Desigualdad de Chebyshov

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En probabilidad, la desigualdad de Chebyshov (también escrito como Chebychev) es un resultado que ofrece una cota inferior a la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria con varianza finita esté a una cierta distancia de su esperanza matemática. La desigualdad recibe su nombre del matemático ruso Pafnuti Chebyshov.

En la literatura, a este tipo de desigualdades, cuya característica es la comparación de la probabilidad de la cola de la distribución y su valor esperado, se le conoce como desigualdades tipo Chebyshov.

Estas desigualdades son la herramienta básica para demostrar resultados como la ley de los grandes números, entre otros. Además de que tienen aplicaciones en estadística, así como en otras áreas de las matemáticas.

Historia[editar]

El teorema se llama así por el matemático ruso Pafnuty Chebyshev, a pesar de que fue formulada por primera vez por su amigo y colega Irénée-Jules Bienaymé.[1] :98 El teorema fue enunciado primero sin pruebas por Bienaymé en 1853[2] y posteriormente probado por Chebyshev en 1867.[3] Su estudiante Andrey Markov proporcionó otra prueba más en 1884 en su tesis doctoral.[4]

Formulación[editar]

Sea una variable aleatoria no negativa y una función creciente tal que . Entonces se da la desigualdad siguiente:

Casos particulares de la desigualdad[editar]

Algunas formulaciones menos generales que se desprenden de la primera son las siguientes:

  • Sea variable aleatoria con momento de orden finito, entonces
siendo y .
  • Sea con momento centrado de orden finito, entonces
siendo , , y .
  • Sea variable aleatoria de media y varianza finita , entonces, para todo número real ,
Sólo en caso de que la desigualdad proporcionan una cota no trivial.

Ejemplos[editar]

Para ilustrar este resultado, supongamos que los artículos de Wikipedia tienen una extensión media de 1000 caracteres y una desviación típica de 200 caracteres. De la desigualdad de Chebyshov, usando k = 2, se deduce que al menos el 75% de los artículos tendrán una extensión comprendida entre 600 y 1400 caracteres.

Otra consecuencia del teorema es que para cada distribución de media μ y desviación típica finita σ, al menos la mitad de sus valores se concentrarán en el intervalo (μ-√2 σ, μ+√2 σ).

Demostración[editar]

En primer lugar considérense una desigualdad y una igualdad:

Nótese que

Si ahora se aplica la función esperanza a los dos lados de la primera desigualdad que se han establecido se habrá demostrado el resultado.

Demostración del tercer caso particular[editar]

Para demostrar la desigualdad se parte de la variable aleatoria auxiliar definida así:

Entonces, trivialmente,

y por lo tanto,

Tomando esperanzas en ambos miembros se obtiene

por lo que

Pero, a su vez, dado que sólo puede ser 0 ó 1,

lo que prueba el resultado.

Véase también[editar]

  • Knuth, Donald (1997). The Art of Computer Programming: Fundamental Algorithms, Volume 1 (3rd edición). Reading, Massachusetts: Addison–Wesley. ISBN 0-201-89683-4. Consultado el 1 de octubre de 2012. 
  • Bienaymé I.-J. (1853) Considérations àl'appui de la découverte de Laplace. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences 37: 309–324
  • Tchebichef, P. (1867). «Des valeurs moyennes». Journal de mathématiques pures et appliquées. 2 12: 177-184. 
  • Markov A. (1884) On certain applications of algebraic continued fractions, Ph.D. thesis, St. Petersburg