Función medible

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En teoría de la medida, una función medible es aquella que preserva la estructura entre dos espacios medibles. Formalmente, una función entre dos espacios medibles se dice medible si la preimagen (también llamada imagen inversa) de cualquier conjunto medible es a su vez medible.

Funciones medibles especiales[editar]

  • Si (X, \Sigma) y (Y, \Tau) son espacios de Borel, entonces toda función medible f: (X, \Sigma) \rightarrow (Y, \Tau) es llamada función de Borel (o función Borel-medible). Toda función continua es de Borel, pero no toda función de Borel es continua.
  • Las variables aleatorias son por definición funciones medibles cuyo dominio es un espacio muestral donde se ha definido una sigma-álgebra y contradominio en \mathbb{R}, con la medida de Lebesgue.

Propiedades de las funciones medibles[editar]

  • La suma y producto de dos funciones complejas medibles es también medible. Debido a esto también lo es el cociente (siempre que no haya división por cero).
  • Si f:(X, \Sigma_1) \rightarrow (Y, \Sigma_2) y g:(Y, \Sigma_2) \rightarrow (T, \Sigma_3) son medibles entonces la composición g \circ f es medible. Esto no es necesariamente cierto cuando las sigma-álgebras no coinciden, es decir, si f:(X, \Sigma_1) \rightarrow (Y, \Sigma_2) y g:(Y, \Sigma_3) \rightarrow (T, \Sigma_4) entonces g \circ f podría no ser medible aunque f y g sí lo sean.

Existencia de σ-álgebras mínimas[editar]

Dada una función f:\Omega_1 \to \Omega_2 donde (\Omega_2, \mathcal{A}_2) es un espacio de medida, siempre puede construirse una σ-álgebra \mathcal{A}_1 \subset \mathcal{P}(\Omega_1) tal que la función f es una función medible entre los espacios (\Omega_1, \mathcal{A}_1) y (\Omega_2, \mathcal{A}_2), esto se logra definiendo \mathcal{A}_1 como la colección de subconjuntos definida por:

\mathcal{A}_1 := \{ A \subset \Omega_1 | \exists B\in \mathcal{A}_2\ 
\land\ A = f^{-1}(B)\}

Si f es una función medible entre esos dos conjuntos, entonces la σ-álgebra del conjunto antiimagen contendrá a la σ-álgebra mínima anterior.

Existencia de σ-álgebras máximas[editar]

Dada una función f:\Omega_1 \to \Omega_2 donde (\Omega_1, \mathcal{A}_1) es un espacio de medida, siempre existe una σ-álgebra máxima \mathcal{A}_2 \subset \mathcal{P}(\Omega_1) tal que si f es una función medible entre los espacios (\Omega_1, \mathcal{A}_1) y (\Omega_2, \mathcal{A}_2), entonces la σ-álgebra sobre el conjunto imagen contiene a la siguiente sigma álgebra:

\mathcal{A}_2 := \{ B \subset \Omega_2 | \exists A\in \mathcal{A}_1\ 
\land\ B = f(A)\}

Referencias[editar]

  1. Strichartz, Robert (2000). The Way of Analysis. Jones and Bartlett. ISBN 0-7637-1497-6.
  2. Folland, Gerald B. (1999). Real Analysis: Modern Techniques and their Applications. Wiley. ISBN 0471317160.
  3. Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. Wiley. ISBN 0-471-00710-2.
  4. Royden, H. L. (1988). Real Analysis. Prentice Hall. ISBN 0-02-404151-3.