Desigualdad matemática

En matemáticas una desigualdad es una relación que existe entre dos cantidades o expresiones y, que nos indica que tienen diferente valor. Es decir, lo contrario a lo que ocurre en una igualdad.​

En la desigualdad, los términos están relacionados por un símbolo de "mayor que" (>) o "menor que" (<). También existen otros derivados de estos dos. Si alguno de estos dos símbolos aparece acompañado por una línea horizontal por debajo, significa "mayor o igual que" o "menor o igual que", respectivamente. Un ejemplo de una desigualdad es: $2x+7<19$ Que se lee como "2 x más 7 es menor que 19". Y representa al conjunto de números para el que esta expresión es verdadera. Ejs: 4^x-2 (4 equivale a x-2) /esto nos llevaria ya a un prefijo ecuacional puro, eliminando las incomodidades de la escritura dialectal/

Resolución de desigualdades

algunos problemas matemáticos se plantean como desigualdades en lugar de ecuaciones. Las desigualdades se resuelven de manera similar a una ecuación. Para resolver una desigualdad debemos determinar los valores que satisfacen a la desigualdad.

Resolución de desigualdades lineales

Algunas reglas útiles para la resolución de desigualdades lineales son las siguientes:

• $A\leq B\,\Leftrightarrow \,A+C\leq B+C$
• $A\leq B\,\Leftrightarrow \,A-C\leq B-C$
• $0\leq C\Rightarrow A\leq B\Leftrightarrow CA\leq CB$

Propiedades

Las desigualdades estan gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que, para las propiedades transitividad, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedad también se mantiene si los símbolos de desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por sus correspondientes símbolos de desigualdad no estricta (≤ y ≥). ME QUIERO COGER A LIZETH ESTA BIEN BUENA LA PERRA, COMO TENDRA ESA PEPITA?

Transitividad :

         Para números reales arbitrarios a,b y c:
         o Si (a > b) y (b > c); entonces (a > c)
         o Si (a < b) y (b < c); entonces (a < c)
         o Si (a > b) y (b = c); entonces (a > c)
         o Si (a < b) y (b = c); entonces (a < c)

Adición y Sustracción :

         Para números reales arbitrarios a,b y c :

         o Si (a < b), entonces ((a + c) < (b + c)) y ((a − c) < (b − c))
         o Si (a > b), entonces ((a + c) > (b + c)) y ((a − c) > (b − c))

Multiplicación y división

         Para números reales arbitrarios a y b; y c diferente de cero :

         o Si c es positivo y (a < b), entonces (ac < bc) y (a/c < b/c)
         o Si c es negativo y (a < b), entonces (ac > bc) y (a/c > b/c)

Adición inversa (Se produce cuando el número que se suma a un número particular dá como resultado cero).

         Para cualquier número real a, b :

         o Si (a < b) entonces ((−a) > (−b))
         o Si (a > b) entonces ((−a) < (−b))

Multiplicación inversa (La multiplicación inversa de una fracción (a/b) es (b/a). La de cualquier número real (a) es (1/a) )

         Para cualquier numero real a,b diferente de cero, siendo ambos positivos o negativos a la vez :

         o Si (a < b) entonces ((1/a) > (1/b))
         o Si (a > b) entonces ((1/a) < (1/b))

         Si a ó b son negativos, pero no ambos a la vez :

         o Si (a < b) entonces ((1/a) < (1/b))
         o Si (a > b) entonces ((1/a) > (1/b))

Aplicando una función a ambos lados

Gráfico de la función y = ln x

Cualquier función estrictamente monótona creciente se puede aplicar a ambos lados de una desigualdad y se mantendrá vigente. Aplicar una función estrictamente monótona decreciente a ambos lados de una desigualdad significa lo contrario de lo que la desigualdad mantiene ahora. Las reglas de adiciones y multiplicaciones inversas son ejemplos de la aplicación de una función monótonamente decreciente.

Para una desigualdad no estricta (a ≤ b, a ≥ b):

    o Aplicar una función monótonamente creciente conserva la relación (≤ sigue_siendo ≤, ≥ sigue_siendo ≥)
    o Aplicar una función monótonamente decreciente invierte la relación (≤ se_convierte_en ≥, ≤ se_convierte_en ≥)

Como ejemplo, considerar la aplicación del logaritmo natural a ambos lados de una desigualdad:

   $0<a<b\Leftrightarrow \ln(a)<\ln(b).$

Esto es asi porque el logaritmo natural es una función estrictamente creciente.

Desigualdades conocidas

Los matemáticos suelen usar inecuaciones para aproximarse a cantidades cuyas fórmulas exactas no pueden ser fácilmente computadas. Algunas se usan tan a menudo que se les ha puesto nombre, como:

• Desigualdad de Azuma
• Desigualdad de Bernoulli
• Desigualdad de Boole
• Desigualdad de Cauchy-Schwarz
• Desigualdad de Chebyshov
• Desigualdad de Chernoff
• Desigualdad de Cramér-Rao
• Desigualdad de Hoeffding
• Desigualdad de Hölder
• Desigualdad de las medias aritmética y geométrica
• Desigualdad de Jensen
• Desigualdad de Márkov
• Desigualdad de Minkowski
• Desigualdad de Nesbitt
• Desigualdad de Pedoe
• Desigualdad de Shapiro
• Desigualdad triangular