Desigualdad de Bernoulli

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Ilustración de la desigualdad de Bernoulli para n=3. Aquí, la gráfica roja corresponde a (1+x)3 y ésta nunca es menor que la gráfica azul, correspondiente a 1+3x.

La desigualdad de Bernoulli, es aquella que se establece entre números reales.[1]

(Desigualdad de Bernoulli) Para cualquier número real y cualquier número entero se cumple:[2]

y la igualdad se obtiene si y sólo si x=0 o n=1.

La desigualdad de Bernoulli tiene generalizaciones y variantes:

  • Si el exponente es par, entonces la desigualdad es válida para cualquier número real a.
  • Si el exponente es un número real β entonces

, si y o

mientras que

, si y .

La desigualdad de Bernoulli es de particular relevancia pues en numerosas ocasiones funciona como lema intermedio en la prueba de resultados de cálculo más complejos.

Prueba de la desigualdad[editar]

La demostración se efectúa únicamente para n, número natural.

Para n = 1,

lo cual es equivalente a 1+x ≥ 1+x

Ahora, supongase que el enunciado es válido para n = k:

Luego se probará para n = k+1:

Sin embargo, como 1 + (k + 1)x + kx2 ≥ 1 + (k + 1)x (porque kx2 ≥ 0), se tiene que (1 + x)k + 1 ≥ 1 + (k + 1)x, lo cual significa que el enunciado es cierto para n = k + 1.

Por inducción se concluye que el enunciado es cierto para todo  n ≥ 1.

Referencias[editar]

  1. Una prueba para exponente real, véase en Desigualdades de Korovkin. Editorial Mir, Moscú, varias ediciones.
  2. I.N. Bronshtein; K.A. Semendyayev; G. Musiol; H. Muehlig (2007). Handbook of Mathematics (5a edición). Springer. p. 30. ISBN 9783540721215.