Distribución de Pareto
Pareto | ||
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![]() Funciones de densidad de probabilidad para diferentes α con xm = 1. El eje horizontal es el parámetro x. Como α → ∞ la distribución se aproxima δ(x − xm) donde δ es la delta de Dirac. Función de densidad de probabilidad | ||
![]() Funciones de densidad de probabilidad para diferentes α con xm = 1. El eje horizontal es el parámetro x. Función de distribución de probabilidad | ||
Parámetros |
escala (real) forma (real) | |
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Función de densidad (pdf) | ||
Función de distribución (cdf) | ||
Media | ||
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Moda | ||
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Coeficiente de simetría | ||
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Entropía | ||
Función generadora de momentos (mgf) | ||
Función característica | ||
En teoría de la probabilidad y en estadística, la distribución Pareto es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros, que tiene aplicación en disciplinas como la sociología, geofísica y economía.[1]. Fue formulada por el ingeniero civil, economista y sociólogo Vilfredo Pareto, aunque en ciertas áreas de estudio se hace referencia a la ley de Bradford. Cabe señalar que el equivalente discreto de la distribución Pareto es la distribución zeta (la ley de Zipf).
Cuando la distribución de Pareto es usada en un modelo sobre la distribución de riqueza, el parámetro es conocido como índice de Pareto.
Definición[editar]
Notación[editar]
Si es una variable aleatoria continua con distribución Pareto con parámetros y entonces escribimos .
Función de densidad[editar]
La función de densidad de una variable aleatoria es
para .
Probabilidad acumulada[editar]
La función de distribución de una variable aleatoria es
Propiedades[editar]
Si entonces la variable aleatoria satisface algunas propiedades.
Media[editar]
La media de la variable aleatoria es
con .
Varianza[editar]
La varianza de la variable aleatoria
para .
Momentos[editar]
El -ésimo momento sólo está definido para y en tal caso es
Función generadora de momentos[editar]
La función generadora de momentos es
y está definida para valores .
Caso degenerado[editar]
La función de la delta de Dirac es un caso límite de la densidad de Pareto:
Distribución simétrica[editar]
Puede definirse una Distribución de Pareto Simétrica según:[2]
Distribución Generalizada de Pareto[editar]
Pareto Generalizado | ||
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Parámetros |
localización (real) | |
Dominio |
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Función de densidad (pdf) |
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Función de distribución (cdf) | ||
Media | ||
Mediana | ||
Varianza | ||
La familia de distribuciones generalizadas de Pareto (GPD) tienen tres parámetros y .
La función de probabilidad acumulada es
Para , con , y con , donde es el parámetro localización, es el parámetro escala y es el parámetro forma. Nótese que algunas referencias toman el parámetro forma como .
La función de densidad de probabilidad es:
o
de nuevo, para , y si
Aplicación[editar]

En la hidrología, se utiliza la distribución de Pareto para analizar variables aleatorias como valores máximos de la precipitación y la descarga de ríos,[4] y además para describir épocas de sequía.[5]
Software[editar]
Se puede usar software y un programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la de Pareto, a una serie de datos:
- Easy fit Archivado el 23 de febrero de 2018 en la Wayback Machine., "data analysis & simulation"
- ModelRisk, "risk modelling software"
- Ricci distributions, fitting distrubutions with R, Vito Ricci, 2005
- Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples
- StatSoft distribution fitting Archivado el 30 de agosto de 2012 en la Wayback Machine.
- CumFreq, sin costo, incluye intervalos de confianza a base de la distribución binomial
Bibliografía[editar]
- Barry C. Arnold (1983). Pareto Distributions, International Co-operative Publishing House, Burtonsville, Maryland. ISBN 0-899974-012-1.
- Christian Kleiber and Samuel Kotz (2003). Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences, New York:Wiley. xi+332 pp. ISBN 0-471-15064-9.
- Lorenz, M. O. (1905). "Methods of measuring the concentration of wealth". Publications of the American Statistical Association. 9: 209–219.
Referencias[editar]
- ↑ Guerriero, V. (2012). «Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics». Journal of Modern Mathematics Frontier. Archivado desde el original el 21 de febrero de 2018. Consultado el 30 de octubre de 2017.
- ↑ Grabchak, M. & Samorodnitsky, D. «Do Financial Returns Have Finite or Infinite Variance? A Paradox and an Explanation». pp. 7-8.
- ↑ CumFreq software para adecuación de distribuciones de probabilidad [1]
- ↑ Oosterbaan, R.J. (1994). «Chapter 6 Frequency and Regression Analysis». En Ritzema, H.P., ed. Drainage Principles and Applications, Publication 16. Wageningen, The Netherlands: International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI). pp. 175-224. ISBN 90-70754-33-9.
- ↑ Burke, Eleanor J.; Perry, Richard H.J.; Brown, Simon J. (2010). «An extreme value analysis of UK drought and projections of change in the future». Journal of Hydrology 388: 131. doi:10.1016/j.jhydrol.2010.04.035.
Véase también[editar]
Enlaces externos[editar]