Espacios Lp

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Los espacios L^p son los espacios vectoriales normados más importantes en el contexto de la teoría de la medida y de la integral de Lebesgue. Reciben también el nombre de espacio de Lebesgue por el matemático Henri Lebesgue.

Definición[editar]

Consideremos \scriptstyle (X, \Sigma, \mu) un espacio de medida. Se define el espacio vectorial:

\mbox{para}\ p \in [1, \infty): \quad \mathcal{L}^p_\mu(X) 
\subseteq C^{-1}(X,\mathbb{C})

Como el espacio de todas las funciones medibles f\, que cumplen:

\int_X |f|^p d\mu < \infty

Asimismo, se define el espacio \mathcal{L}^\infty\, como el espacio de las funciones medibles f\, que verifican:

\inf \{a \in \mathbb{R}: \mu(\{x \in X: |f(x)|\geq a\})=0\} <\infty

Es decir, aquellas funciones medibles acotadas excepto en un conjunto de medida nula. Una norma natural para definir en estos espacios sería:

 \|f\|_p=\Biggl(\int |f|^p d\mu\Biggr)^{\tfrac1p}, si p<\infty, y \|f\|_\infty=\inf \{a \in \mathbb{R}: \mu(\{x \in X: |f(x)|\geq a\})=0\}

Sin embargo, una aplicación así definida no resulta norma, ya que no se cumple \|f\|_p=0 \Rightarrow f=0, pues cualquier función que sea igual a la función nula, salvo en un conjunto de medida nula, tendrá norma cero.

Así, se define la siguiente relación de equivalencia R sobre \mathcal{L}^p:  fRg \Leftrightarrow f=g  ctp . Se prueba que efectivamente es una relación de equivalencia, y se defina L^p=\mathcal{L}^p/R, i.e., el espacio vectorial cuyos elementos son las clases de equivalencia de la relación R. Considerando entonces sobre L^p las normas anteriormente definidas (donde f es cualquier representante de la clase de equivalencia), se prueba que \|\cdot\|_p resulta ser norma y que su valor no depende del representante de la clase de equivalencia escogido. Usualmente no se hace distinción entre función y clase de equivalencia en este contexto.

Propiedades[editar]

  1. L^p es un espacio de Banach.
  2. L^2 es un Espacio de Hilbert, dotado del producto interno  \langle f,g\rangle=\int fg d\mu.
  3. Si \mu(X)<\infty, entonces \forall s>r se tiene que L^\infty \subseteq L^s \subseteq L^r.
  4. Si p \in (1, \infty), L^p es reflexivo.
  5. Si denotamos por \Epsilon al espacio de las funciones simples, se cumple que \Epsilon \cap L^p es denso en L^p.
  6. Si p \in (1, \infty), el dual topológico de L^p es L^q donde q es tal que  \frac1p + \frac1q=1 .
  7. Si el espacio de medida es \sigma-finito, entonces el dual de L^1 se identifica con L^\infty.
  8. Si (X, \Theta) es un espacio topológico localmente compacto separado, y \mu es una medida regular, entonces C_0(X, \mathbb{R}) (el espacio de las funciones continuas a soporte compacto) es denso en L^p con 1\leq p<\infty.
  9. El espacio de las funciones infinitamente derivables en un abierto \Omega\subseteq\mathbb{R}^n a soporte compacto y que están en L^p con 1\leq p<\infty, es denso en L^p, es decir \operatorname{adh}_{L^p(\Omega)}(C_0^{\infty}(\Omega)\cap L^p(\Omega))=L^p(\Omega).

Véase también[editar]