Desigualdad de Minkowski

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En análisis matemático, la desigualdad de Minkowski, debida a Hermann Minkowski, establece que los espacios Lp son espacios vectoriales con una norma vectorial. Sea S un espacio medible, sea 1 ≤ p ≤ ∞ y sea f y g elementos de Lp(S). Entonces f + g es de Lp(S), y se tiene

\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p

con la igualdad para el caso1 < p < ∞ si y sólo si f y g son positivamente linealmente dependientes (que significa que f = \lambda g o g = \lambda f para algún \lambda ≥ 0).

La desigualdad de Minkowski es la desigualdad triangular en Lp(S).

Igual que la desigualdad de Hölder, la desigualdad de Minkowski se puede especificar para sucesiones y vectores haciendo:

\left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p}

para todos los números reales (o complejos) x1, ..., xn, y1, ..., yn y donde n es el cardinal de S (el número de elementos de S).

Demostración[editar]

Primero se demuestra que f+g tiene una p-norma finita sobre f y g ambas la tienen , esto se sigue de,

|f + g|^p \le 2^{p-1}(|f|^p + |g|^p)

En efecto, aquí se hace servir el hecho de que h(x)=x^p es una función convexa sobre \mathbb{R}^+ (para p más grande que 1) y por lo tanto, si a y b son positivos entonces,

\left(\frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b\right)^p \le \frac{1}{2}a^p + \frac{1}{2} b^p

Lo cual significa que,

(a+b)^p \le 2^{p-1}a^p + 2^{p-1}b^p

Ahora, se puede hablar legítimamente de (\|f + g\|_p). Si es zero, entonces se cumple la desigualdad de Minkowski. ahora , suponiendo que (\|f + g\|_p) no es zero. haciendo servir la desigualdad de Hölder

\|f + g\|_p^p = \int |f + g|^p \, \mathrm{d}\mu
 \le \int (|f| + |g|)|f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu
=\int |f||f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu+\int |g||f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu
\stackrel{\text{H}\ddot{\text{o}}\text{lder}}{\le} \left( \left(\int |f|^p \, \mathrm{d}\mu\right)^{1/p} + \left (\int |g|^p \,\mathrm{d}\mu\right)^{1/p} \right) \left(\int |f + g|^{(p-1)\left(\frac{p}{p-1}\right)} \, \mathrm{d}\mu \right)^{1-\frac{1}{p}}
= (\|f\|_p + \|g\|_p)\frac{\|f + g\|_p^p}{\|f + g\|_p}

Se obtiene la desigualdad de Minkowski multiplicando por ambos lados \frac{\|f + g\|_p}{\|f + g\|_p^p}.

Referencias[editar]

  • Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G. (1999). Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8
  • H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)
  • M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4