Desigualdad de Boole

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En teoría de la probabilidad, la desigualdad de Boole estipula que para toda familia finita o numerable de sucesos, la probabilidad de que al menos uno de esos sucesos ocurra es menor o igual a la suma de las probabilidades de los sucesos individuales. De manera más formal,

Teorema:


Para una familia finita o numerable de sucesos A1, A2, A3, ..., se cumple:

Demostración[editar]

Familia finita[editar]

Primero se trata, por inducción, el caso de una familia finita de sucesos.

Se trata de probar que .

La desigualdad es cierta para . Supuesta cierta para un dado, se considera una familia de sucesos.

Sea  : (hipótesis de inducción).

Entonces: ,

de donde: .

Familia numerable[editar]

Ahora se trata el caso de una familia numerable de sucesos.

Para todo número natural (distinto de cero), sea ; entonces .

La desigualdad de Boole se comprueba por paso al límite sobre ; en efecto y para todo , , entonces .

Otro método[editar]

Otro método que trata a la vez el caso finito y el caso numerable: sea y para todo , .

Entonces , y los sucesos son incompatibles dos a dos;
por otra parte, para todo , entonces ( es creciente).

De todo esto, se deduce que .

Teoría de la medida[editar]

En lenguaje de la teoría de la medida, la desigualdad de Boole se deriva del hecho de que una medida de probabilidad es σ-subaditiva, como es el caso de toda medida.

Desigualdades de Bonferroni[editar]

Las llamadas desigualdades de Bonferroni generalizan la desigualdad de Boole y proporcionan mayorantes y minorantes de la probabilidad de uniones finitas de sucesos.

Sean:

y para 2 < kn,

donde la suma de realiza sobre todas las k-uplas estrictamente crecientes de enteros positivos comprendidos entre 1 y n.

Entonces para todo entero positivo impar k tal que 1 ≤ kn

y para todo entero positivo par k tal que 2 ≤ kn

La desigualdad de Boole se da para k = 1.

Véase también[editar]