Distribución logística

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Distribución logística
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Función generadora de momentos (mgf)
for , Beta function
Función característica
for
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En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución logística es una distribución de probabilidad continua cuya función de distribución es la función logística, que aparece en el contexto de la regresión logística y determinados tipos de redes neuronales. Se parece a la distribución normal en su forma, pero tiene colas más pesadas (y, por lo tanto, menor curtosis).

Especificación[editar]

Función de distribución[editar]

La distribución logística recibe su nombre de su función de distribución, que pertenece a la familia de las funciones logísticas:

Función de densidad[editar]

Su función de densidad es:

Nótese que puede expresarse en función del cuadrado de la secante hiperbólica "sech".

Si se realiza la sustitución , la función de densidad queda de la forma:

Función de distribución inversa[editar]

La inversa función de distribución de la distribución logística es una generalización de la función logit:

Aplicaciones[editar]

La distribución logística ha sido usada extensamente en áreas como:

? Biología: para describir cómo se comportan las especies en entornos competitivos[1]

? Epidemiología - para describir la propagación de epidemias[2]

? Sicología - para describir el proceso de aprendizaje[3]

? Tecnología - para describir cómo las tecnologías se popularizan y compiten entre sí[4]

? Márketing - para estudiar la difusión de nuevos productos[5]

? Energía - para estudiar la difusión y sustitución de unas fuentes de energía primarias por otras[6]

El cálculo del elo en ajedrez utiliza actualmente la distribución logística en lugar de la normal con la que fue diseñado originalmente.

Distribuciones relacionadas[editar]

Si log(X) sigue la distribución logística, entonces X sigue la distribución log-logística y X - a la distribución log-logística desplazada.

Demostraciones[editar]

Media[editar]


Substituyendo:


Nótese que para la función impar:

Momentos de orden superior[editar]

El n-ésimo momento central puede expresarse así en función de la función de probabilidad inversa:

Esta integral es bien conocida[7] y puede expresarse en función de los números de Bernouilli:


Véase también[editar]

Notas[editar]

  1. P. F. Verhulst, "Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement de la population", Nouveaux Mémoirs de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Bruxelles, vol. 18 (1845); Alfred J. Lotka, Elements of Physical Biology, (Baltimore, MD: Williams & Wilkins Co., 1925).
  2. Theodore Modis, Predictions: Society's Telltale Signature Reveals the Past y Forecasts the Future, Simon & Schuster, New York, 1992, pp 97-105.
  3. Theodore Modis, Predictions: Society's Telltale Signature Reveals the Past y Forecasts the Future, Simon & Schuster, New York, 1992, Chapter 2.
  4. J. C. Fisher y R. H. Pry , "A Simple Substitution Model of Technological Change", Technological Forecasting & Social Change, vol. 3, no. 1 (1971).
  5. Theodore Modis, Conquering Uncertainty, McGraw-Hill, New York, 1998, Chapter 1.
  6. Cesare Marchetti, "Primary Energy Substitution Models: On the Interaction between Energy y Society", Technological Forecasting & Social Change, vol. 10, (1977).
  7. (sucesión A001896 en OEIS)

Referencias[editar]

  • N., Balakrishnan (1992). Handbook of the Logistic Distribution. Marcel Dekker, New York. ISBN 0-8247-8587-8. 
  • Johnson, N. L., Kotz, S., Balakrishnan N. (1995). Continuous Univariate Distributions. Vol. 2 (2nd Ed. edición). ISBN 0-471-58494-0.