of the 120 unit icosianos. As before, this is a 1-to-2 correspondence.
Ih, (*532) [5,3] () 532/m, 53m order 120	full icosahedral symmetry	the symmetry group of the icosahedron and the dodecahedron. The group Ih is isomorphic to A5 × Z2 because I and Ci are both normal subgroups. The group contains 10 versions of D3d, 6 versions of D5d (symmetries like antiprisms), and 5 versions of Th.

Los grupos continuos relacionados con estos grupos son:

• ∞∞, K, o SO(3), todas las rotaciones posibles.
• ∞∞m, K_h, o O(3), todas las rotaciones y reflexiones posibles.

Como se señaló anteriormente para infinite isometry groups, cualquier objeto físico que tenga simetría K también tendrá simetría K_h.

Grupos Coxeter reflectantes

Fundamental domains of 3D Coxeter groups

A3, [3,3],	B3, [4,3],	H3, [5,3],
6 mirrors	3+6 mirrors	15 mirrors
2A1, [1,2],	3A1, [2,2],	A1A2, [2,3],
2 mirrors	3 mirrors	4 mirrors
A1, [1],	2A1, [2],	A2, [3],
1 mirror	2 mirrors	3 mirrors

Los grupos de puntos reflectantes en tres dimensiones también se denominan Grupo de Coxeter y pueden estar dados por un Diagrama de Coxeter-Dynkin y representar un conjunto de espejos que se cruzan en un punto central. Coxeter notation ofrece una notación entre paréntesis equivalente al diagrama de Coxeter, con símbolos de marcado para rotación ional y otros grupos de puntos de subsimetría. En la notación de Schoenflies, los grupos de puntos reflectantes en 3D son C_nv, D_nh y los grupos poliédricos completos T, O e I.

Los planos del espejo limitan un conjunto de dominios trigonometría esférica en la superficie de una esfera. Un grupo de Coxeter de rango "n" tiene planos especulares "n". Los grupos de Coxeter que tienen menos de 3 generadores tienen dominios de triángulos esféricos degenerados, como lunes o hemisphere. En Coxeter notation, estos grupos son simetría tetraédrica [3,3], simetría octaédrica [4,3], simetría icosaédrica [5,3] y dihedral symmetry [p,2]. El número de espejos para un grupo irreducible es nh/2, donde h es el Coxeter number del grupo de Coxeter, n es la dimensión (3).​

Weyl group	Coxeter notation		Order	Coxeter number (h)	Mirrors (m)
Polyhedral groups
A3		[3,3]	24	4	6
B3		[4,3]	48	6	3+6
H3		[5,3]	120	10	15
Dihedral groups
2A1		[1,2]	4		1+1
3A1		[2,2]	8		2+1
I2(p)A1		[p,2]	4p		p+1
Cyclic groups
2A1		[2]	4		2
I2(p)		[p]	2p		p
Single mirror
A1		[ ]	2		1

Grupos de rotación

Los grupos de rotación, es decir, los subgrupos finitos de SO(3), son: los grupos cíclicos C_n (el grupo de rotación de un pyramid canónico), los grupos diédricos D_n (el grupo de rotación de un prism uniforme, o bipirámide canónico), y los grupos de rotación T, O e I de un tetraedro, octaedro/cubo y icosaedro/dodecaedro regulares.

En particular, los grupos diédricos D₃, D₄, etc. son los grupos de rotación de polígonos regulares planos incrustados en un espacio tridimensional, y tal figura puede considerarse como un prisma regular degenerado. Por lo tanto, también se le llama diedro (del griego: sólido de dos caras), lo que explica el nombre de grupo diédrico.

• Un objeto que tiene el grupo de simetría C_n, C_nh, C_nv o S_2n tiene el grupo de rotación C_n.
• Un objeto que tiene un grupo de simetría D_n, D_nh o D_nd tiene un grupo de rotación D_n.
• Un objeto que tiene una simetría poliédrica (T, T_d, T_h, O, O_h, I o I _h) tiene como grupo de rotación el correspondiente sin subíndice: T, O o I.

El grupo de rotación de un objeto es igual a su grupo de simetría completo si y solo si el objeto es chiral. En otras palabras, los objetos quirales son aquellos con su grupo de simetría en la lista de grupos de rotación.

Dado en Schönflies notation, Coxeter notation, (orbifold notation), los subgrupos de rotación son:

Reflection	Reflection/rotational	Rotación impropia	Rotation
Cnv, [n], (*nn)	Cnh, [n+,2], (n*)	S2n, [2n+,2+], (n×)	Cn, [n]+, (nn)
Dnh, [2,n], (*n22)	Dnd, [2+,2n], (2*n)		Dn, [2,n]+, (n22)
Td, [3,3], (*332)			T, [3,3]+, (332)
Oh, [4,3], (*432)	Th, [3+,4], (3*2)		O, [4,3]+, (432)
Ih, [5,3], (*532)			I, [5,3]+, (532)

Correspondencia entre grupos de rotación y otros grupos

Grupos que contienen inversión

El grupo de rotación SO(3) es un subgrupo de O(3), el grupo de rotación de punto completo del espacio euclidiano 3D. En consecuencia, O(3) es el direct product de SO(3) y el grupo inversion C_i (donde la inversión se denota por su matrix −I):

O(3) = SO(3) × { Yo , −Yo }

Por lo tanto, existe una correspondencia 1 a 1 entre todas las isometrías directas y todas las isometrías indirectas, a través de la inversión. También hay una correspondencia 1 a 1 entre todos los grupos H de isometrías directas en SO(3) y todos los grupos K de isometrías en O(3) que contienen inversión:

K = H × { I , −I }

H = K ∩ SO(3)

donde la isometría ( A, I ) es identified con A.

Para grupos finitos, la correspondencia es:

Rotation group H	Parity of n	Group containing inversion K
Cn	even	Cnh
	odd	S2n
Dn	even	Dnh
	odd	Dnd
T		Th
O		Oh
I		Ih

Grupos que contienen isometrías indirectas pero sin inversión

Si un grupo de isometrías directas H tiene un subgrupo L de index 2, entonces hay un grupo correspondiente que contiene isometrías indirectas pero no inversión:

M = L ∪ ((H ∖ L) × { −I } )

Por ejemplo, H = C₄ corresponde a M = S₄.

Así M se obtiene de H invirtiendo las isometrías en H ∖ L. Este grupo M es, cuando se considera como un abstract group, isomorfo a H. Por el contrario, para todos los grupos de puntos M que contienen isometrías indirectas pero sin inversión, podemos obtener un grupo de rotación H invirtiendo las isometrías indirectas.

Para grupos finitos, la correspondencia es:

Rotation group H	Index-2 subgroup L	Parity of n	Group containing indirect isometries M
C2n	Cn	even	S2n
		odd	Cnh
D2n	Dn	even	Dnh
		odd	Dnd
Dn	Cn	any	Cnv
O	T		Td

Subgrupos normales

En 2D, el grupo cíclico de k-fold movimiento de rotacións C_k es para cada entero positivo k un subgrupo normal de O(2) y SO(2). En consecuencia, en 3D, para cada eje, el grupo cíclico de rotaciones de "k" sobre ese eje es un subgrupo normal del grupo de todas las rotaciones sobre ese eje. Dado que cualquier subgrupo de índice dos es normal, el grupo de rotaciones (C_n) es normal tanto en el grupo (C_nv) obtenido al sumar a (C_n) planos de reflexión a través de su eje y en el grupo (C_nh) obtenido sumando a (C_n) un plano de reflexión perpendicular a su eje.

Simetrías máximas

Hay dos grupos de puntos discretos con la propiedad de que ningún grupo de puntos discretos lo tiene como subgrupo propio: O_h e I_h. Su subgrupo común más grande es T_h. Los dos grupos se obtienen a partir de él cambiando la simetría rotacional de 2 veces a 4 veces y agregando una simetría de 5 veces, respectivamente.

Hay dos grupos de puntos cristalográficos con la propiedad de que ningún grupo de puntos cristalográficos la tiene como subgrupo propio: O_h y D_6h. Sus subgrupos comunes máximos, según la orientación, son D_3d y D_2h.

Los grupos ordenados por tipo de grupo abstracto

A continuación, los grupos explicados anteriormente están ordenados por tipo de grupo abstracto.

Los grupos abstractos más pequeños que no son ningún grupo de simetría en 3D, son quaternion group (de orden 8), Z₃ × Z₃ (de orden 9), dicyclic group Dic₃ (o

f orden 12), y 10 de los 14 grupos de orden 16.

La columna "# de elementos de orden 2" en las siguientes tablas muestra el número total de subgrupos de isometría de tipos C₂, C_i, C_s. Este número total es una de las características que ayudan a distinguir los diversos tipos de grupos abstractos, mientras que su tipo de isometría ayuda a distinguir los diversos grupos de isometrías de un mismo grupo abstracto.

Dentro de las posibilidades de los grupos de isometría en 3D, hay infinitos tipos de grupos abstractos con 0, 1 y 3 elementos de orden 2, hay dos con 4n + 1 elementos de orden 2, y hay tres con 4 n + 3 elementos de orden 2 (por cada n ≥ 8 ). Nunca hay un número par positivo de elementos de orden 2.

Grupos de simetría en 3D que son cíclicos como grupo abstracto

El grupo de simetría para simetría rotacional de n es C_n; su tipo de grupo abstracto es grupo cíclico Z_n, que también se indica con C_n. Sin embargo, hay dos series infinitas más de grupos de simetría con este tipo de grupo abstracto:

• Para orden par 2n existe el grupo S_2n (notación Schoenflies) generado por una rotación de un ángulo de 180°/n alrededor de un eje, combinado con una reflexión en el plano perpendicular al eje. Para S₂ se utiliza la notación C_i; se genera por inversión.
• Para cualquier orden 2n donde n es impar, tenemos C_nh; tiene un eje de rotación "n" y un plano de reflexión perpendicular. Es generado por una rotación de un ángulo de 360°/n sobre el eje, combinado con la reflexión. Para C_1h se utiliza la notación C_s; se genera por reflexión en un plano.

Así tenemos, con negrita de los 10 grupos puntuales cristalográficos cíclicos, para los que se aplica el crystallographic restriction:

Order	Isometry groups	Abstract group	# of order 2 elements	Cycle diagram
1	C1	Z1	0
2	C2, Ci, Cs	Z2	1
3	C3	Z3	0
4	C4, S4	Z4	1
5	C5	Z5	0
6	C6, S6, C3h	Z6= Z3 × Z2	1
7	C7	Z7	0
8	C8, S8	Z8	1
9	C9	Z9	0
10	C10, S10, C5h	Z10= Z5 × Z2	1

etc.

Grupos de simetría en 3D que son diédricos como grupo abstracto

En 2D, grupo diedral D_n incluye reflejos, que también se pueden ver como voltear objetos planos sin distinción entre el frente y el reverso.

Sin embargo, en 3D se distinguen las dos operaciones: el grupo de simetría indicado por D_n contiene n ejes dobles perpendiculares al eje de n, no reflejos. D_n es el rotation group del prism de n lados con base regular, y del bipirámide de n lados con base regular, y también de un antiprisma regular de n lados y de un trapezoedro regular de n lados. El grupo también es el grupo de simetría total de dichos objetos después de convertirlos en chiral, p. una marca quiral idéntica en cada cara, o alguna modificación en la forma.

El tipo de grupo abstracto es grupo diedral Dih_n, que también se indica con D_n. Sin embargo, hay otras tres series infinitas de grupos de simetría con este tipo de grupo abstracto:

• C_nv de orden 2n, el grupo de simetría de un pyramid regular de n lados
• D_nd de orden 4n, el grupo de simetría de un antiprisma regular de n lados
• D_nh de orden 4n para n impar. Para n = 1 obtenemos D₂, ya mencionado anteriormente, entonces n ≥ 3.

Tenga en cuenta la siguiente propiedad:

Dih_4n+2 $\cong$ Dih_2n+1 × Z₂

Así tenemos, con los 12 grupos de puntos cristalográficos en negrita, y escribiendo D_1d como el equivalente C_2h:

Order	Isometry groups	Abstract group	# of order 2 elements	Cycle diagram
4	D2, C2v, C2h	Dih2= Z2 × Z2	3
6	D3, C3v	Dih3	3
8	D4, C4v, D2d	Dih4	5
10	D5, C5v	Dih5	5
12	D6, C6v, D3d, D3h	Dih6= Dih3 × Z2	7
14	D7, C7v	Dih7	7
16	D8, C8v, D4d	Dih8	9
18	D9, C9v	Dih9	9
20	D10, C10v, D5h, D5d	Dih10= D5 × Z2	11

etc.

Otro

C_2n,h de orden 4n es del tipo de grupo abstracto Z_2n × Z₂. Para n = 1 obtenemos Dih₂, ya mencionado anteriormente, por lo que n ≥ 2.

Así tenemos, con negrita de los 2 grupos puntuales cristalográficos cíclicos:

Order	Isometry group	Abstract group	# of order 2 elements	Cycle diagram
8	C4h	Z4 × Z2	3
12	C6h	Z6 × Z2= Z3 × Z22= Z3 × Dih2	3
16	C8h	Z8 × Z2	3
20	C10h	Z10 × Z2= Z5 × Z22= Z5 × Dih2	3

etc.

D_nh de orden 4n es del tipo de grupo abstracto Dih_n × Z₂. Para n impar, esto ya está cubierto anteriormente, por lo que aquí tenemos D_2nh de orden 8n, que es del tipo de grupo abstracto Dih_2n × Z₂ (n≥1) .

Así tenemos, con negrita de los 3 grupos de puntos cristalográficos diédricos:

Order	Isometry group	Abstract group	# of order 2 elements	Cycle diagram
8	D2h	Z23	7
16	D4h	Dih4 × Z2	11
24	D6h	Dih6 × Z2= Dih3 × Z22	15
32	D8h	Dih8 × Z2	19

etc.

Los siete restantes son, con negrita de los 5 grupos de puntos cristalográficos (ver también arriba):

Order	Isometry group	Abstract group	# of order 2 elements	Cycle diagram
12	T	A4	3
24	Td, O	S4	9
24	Th	A4 × Z2	7
48	Oh	S4 × Z2	19
60	I	A5	15
120	Ih	A5 × Z2	31

Dominio fundamental

Disdyakis triacontahedron

The planes of reflection for simetría icosaédrica intersect the sphere on gran círculos, with right spherical triangle fundamental domains

El fundamental domain de un grupo de puntos es un cono (geometría). Un objeto con una simetría dada en una orientación dada se caracteriza por el dominio fundamental. Si el objeto es una superficie, se caracteriza por una superficie en el dominio fundamental que continúa hasta sus caras bordales radiales o superficie. Si las copias de la superficie no encajan, se pueden agregar caras o superficies radiales. Se ajustan de todos modos si el dominio fundamental está delimitado por planos de reflexión.

Para un poliedro, esta superficie en el dominio fundamental puede ser parte de un plano arbitrario. Por ejemplo, en hexaquisicosaedro una cara completa es un dominio fundamental de simetría icosaédrica. Ajustar la orientación del plano brinda varias posibilidades de combinar dos o más caras adyacentes en una, dando varios otros poliedros con la misma simetría. El poliedro es convexo si la superficie se ajusta a sus copias y la línea radial perpendicular al plano está en el dominio fundamental.

También la superficie en el dominio fundamental puede estar compuesta por múltiples caras.

Grupos poliédricos binarios

El mapa Spin(3) → SO(3) es la doble cobertura del grupo de rotación por el grupo espinorial en 3 dimensiones. (Esta es la única portada conectada de SO(3), ya que e Spin(3) es simplemente conexo.) Por lattice theorem, hay un Conexión de Galois entre subgrupos de Spin(3) y subgrupos de SO(3) (grupos de puntos rotacionales): la imagen de un subgrupo de Spin(3) es un grupo de puntos rotacionales, y la preimagen de un punto group es un subgrupo de Spin(3). (Tenga en cuenta que Spin(3) tiene descripciones alternativas como el grupo unitario especial Grupo unitario especial y como el grupo de unit quaternions. Topológicamente, este grupo de Lie es el 3-dimensional sphere S³).

La preimagen de un grupo de puntos finitos se denomina grupo poliédrico binario, representado como ⟨l,n,m⟩, y recibe el mismo nombre que su grupo de puntos, con el prefijo binario, con el doble del orden del relacionado polyhedral group (l,m,n). Por ejemplo, la preimagen de simetría icosaédrica (2,3,5) es binary icosahedral group, ⟨2,3,5⟩.

Los grupos poliédricos binarios son:

• $A_{n}$: binary cyclic group de un (n + 1)-gon, orden 2n
• $D_{n}$: binary dihedral group de un n-gon, ⟨2,2,n⟩, orden 4n
• $E_{6}$: binary tetrahedral group, ⟨2,3,3⟩, pedido 24
• $E_{7}$: binary octahedral group, ⟨2,3,4⟩, pedido 48
• $E_{8}$: binary icosahedral group, ⟨2,3,5⟩, pedido 120

Estos se clasifican por el ADE classification, y el cociente de C² por la acción de un grupo poliédrico binario es un Du Val singularity.​

Para grupos de puntos que invierten la orientación, la situación es más complicada, ya que hay dos pin group, por lo que hay dos posibles grupos binarios correspondientes a un grupo de puntos dado.

Tenga en cuenta que esto es una cobertura de "grupos", no una cobertura de "espacios": la esfera es conjunto simplemente conexo y, por lo tanto, no tiene espacio recubridor. Por lo tanto, no existe la noción de un "poliedro binario" que cubra un poliedro tridimensional. Los grupos poliédricos binarios son subgrupos discretos de un grupo Spin, y bajo una representación del grupo spin actúan sobre un espacio vectorial, y pueden estabilizar un poliedro en esta representación – bajo el mapa Spin(3) → SO(3) actúan sobre el mismo poliedro sobre el que actúa el grupo subyacente (no binario), mientras que bajo spin representation u otras representaciones pueden estabilizar otros poliedros.

Esto contrasta con projective polyhedra: la esfera cubre espacio proyectivo (y también lens space) y, por lo tanto, una teselación de espacio proyectivo o espacio de lente produce una noción distinta de poliedro.

Véase también

• List of spherical symmetry groups
• List of character tables for chemically important 3D point groups
• Point groups in two dimensions
• Point groups in four dimensions
• Simetría
• Isometría afín
• Group action
• Grupo puntual
• Sistema cristalino
• Grupo espacial
• Anexo:Grupos finitos de orden bajo
• Simetría molecular

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Bibliografía

• Coxeter, H. S. M. (1974), «7 The Binary Polyhedral Groups», Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, pp. 73–82 ..
• Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups, 4th edition. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.  6.5 Los grupos poliédricos binarios, p. 68
• Conway, John Horton; Huson, Daniel H. (2002), «The Orbifold Notation for Two-Dimensional Groups», Structural Chemistry (Springer Netherlands) 13 (3): 247-257, S2CID 33947139, doi:10.1023/A:1015851621002 .

Enlaces externos

• Resumen gráfico de los 32 grupos de puntos cristalográficos – formar las primeras partes (además de omitir n=5) de las 7 series infinitas y 5 de los 7 grupos de puntos 3D separados
• Descripción general de las propiedades de los grupos de puntos
• Poliedros canónicos más simples de cada tipo de simetría (usa Java)
• Point Groups and Crystal Systems, por Yi-Shu Wei, pp. 4 –6
• The Geometry Center: 10.1 Fórmulas para simetrías en coordenadas cartesianas (tres dimensiones)

• Datos: Q7208207