Desigualdad triangular

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Desigualdad del triángulo.

La desigualdad triangular o desigualdad de Minkowski es un teorema de geometría euclidiana que establece:

En todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante. [1]

Este resultado ha sido generalizado a otros contextos más sofisticados como espacios vectoriales. Definido matemáticamente, cualquier triángulo cumple la siguiente propiedad:

donde a, b y c son los lados.

Espacios vectoriales normados[editar]

El teorema puede generalizarse a espacios vectoriales normados, obteniéndose la siguiente versión de la desigualdad triangular:

En todo espacio vectorial normado


En el caso particular de considerar la recta real como espacio vectorial normado con el valor absoluto como norma obtenemos la siguiente versión del teorema:

Para cualquiera dos números a y b se cumple:

cuya demostración es:

Demostración[editar]

(Ámbito → ℝ). Haciendo uso de las propiedades del valor absoluto, es posible escribir:

Sumando ambas inecuaciones:

A su vez, usando la propiedad de valor absoluto si y solo si en la línea de arriba queda:

Generalización de la desigualdad triangular[editar]

La desigualdad triangular puede generalizarse a un número arbitrario de sumandos:

,

es decir:

donde n es un número natural, y los son números reales.

Demostración
La demostración es un ejemplo clásico de prueba por inducción matemática.

Como casos iniciales observamos que para n=1:

puesto que el símbolo es una disyunción lógica (menor o igual) que contempla ya el caso de igualdad

Cuando n=2, obtenemos la desigualdad triangular clásica

Supongamos ahora que la condición se ha verificado hasta un cierto valor k de n. Esto es, asumimos que se ha verificado

Queda por demostrar que la afirmación es cierta también para el siguiente valor, k+1.

Partimos de la siguiente expresión:

y observando que es un número real y es otro, podemos aplicar la desigualdad triangular para dos sumandos:

Aplicamos ahora la afirmación para n=k sumandos

la cual habíamos supuesto como cierta y la sustituimos para obtener

Sin embargo, esta última expresión es precisamente

de manera que hemos demostrado

y por medio de inducción matemática, el resultado queda establecido para cualquier valor de n.

Esta desigualdad puede generalizarse aún más para integrales (Riemann, Riemann-Stieltjes, Lebesgue-Stieltjes, etc):

así como también para espacios Lp. Sea S un espacio medible, sea 1 ≤ p ≤ ∞ y sea f y g elementos de Lp(S). Entonces f + g es de Lp(S), y se tiene

con la igualdad para el caso1 < p < ∞ si y sólo si f y g son positivamente linealmente dependientes (que significa que f = λg o g = λf para algún λ ≥ 0).

Igual que la desigualdad de Hölder, la desigualdad de Minkowski se puede especificar para sucesiones y vectores haciendo:

para todos los números reales (o complejos) x1, ..., xn, y1, ..., yn y donde n es el cardinal de S (el número de elementos de S).

Véase también[editar]

Notas[editar]

  1. Weisstein, Eric W. «Triangle Inequality.» (en inglés). Consultado el 2 de enero de 2015. 

Bibliografía[editar]

  • Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G. (1999). Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8
  • H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)
  • M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4