Distribución de Pareto

Pareto
Funciones de densidad de probabilidad para diferentes α  con xm = 1. El eje horizontal es el parámetro x. Como α → ∞ la distribución se aproxima δ(x − xm) donde δ es la delta de Dirac. Función de densidad de probabilidad
Funciones de densidad de probabilidad para diferentes α  con xm = 1. El eje horizontal es el parámetro x. Función de distribución de probabilidad
Parámetros	$x_{\mathrm {m} }>0\,$ escala (real) $\alpha >0\,$ forma (real)
Dominio	$x\in [x_{\mathrm {m} },+\infty )\!$
Función de densidad (pdf)	${\frac {\alpha \,x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}{\text{ for }}x>x_{m}\!$
Función de distribución (cdf)	$1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }\!$
Media	${\frac {\alpha \,x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}{\text{ for }}\alpha >1\,$
Mediana	$x_{\mathrm {m} }{\sqrt[{\alpha }]{2}}$
Moda	$x_{\mathrm {m} }\,$
Varianza	${\frac {x_{\mathrm {m} }^{2}\alpha }{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}{\text{ for }}\alpha >2\,$
Coeficiente de simetría	${\frac {2(1+\alpha )}{\alpha -3}}\,{\sqrt {\frac {\alpha -2}{\alpha }}}{\text{ for }}\alpha >3\,$
Curtosis	${\frac {6(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}-6\alpha -2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}{\text{ for }}\alpha >4\,$
Entropía	$\ln \left({\frac {\alpha }{x_{\mathrm {m} }}}\right)-{\frac {1}{\alpha }}-1\!$
Función generadora de momentos (mgf)	$\alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t){\text{ for }}t<0\,$
Función característica	$\alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t)\,$

En teoría de la probabilidad y en estadística, la distribución Pareto es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros, que tiene aplicación en disciplinas como la sociología, geofísica y economía.​. Fue formulada por el ingeniero civil, economista y sociólogo Vilfredo Pareto, aunque en ciertas áreas de estudio se hace referencia a la ley de Bradford. Cabe señalar que el equivalente discreto de la distribución Pareto es la distribución zeta (la ley de Zipf).

Cuando la distribución de Pareto es usada en un modelo sobre la distribución de riqueza, el parámetro $\alpha$ es conocido como índice de Pareto.

Definición

Notación

Si $X$ es una variable aleatoria continua con distribución Pareto con parámetros $\alpha >0$ y $x_{m}>0$ entonces escribimos $X\sim \operatorname {Pareto} (\alpha ,x_{m})$.

Función de densidad

La función de densidad de una variable aleatoria $X\sim \operatorname {Pareto} (\alpha ,x_{m})$ es

$f_{X}(x)={\frac {\alpha x_{m}^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}$

para $x_{m}\leq m$.

Probabilidad acumulada

La función de distribución de una variable aleatoria $X\sim \operatorname {Pareto} (\alpha ,x_{m})$ es

$F_{X}(x)=1-\left({\frac {x_{m}}{x}}\right)^{\alpha }$

Propiedades

Si $X\sim \operatorname {Pareto} (\alpha ,x_{m})$ entonces la variable aleatoria $X$ satisface algunas propiedades.

Media

La media de la variable aleatoria $X$ es

$\operatorname {E} [X]={\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}\,$

con $\alpha >1$.

Varianza

La varianza de la variable aleatoria $X$

$\mathrm {Var} (X)={\frac {\alpha x_{m}^{2}}{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}$

para $\alpha >2$.

Momentos

El $n$-ésimo momento sólo está definido para $n<\alpha$ y en tal caso es

$\operatorname {E} [X^{n}]={\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{n}}{\alpha -n}}$

Función generadora de momentos

La función generadora de momentos es

$M_{X}(t)=\alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t)$

y está definida para valores $t<0$.

Caso degenerado

La función de la delta de Dirac es un caso límite de la densidad de Pareto:

$\lim _{\alpha \rightarrow \infty }f(x;\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\delta (x-x_{\mathrm {m} }).\,$

Distribución simétrica

Puede definirse una Distribución de Pareto Simétrica según:​

$f(x;\alpha ,x_{\mathrm {m} })={\begin{cases}(\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }/2)|x|^{-\alpha -1}&{\text{si }}|x|>x_{\mathrm {m} }\\0&{\text{resto}}.\end{cases}}$

Distribución Generalizada de Pareto

Pareto Generalizado
Parámetros	$\mu \in (-\infty ,\infty )\,$ localización (real) $\sigma \in (0,\infty )\,$ escala (real) $\xi \in (-\infty ,\infty )\,$ forma (real)
Dominio	$x\geqslant \mu \,\;(\xi \geqslant 0)$ $\mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi \,\;(\xi <0)$
Función de densidad (pdf)	${\frac {1}{\sigma }}(1+\xi z)^{-(1/\xi +1)}$ where $z={\frac {x-\mu }{\sigma }}$
Función de distribución (cdf)	$1-(1+\xi z)^{-1/\xi }\,$
Media	$\mu +{\frac {\sigma }{1-\xi }}\,\;(\xi <1)$
Mediana	$\mu +{\frac {\sigma (2^{\xi }-1)}{\xi }}$
Varianza	${\frac {\sigma ^{2}}{(1-\xi )^{2}(1-2\xi )}}\,\;(\xi <1/2)$

La familia de distribuciones generalizadas de Pareto (GPD) tienen tres parámetros $\mu ,\sigma \,$ y $\xi \,$.

La función de probabilidad acumulada es

$F_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/\xi }&{\text{si }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)&{\text{si }}\xi =0.\end{cases}}$

Para $x\geqslant \mu$, con $\xi \geqslant 0\,$, y $x\leqslant \mu -\sigma /\xi$ con $\xi <0\,$, donde $\mu \in \mathbb {R}$ es el parámetro localización, $\sigma >0\,$ es el parámetro escala y $\xi \in \mathbb {R}$ es el parámetro forma. Nótese que algunas referencias toman el parámetro forma como $\kappa =-\xi \,$.

La función de densidad de probabilidad es:

$f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\frac {1}{\sigma }}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}.$

o

$f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\frac {\sigma ^{\frac {1}{\xi }}}{\left(\sigma +\xi (x-\mu )\right)^{{\frac {1}{\xi }}+1}}}.$

de nuevo, para $x\geqslant \mu$, y $x\leqslant \mu -\sigma /\xi$ si $\xi <0\,$

Aplicación

Aplicación de la distribución de probabilidad acumulada de Pareto a lluvias diarias máximas.​

En la hidrología, se utiliza la distribución de Pareto para analizar variables aleatorias como valores máximos de la precipitación y la descarga de ríos,​ y además para describir épocas de sequía.​

Software

Se puede usar software y un programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la de Pareto, a una serie de datos:

• Easy fit Archivado el 23 de febrero de 2018 en la Wayback Machine., "data analysis & simulation"
• ModelRisk, "risk modelling software"
• Ricci distributions, fitting distrubutions with R, Vito Ricci, 2005
• Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples
• StatSoft distribution fitting Archivado el 30 de agosto de 2012 en la Wayback Machine.
• CumFreq, sin costo, incluye intervalos de confianza a base de la distribución binomial

Bibliografía

• Barry C. Arnold (1983). Pareto Distributions, International Co-operative Publishing House, Burtonsville, Maryland. ISBN 0-899974-012-1.
• Christian Kleiber and Samuel Kotz (2003). Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences, New York:Wiley. xi+332 pp. ISBN 0-471-15064-9.
• Lorenz, M. O. (1905). "Methods of measuring the concentration of wealth". Publications of the American Statistical Association. 9: 209–219.

Véase también

• Distribución de Weibull

Enlaces externos

• Calculadora - Distribución de Pareto

• Datos: Q837683
• Multimedia: Pareto distribution