Distribución de Pareto

Pareto
Funciones de densidad de probabilidad para diferentes α  con xm = 1. El eje horizontal es el parámetro x. Como α → ∞ la distribución se aproxima δ(x − xm) donde δ es la delta de Dirac. Función de densidad de probabilidad
unciones de densidad de probabilidad para diferentes α  con xm = 1. El eje horizontal es el parámetro x. Función de distribución de probabilidad
Parámetros	$x_{\mathrm {m} }>0\,$ escala (real) $\alpha >0\,$ forma (real)
Dominio	$x\in [x_{\mathrm {m} };+\infty )\!$
Función de densidad (pdf)	${\frac {\alpha \,x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}{\text{ for }}x>x_{m}\!$
Función de distribución (cdf)	$1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }\!$
Media	${\frac {\alpha \,x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}{\text{ for }}\alpha >1\,$
Mediana	$x_{\mathrm {m} }{\sqrt[{\alpha }]{2}}$
Moda	$x_{\mathrm {m} }\,$
Varianza	${\frac {x_{\mathrm {m} }^{2}\alpha }{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}{\text{ for }}\alpha >2\,$
Coeficiente de simetría	${\frac {2(1+\alpha )}{\alpha -3}}\,{\sqrt {\frac {\alpha -2}{\alpha }}}{\text{ for }}\alpha >3\,$
Curtosis	${\frac {6(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}-6\alpha -2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}{\text{ for }}\alpha >4\,$
Entropía	$\ln \left({\frac {\alpha }{x_{\mathrm {m} }}}\right)-{\frac {1}{\alpha }}-1\!$
Función generadora de momentos (mgf)	$\alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t){\text{ for }}t<0\,$
Función característica	$\alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t)\,$
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En estadística la distribución Pareto, formulada por el sociólogo Vilfredo Pareto, es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros, que tiene aplicación en disciplinas como la sociología, geofísica y economía. En algunas disciplinas a veces se refieren a la ley de Bradford. Por otro lado, el equivalente discreto de la distribución Pareto es la distribución zeta (la ley de Zipf).

Probabilidad acumulada

Si X pertenece al dominio de la variable de la distribución de pareto, entonces la probabilidad de que X sea mayor que un número x viene dada por:

$Pr(X>x)={\begin{cases}\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&{\text{si }}x\geq x_{\mathrm {m} },\\1&{\text{si }}x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}$

donde x_m es el valor mínimo posible (positivo) de X, y α es un parámetro. La familia de las distribuciones de Pareto se parametrizan por dos cantidades, x_m y α. Cuando esta distribución es usada en un modelo sobre la distribución de riqueza, el parámetro α es conocido como índice de Pareto.

Función de densidad

A partir de la probabilidad acumulada, se puede deducir mediante una derivada que la función de densidad de probabilidad es:

$f_{X}(x)={\begin{cases}\alpha \,{\dfrac {x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&{\text{si }}x>x_{\mathrm {m} },\\[12pt]0&{\text{si }}x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}$

Propiedades

• La media o valor esperado de una variable aleatoria X, que sigue una distribución de Pareto con parámetro α > 1 es

$E(X)={\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}\,$

(si α ≤ 1, el valor esperado no existe).

• La varianza es

$\mathrm {var} (X)=\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}\right)^{2}{\frac {\alpha }{\alpha -2}}.$

(Si α ≤ 2, la varianza no existe).

• Los momentos son

$\mu _{n}'={\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{n}}{\alpha -n}},\,$

pero el n-ésimo momento existe sólo para n < α.

• La función generadora de momentos sólo está definida para valores no positivos de t ≤ 0 según:

$M\left(t,\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=E(e^{tX})=\alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t){\text{ and }}M\left(0,\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=1.\,$

Caso degenerado

La función de la delta de Dirac es un caso límite de la densidad de Pareto:

$\lim _{\alpha \rightarrow \infty }f(x;\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\delta (x-x_{\mathrm {m} }).\,$

Distribución simétrica

Puede definirse una Distribución de Pareto Simétrica según:

$f(x;\alpha ,x_{\mathrm {m} })={\begin{cases}(\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }/2)|x|^{-\alpha -1}&{\text{si }}|x|>x_{\mathrm {m} }\\0&{\text{resto}}.\end{cases}}$

Distribución Generalizada de Pareto

Pareto Generalizado
Parámetros	$\mu \in (-\infty ,\infty )\,$ localización (real) $\sigma \in (0,\infty )\,$ escala (real) $\xi \in (-\infty ,\infty )\,$ forma (real)
Dominio	$x\geqslant \mu \,\;(\xi \geqslant 0)$ $\mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi \,\;(\xi <0)$
Función de densidad (pdf)	${\frac {1}{\sigma }}(1+\xi z)^{-(1/\xi +1)}$ where $z={\frac {x-\mu }{\sigma }}$
Función de distribución (cdf)	$1-(1+\xi z)^{-1/\xi }\,$
Media	$\mu +{\frac {\sigma }{1-\xi }}\,\;(\xi <1)$
Mediana	$\mu +{\frac {\sigma (2^{\xi }-1)}{\xi }}$
Varianza	${\frac {\sigma ^{2}}{(1-\xi )^{2}(1-2\xi )}}\,\;(\xi <1/2)$
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La familia de distribuciones generalizadas de Pareto (GPD) tienen tres parámetros $\mu ,\sigma \,$ y $\xi \,$.

La función de probabilidad acumulada es

$F_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/\xi }&{\text{si }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)&{\text{si }}\xi =0.\end{cases}}$

Para $x\geqslant \mu$, con $\xi \geqslant 0\,$, y $x\leqslant \mu -\sigma /\xi$ con $\xi <0\,$, donde $\mu \in \mathbb {R}$ es el parámetro localización, $\sigma >0\,$ es el parámetro escala y $\xi \in \mathbb {R}$ es el parámetro forma. Nótese que algunas referencias toman el parámetro forma como $\kappa =-\xi \,$.

La función de densidad de probabilidad es:

$f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\frac {1}{\sigma }}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}.$

o

$f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\frac {\sigma ^{\frac {1}{\xi }}}{\left(\sigma +\xi (x-\mu )\right)^{{\frac {1}{\xi }}+1}}}.$

de nuevo, para $x\geqslant \mu$, y $x\leqslant \mu -\sigma /\xi$ si $\xi <0\,$

Software

Se puede usar software y un programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la de Pareto, a una serie de datos:

• Easy fit, "data analysis & simulation"
• MathWorks Benelux
• ModelRisk, "risk modelling software"
• Ricci distributions, fitting distrubutions with R, Vito Ricci, 2005
• Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples
• StatSoft distribution fitting
• CumFreq [1], libre sin costo, incluye intervalos de confianza a base de la distribución binomial

Citas

• Barry C. Arnold (1983). Pareto Distributions, International Co-operative Publishing House, Burtonsville, Maryland. ISBN 0-899974-012-1.
• Christian Kleiber and Samuel Kotz (2003). Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences, New York:Wiley. xi+332 pp. ISBN 0-471-15064-9.
• Lorenz, M. O. (1905). "Methods of measuring the concentration of wealth". Publications of the American Statistical Association. 9: 209–219.

Enlaces externos

• Calculadora - Distribución de Pareto