Distribución de Pareto

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Pareto
Pareto probability density functions for various α
Funciones de densidad de probabilidad para diferentes α  con xm = 1. El eje horizontal es el parámetro x. Como α → ∞ la distribución se aproxima δ(x − xm) donde δ es la delta de Dirac.
Función de densidad de probabilidad
Pareto cumulative distribution functions for various α
unciones de densidad de probabilidad para diferentes α  con xm = 1. El eje horizontal es el parámetro x.
Función de distribución de probabilidad
Parámetros escala (real)
forma (real)
Dominio
Función de densidad (pdf)
Función de distribución (cdf)
Media
Mediana
Moda
Varianza
Coeficiente de simetría
Curtosis
Entropía
Función generadora de momentos (mgf)
Función característica
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En estadística la distribución Pareto, formulada por el ingeniero civil, economista y sociólogo Vilfredo Pareto, es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros, que tiene aplicación en disciplinas como la sociología, geofísica y economía.[1]​ En algunas disciplinas a veces se refieren a la ley de Bradford. Por otro lado, el equivalente discreto de la distribución Pareto es la distribución zeta (la ley de Zipf).

Probabilidad acumulada[editar]

Si X pertenece al dominio de la variable de la distribución de pareto, entonces la probabilidad de que X sea mayor que un número x viene dada por:

donde xm es el valor mínimo posible (positivo) de X, y α es un parámetro. La familia de las distribuciones de Pareto se parametrizan por dos cantidades, xm y α. Cuando esta distribución es usada en un modelo sobre la distribución de riqueza, el parámetro α es conocido como índice de Pareto.

Función de densidad[editar]

A partir de la probabilidad acumulada, se puede deducir mediante una derivada que la función de densidad de probabilidad es:

Propiedades[editar]

(si α ≤ 1, el valor esperado no existe).
(Si α ≤ 2, la varianza no existe).
pero el n-ésimo momento existe solo para n < α.

Caso degenerado[editar]

La función de la delta de Dirac es un caso límite de la densidad de Pareto:

Distribución simétrica[editar]

Puede definirse una Distribución de Pareto Simétrica según:[2]

Distribución Generalizada de Pareto[editar]

Pareto Generalizado
Parámetros

localización (real)
escala (real)

forma (real)
Dominio


Función de densidad (pdf)


where
Función de distribución (cdf)
Media
Mediana
Varianza
[editar datos en Wikidata]

La familia de distribuciones generalizadas de Pareto (GPD) tienen tres parámetros y .

La función de probabilidad acumulada es

Para , con , y con , donde es el parámetro localización, es el parámetro escala y es el parámetro forma. Nótese que algunas referencias toman el parámetro forma como .

La función de densidad de probabilidad es:

o

de nuevo, para , y si

Aplicación[editar]

Aplicación de la distribución de probabilidad acumulada de Pareto a lluvias diárias máximas.[3]


  • En la hidrología, se utiliza la distribución de Pareto para analizar variables aleatorias como valores máximos de la precipitación y la descarga de ríos,[4]​ y además para describir épocas de sequía.[5]


El imagen azul ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución de Weibull a lluvias máximas diarias ordenadas, mostrando también la franja de 90% de [Intervalo de confianza|confianza]], basada en la distribución binomial.


Las observaciones presentan los marcadores de posición, como parte del análisis de frecuencia acumulada.


Software[editar]

Se puede usar software y un programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la de Pareto, a una serie de datos:

Citas[editar]

  1. Guerriero, V. (2012). «Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics». Journal of Modern Mathematics Frontier. 
  2. Grabchak, M. & Samorodnitsky, D. «Do Financial Returns Have Finite or Infinite Variance? A Paradox and an Explanation». pp. 7-8. 
  3. CumFreq software para adecuación de distribuciones de probabilidad [1]
  4. Oosterbaan, R.J. (1994). «Chapter 6 Frequency and Regression Analysis». En Ritzema, H.P. Drainage Principles and Applications, Publication 16. Wageningen, The Netherlands: International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI). pp. 175-224. ISBN 90-70754-33-9. 
  5. Burke, Eleanor J.; Perry, Richard H.J.; Brown, Simon J. (2010). «An extreme value analysis of UK drought and projections of change in the future». Journal of Hydrology 388: 131. doi:10.1016/j.jhydrol.2010.04.035. 
  • Barry C. Arnold (1983). Pareto Distributions, International Co-operative Publishing House, Burtonsville, Maryland. ISBN 0-899974-012-1.
  • Christian Kleiber and Samuel Kotz (2003). Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences, New York:Wiley. xi+332 pp. ISBN 0-471-15064-9.
  • Lorenz, M. O. (1905). "Methods of measuring the concentration of wealth". Publications of the American Statistical Association. 9: 209–219.

Enlaces externos[editar]