Desigualdad de Márkov

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En teoría de la probabilidad, la desigualdad de Márkov proporciona una cota superior para la probabilidad de que una función no negativa de una variable aleatoria sea mayor o igual que una constante positiva. Su nombre le viene del matemático ruso Andréi Márkov.

La desigualdad de Márkov relaciona las probabilidades con la esperanza matemática y proporciona cotas útiles -aunque habitualmente poco ajustadas- para la función de distribución de una variable aleatoria.

Teorema[editar]

La desigualdad de Márkov afirma que:

Si X es una variable aleatoria y a > 0, entonces

donde denota el valor esperado.

Demostración[editar]

Para cualquier suceso A, sea IA la variable aleatoria indicatriz de A, esto es, IA = 1 si ocurre A y es 0 en el caso contrario. Entonces

Por lo tanto

Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \mathbb{E}(aI_{(|X| \geq a)}) \leq \mathbb{E}(|X|).\,}

Ahora, nótese que el lado izquierdo de esta desigualdad coincide con

Por lo tanto tenemos

y como a > 0, se pueden dividir ambos lados entre a.

Demostración alternativa[editar]

Una prueba más formal, relacionada con la teoría de la medida, es la siguiente:

En la introducción de , nótese que ya que estamos considerando la variable aleatoria sólo en sus valores iguales o mayores a , y, por tanto,

Error al representar (MathML con SVG o PNG como alternativa (recomendado para navegadores modernos y herramientas de accesibilidad): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \frac{|X|}{a} \geq 1 }

con lo que al multiplicar por algo mayor a uno será igual o mayor. La segunda desigualdad viene de añadir la suma

que siempre será positiva ya que se integra algo positivo como es el valor absoluto (por que Error al representar (Error de conversión. El servidor ("https://es.wikipedia.org/api/rest_") informó: "Cannot get mml. Server problem."): \scriptstyle f(x) es positiva).