En análisis matemático, la desigualdad de Minkowski establece que los espacios Lp son espacios vectoriales con una norma. Sea
un espacio medible, sea
y sean
y
elementos de
. Entonces
es de
, y se tiene
![{\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1d3de762058656808721fc899c4b223914c6c3f)
con la igualdad para el caso
si y sólo si
y
son positivamente linealmente dependientes (lo que significa que
o
para alguna
).
La desigualdad de Minkowski es la desigualdad triangular en
.
Al igual que la desigualdad de Hölder, la desigualdad de Minkowski puede especificarse para sucesiones y vectores a base de hacer:
![{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fce76da4c7db5e0eb16f23e4c3c7ff291499b38)
para todos los números reales (o complejos)
y donde
es el cardinal de
(el número de elementos de
).
Demostración[editar]
Primero se demuestra que f + g tiene una p -norma finita si f y g ambas la tienen. Esto se sigue de que
![{\displaystyle |f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9814cab483c48d81283bb8f898c113bbadb5043c)
En efecto, usando el hecho de que
es una función convexa sobre
(para
mayor que 1) y, por tanto, que, si a y b son ambos positivos, entonces
![{\displaystyle \left({\frac {1}{2}}a+{\frac {1}{2}}b\right)^{p}\leq {\frac {1}{2}}a^{p}+{\frac {1}{2}}b^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/846b23bf28f35cd469afa0f634ad3edecd7e60d1)
tenemos que
![{\displaystyle (a+b)^{p}\leq 2^{p-1}a^{p}+2^{p-1}b^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07942fb6796c5af625aed609049949e2a1a1652a)
Ahora, se puede hablar legítimamente de
. Si es cero, entonces se cumple la desigualdad de Minkowski. Podemos suponer, pues, que
no es cero. Usando la desigualdad de Hölder,
![{\displaystyle \|f+g\|_{p}^{p}=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d5d7c48d18c9d59b7919983c2c9e8a41e910412)
![{\displaystyle \leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/263db0a83f10b2bc91041d0b766ae3e1c1fddd2e)
![{\displaystyle =\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1160ac979b6765a2c7ad2e92db447e05b8bec2dc)
![{\displaystyle {\stackrel {{\text{H}}{\ddot {\text{o}}}{\text{lder}}}{\leq }}\left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/142f483bdab7070888ff1b112a8b4fd0b9b22c5f)
![{\displaystyle =(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c975f9e72f091e6aaa8153d01a556ebd3f4dde48)
De donde se obtiene la desigualdad de Minkowski multiplicando ambos lados por
.
Referencias[editar]
- Hardy, G. H. and Littlewood, J. E. and Pólya, G. (1988). Inequalities. Cambridge Mathematical Library (1952a ed. edición). Cambridge: Cambridge University Press. p. xii+324. ISBN 0-521-35880-9.
- H. Minkowski, Geometrie der Zahlen, Chelsea, reprint (1953)
- M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104