Serie de Taylor

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A medida que aumenta el grado del polinomio de Maclaurin, se aproxima a la función. Se ilustran las aproximaciones de Maclaurin a sen(x), centradas en 0, de grados 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.
La gráfica de la función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo)

En matemáticas, una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o punto suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie. A la serie centrada sobre el punto cero, es decir, cuando , se le denomina también serie de Maclaurin.

Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:

  • la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;
  • se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones;
  • es posible calcular la optimidad de la aproximación.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de (véase Serie de Laurent). Por ejemplo se puede desarrollar como serie de Laurent.

Definición[editar]

La serie de Taylor de una función real o compleja infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias:

donde denota el factorial de . Utilizando la notación sigma, lo anterior puede ser escrito de manera compacta como

donde denota la -ésima derivada de evaluada en el punto . (La derivada de orden cero de es definida como la propia y tanto como son ambos definidos como .)

En particular, cuando , la serie es denominada: serie de Maclaurin.

Cabe destacar que en una serie de Taylor de potencias centrada en de la forma siempre se puede hacer el cambio de variable (con lo que en la función a desarrollar original) para expresarla como centrada en 0. Luego hay que deshacer el cambio de variable. Por ejemplo, si se quiere desarrollar la función alrededor de a = 1 se puede tomar , de manera que se desarrollaría centrada en 0.

Ejemplos[editar]

La serie de Taylor de un polinomio es el propio polinomio.

La serie de Maclaurin para es la serie geométrica

por lo que la serie de Taylor para en es

Integrando la serie de Maclaurin de arriba, obtenemos la serie de Maclaurin de , donde denota el logaritmo natural

más general, la serie de Taylor para en un punto arbitrario es

La serie de Maclaurin de la función exponencial es

Historia[editar]

El filósofo eleata Zenón de Elea consideró el problema de sumar una serie infinita para lograr un resultado finito, pero lo descartó por considerarlo imposible: el resultado fueron las paradojas de Zenón. Posteriormente, Aristóteles propuso una resolución filosófica a la paradoja, pero el contenido matemático de esta no quedó resuelto hasta que lo retomaron Demócrito y después Arquímedes. Fue a través del método exhaustivo de Arquímedes que un número infinito de subdivisiones geométricas progresivas podían alcanzar un resultado trigonométrico finito.[1]​ Independientemente, Liu Hui utilizó un método similar cientos de años después.[2]

En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de series de Taylor y métodos similares fueron dados por Madhava de Sangamagrama.[3]​ A pesar de que hoy en día ningún registro de su trabajo ha sobrevivido a los años, escritos de matemáticos hindúes posteriores sugieren que él encontró un número de casos especiales de la serie de Taylor, incluidos aquellos para las funciones trigonométricas del seno, coseno, tangente y arcotangente.

En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en esta área y publicó varias series de Maclaurin. Pero en 1715 se presentó una forma general para construir estas series para todas las funciones para las que existe y fue presentado por Brook Taylor, de quién recibe su nombre.

Las series de Maclaurin fueron nombradas así por Colin Maclaurin, un profesor de Edimburgo, quien publicó el caso especial de las series de Taylor en el siglo XVIII.

Función analítica[editar]

Si está dada por una serie de potencias convergente en un disco abierto (o intervalo en la recta real) centrada en en el plano complejo entonces se dice que es analítica en el disco, por lo que para en este disco, está dada por la serie de potencia convergente

derivando con respecto a la fórmula anterior veces y evaluando obtenemos

y en tal caso, la expansión en series de potencia coincide con la serie de Taylor. Por lo tanto, una función es analítica en un disco abierto centrado en si y sólo si su serie de Taylor converge al valor de la función en cada punto en el disco.

Si es igual a la suma de su serie de Taylor para toda en el plano complejo entonces es llamada entera. Los polinomios, la función exponencial y las funciones trigonométrica seno y coseno, son ejemplos de funciones enteras. Ejemplos de funciones que no son enteras son el logaritmo, la función trigonométrica tangente y su inversa, arcotangente; para estas funciones la serie de Taylor no converge si está alejado de , esto es, la serie de Taylor diverge para si la distancia entre y es mayor que el radio de convergencia. La serie de Taylor puede ser usada para calcular el valor de una función entera en cada punto si el valor de la función y todas sus derivadas son conocidas en cada punto.

Lista de Series de Maclaurin de algunas funciones comunes[editar]

La función coseno
Una aproximación de octavo orden de la función coseno en el plano de los complejos
Las dos imágenes superiores unidas

A continuación se enumeran algunas series de Maclaurin de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de .

Función exponencial[editar]

La función exponencial tiene como serie de Maclaurin

y converge para toda .

Logaritmo natural[editar]

El logaritmo natural (en base ) tiene como serie de Maclaurin

y convergen para .

Serie geométrica[editar]

La serie geométrica y sus derivadas tienen serie de Maclaurin

y todas convergen para .

Serie binomial[editar]

La series binomial es la serie de potencias

cuyos coeficientes son los coeficientes binomiales generalizados

(Si , este producto es un producto vacío y tiene un valor de ). Converge para para cualquier .

Cuando , obtenemos la serie geométrica mencionada anteriormente.

Funciones trigonométricas[editar]

Las función trigonométricas usuales y sus inversas tienen como series de Maclaurin:

Todos los ángulos están expresados en radianes. Los números son los números de Bernoulli mientas que son los números de Euler.

Funciones hiperbólicas[editar]

Las funciones hiperbólicas tienen como series de Maclaurin

donde los números son los números de Bernoulli.

Función W de Lambert[editar]

Serie de Taylor en varias variables[editar]

La serie de Taylor se puede generalizar a funciones de más de una variable como

Como ejemplo, para una función de 2 variables , la serie de Taylor de segundo orden alrededor del punto es:

donde los subíndices denotan las respectivas derivadas parciales, esto es

Una expansión en serie Taylor de segundo orden para funciones escalares de más de una variable puede ser escrito de manera compacta como

donde es el gradiente de en y es la matriz hessiana. Otra forma:

Aplicaciones[editar]

Además de la obvia aplicación de utilizar funciones polinómicas en lugar de funciones de mayor complejidad para analizar el comportamiento local de una función, las series de Taylor tienen muchas otras aplicaciones.

Algunas de ellas son: análisis de límites y estudios paramétricos de los mismos, estimación de números irracionales acotando su error, la regla de l'Hôpital para la resolución de límites indeterminados, estudio de puntos estacionarios en funciones (máximos o mínimos relativos o puntos sillas de tendencia estrictamente creciente o decreciente), estimación de integrales, determinación de convergencia y suma de algunas series importantes, estudio de orden y parámetro principal de infinitésimos, etc.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Kline, M. (1990) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press. pp. 35-37.
  2. Boyer, C. and Merzbach, U. (1991) A History of Mathematics. John Wiley and Sons. pp. 202-203.
  3. «Neither Newton nor Leibniz - The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala». MAT 314. Canisius College. Archivado desde el original el 6 de agosto de 2006. Consultado el 9 de julio de 2006. 

Enlaces externos[editar]