Desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz

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En matemáticas, la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, también conocida como desigualdad de Schwarz, desigualdad de Cauchy o desigualdad de Cauchy-Schwarz, es una desigualdad que se encuentra en diversas áreas de la matemática, como el álgebra lineal,[1]​ el análisis matemático[2]​ y la teoría de probabilidades.[3]

La desigualdad para sumas fue publicada por Augustin Louis Cauchy (1821), mientras que la correspondiente desigualdad para integrales fue establecida por Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1859) y redescubierta por Hermann Amandus Schwarz (1888).

Desigualdad de Cauchy-Schwarz[editar]

Sea un espacio vectorial complejo con producto escalar. Los vectores , cumplen la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Donde es el producto escalar.

Demostración

Tomemos la combinación de vectores , con . El producto de este vector por sí mismo es siempre mayor o igual que cero, por las propiedades del producto escalar.

Aplicando la linealidad por la derecha del producto escalar, se puede desarrollar la expresión anterior.

Esta desigualdad debe cumplirse para cualquier valor de los escalares y . En particular, se cumple para ,. Sustituyendo estos valores en la desigualdad:

Y finalmente:

Q.E.D

La desigualdad se satura (se vuelve igualdad) si y solo si los vectores son linealmente dependientes entre sí.

Caso Particular: Desigualdad en un espacio vectorial sobre [editar]

Sean y números reales cualesquiera.

Desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz

Además la igualdad se verifica si y sólo si existe un número real tal que para cada

Demostración[editar]

Una suma de cuadrados no puede ser nunca negativa. Por lo tanto tenemos lo siguiente:

para todo número real ; y se cumple la igualdad si y sólo si cada término de la suma (, para todo k) es igual a cero.

Esta desigualdad puede escribirse en la forma:

donde:

La ecuación anterior determina un polinomio cuadrático que no podrá tener dos raíces reales porque siempre es mayor o igual que 0. Por lo tanto su discriminante debe ser menor o igual que cero:

Por lo tanto:

, y esta es la desigualdad de Cauchy-Schwarz.


Utilizando notación vectorial, la desigualdad de Cauchy-Schwarz toma la forma:

donde

son dos vectores n-dimensionales, es su producto escalar y es la norma de a.

Curiosidades[editar]

  • La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se puede probar con un caso particular de la Desigualdad de Hölder, con p = q = 2.
  • La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se puede probar con un caso particular de la Identidad de Lagrange, incluso para el caso de los números complejos.
  • La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se usa para probar que el producto escalar es una función continua con respecto a la topología inducida por el mismo producto escalar.
  • La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se usa para probar la desigualdad de Bessel.
  • La formulación general del principio de incertidumbre de Heisenberg se deriva usando la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz sobre el producto escalar definido en el espacio de las funciones de onda físicas.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. De Burgos, Juan (27 de enero de 2006). Álgebra lineal y geometría cartesiana (3ª edición). McGraw Hill. p. 259. ISBN 978-8448149000. Consultado el 22 de julio de 2015. 
  2. Apostol, Tom M. (Abril de 2006). Análisis Matemático. Barcelona: Reverte. p. 17. ISBN 9788429150049. 
  3. Chung, Kai Lai (1983). Teoría elemental de la probabilidad y de los procesos estocásticos. Reverte. p. 198. ISBN 9788429150490. 

Enlaces externos[editar]