Función error

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Gráfica de la función error.

En matemáticas, la función error (también conocida como función error de Gauss) es una función especial (no elemental) que se utiliza en el campo de la probabilidad, la estadística y las ecuaciones diferenciales parciales. La función queda definida por la expresión:

La función error complementaria, llamada erfc, se define a partir de la función error:

Función de error compleja[editar]

La función de error compleja se define mediante la siguiente expresión:[1]

Esta función es holomorfa en todo el plano complejo, impar y desarrollable en serie entera. Para real coincide con la función de error real.

Esta función, llamada w(x), (también conocida como la función Faddeeva) admite la siguiente expresión:

La serie de potencias para esta función viene dada por:

Propiedades[editar]

La función error es impar:

Además, para todo número complejo z se verifica que

donde es el conjugado de z.


No es posible evaluar la integral en forma cerrada utilizando funciones elementales, pero si se expande el integrando mediante una serie de Taylor, se obtiene la serie de Taylor de la función error:

expresión que es válida para todo número real x, y también en todo el plano complejo. Este resultado está basado en el desarrollo en serie de Taylor de que es y que se integra término a término. Los términos del denominador son la secuencia A007680 en el OEIS.

Para realizar el cálculo iterativo de la mencionada serie, es útil utilizar la siguiente formulación alternativa:

porque expresa el multiplicador necesario para que el término iésimo se convierta en el término (i+1)ésimo (suponiendo que el número "x" es el primer término).

La función error evaluada en más infinito tiene el valor de 1, exactamente (ver Integral de Gauss). En menos infinito, tiene el valor de -1.

La derivada de la función error se obtiene directamente a partir de su definición:

La función error inversa es la serie

donde c0 = 1 y

Por lo que se tiene el desarrollo en serie (nótese que se han cancelado los factores comunes en los numeradores y denominadores):

[1]

(Después de cancelar las fracciones en el numerador y denominador corresponde a las entradas A092676/A132467 en el OEIS; si no se realiza la cancelación los términos del numerador corresponden a la entrada A002067.)

Gráfica de la función error complementaria.

Derivadas[editar]

Para k=1,2,...

donde son los polinomios de Hermite empleados en la teoría de la probabilidad. [2]

Usos[editar]

Si los resultados de una serie de mediciones son descritos por una distribución normal con una desviación estándar y esperanza matemática 0, entonces es la probabilidad de que el error de una medición individual se encuentre comprendido en el intervalo −a y +a.

Las funciones error y complementaria del error, también se utilizan al buscar soluciones a problemas de resolución de la ecuación de calor con condiciones de borde expresadas por la función escalón de Heaviside.

En sistemas de comunicación digital ópticos, la "Relación de error de bit" -BER- queda expresado por la siguiente función:

Serie asintótica[editar]

Un serie asintótica útil de la función error complementaria (y por lo tanto también de la función error) para valores grandes de x es

Esta serie diverge para todo valor de x finito. Sin embargo, en la práctica solo son necesarios los primeros términos de esta serie para obtener una buena aproximación al valor de erfc(x), donde la serie de Taylor expresada previamente converge muy lentamente.

Otra aproximación es:

donde

Nótese que esta aproximación siempre devuelve valores positivos, cuando la función error toma valores negativos ante entradas negativas. Esta singularidad se puede resolver de manera simple aplicando el signo de x al resultado final. (x/abs(x))

Funciones relacionadas[editar]

La función error es esencialmente idéntica a la función distribución de probabilidad normal estándar, designada como Φ, ya que su única diferencia es su escala y una traslación. En efecto,

A la inversa de se la conoce como la función quantil normal, o función probit y se la puede expresar utilizando la función error inversa:

La cdf normal estándar es utilizada más a menudo en probabilidad y estadística, mientras que la función error es utilizada con mayor frecuencia en otras ramas de las matemáticas.

La función error es un caso especial de la función de Mittag-Leffler, y puede ser expresada como una función hipergeométrica confluyente (función de Kummer):

Posee una expresión relativamente simple mediante la integral de Fresnel. En términos de la función gamma regularizada P y la función gamma incompleta,

es la función signo.

Funciones error generalizadas[editar]

Gráfica de las funciones error generalizadas En(x):
curva gris: E1(x) = (1 − e −x)/
curva roja: E2(x) = erf(x)
curva verde: E3(x)
curva azul: E4(x)
curva amarilla: E5(x).

Algunos autores han analizado funciones más generales del tipo

Algunos casos destacables son:

  • E0(x) es una línea recta que pasa por el origen:
  • E2(x) es la función error, erf(x).

Si se divide por n!, todas las En para n impares son similares entre sí (aunque no identicas). En forma similar, las En para n pares luego de dividirlas por n! son similares entre sí (aunque no idénticas). Todas las funciones error generalizadas para n>0 son similares para x positivas.

Estas funciones generalizadas para x>0 pueden ser expresadas en forma equivalente mediante la función Gamma:

Por lo tanto, se puede definir a la función error mediante la función gamma mediante la siguiente expresión:

Integrales iteradas de la función error complementaria[editar]

Las integrales iteradas de la función error complementaria se definen como

Poseen las series de potencias

de las que se deducen las siguientes simetrías

y

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. "Funciones especiales" Y. Ayant M. Borg Editorial Alhambra 1974
  2. Wolfram MathWorld

Enlaces externos[editar]