Desigualdad de Hölder

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En análisis matemático la desigualdad de Hölder, llamada así debido a Otto Hölder, es una desigualdad fundamental entre integrales y una herramienta indispensable para el estudio de los espacios Lp.

Sea (S, Σ, μ) un espacio de medida y sea 1 ≤ p, q ≤ ∞ con 1/p + 1/q = 1. Entonces, para toda función medible de valores reales o complejos f y g sobre  S, se tiene que

\|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q.

Los números p y q expresados arriba se dice que son conjugados de Hölder uno del otro. El caso especial p = q = 2 se reduce a la conocida desigualdad de Cauchy-Schwarz.

La desigualdad de Hölder se cumple incluso si ||fg ||1 es infinita, siendo para el miembro derecho de la desigualdad infinito en ese caso. En particular, si f está en Lp(μ) y g está en Lq(μ), entonces fg está en L1(μ).

Para 1 < p, q < ∞, f ∈ Lp(μ) y g ∈ Lq(μ), la desigualdad de Hölder se convertirá en una igualdad si y sólo si |f |p y |g |q son linealmente dependientes en L1(μ), lo que significa que existen dos números reales αβ ≥ 0, siendo alguno de ellos distinto de 0, tales que α |f |p = β |g |q μ-casi en todas partes.

La desigualdad de Hölder es usada para demostrar la desigualdad de Minkowski, la cual es una generalización de la desigualdad triangular en el espacio Lp(μ), y también para establecer que Lq(μ) es el espacio dual de Lp(μ) para 1 ≤ p < ∞.

La desigualdad de Hölder fue descubierta por primera vez por Rogers (1888), y descubierta independientemente por Hölder (1889).

Referencias[editar]