Desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz

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En matemáticas, la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, también conocida como desigualdad de Schwarz, desigualdad de Cauchy o desigualdad de Cauchy-Schwarz, es una desigualdad muy útil encontrada en diferentes áreas, tales como el álgebra lineal aplicada a vectores, en análisis matemático aplicada a series infinitas e integración de productos de funciones, y en teoría de probabilidades, aplicada a varianzas y covarianzas.

La desigualdad para sumas fue publicada por Augustin Louis Cauchy (1821), mientras que la correspondiente desigualdad para integrales fue establecida por Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1859) y redescubierta por Hermann Amandus Schwarz (1888) (a menudo mal escrito como "Schwartz").

Enunciado[editar]

La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz establece que:

Sean a_1,...,a_n y b_1,...,b_n números reales cualesquiera se cumple (\sum_{k=1}^n{a_kb_k})^2\leq(\sum_{k=1}^n{a_k^2})(\sum_{k=1}^n{b_k^2}). Además la igualdad se verifica
si, y sólo si existe un número real x tal que a_kx+b_k=0 para cada k=1,...n

DEMOSTRACIÓN

Una suma de cuadrados no puede ser nunca negativa. Por lo tanto tenemos:

\sum_{k=1}^n({a_kx+b_k})^2\geq0

para todo número real x, y es igualdad si, y sólo si, cada término de la suma es cero. Esta desigualdad puede escribirse en la forma:

Ax^2+2Bx+C\geq0

donde:

A=\sum_{k=1}^n{a^2_k},B=\sum_{k=1}^n{a_kb_k}, C=\sum_{k=1}^n{b^2_k}

Si A>0, hacemos x=-B/A para obtener B^2-AC\leq0, que es la desigualdad deseada. Si en esta desigualdad hacemos A=0, la demostración es trivial.

Utilizando notación vectorial, la desigualdad de Cauchy-Schwarz toma la forma:

(a\cdot{}b)^2\leq\left\|{a}\right\|^2\left\|{b}\right\|^2

donde

a=(a_1,...,a_n),b=b_1,...,b_n) son dos vectores n-dimensionales,a\cdot{}b=\sum_{k=1}^n{a_kb_k} es su producto escalar y  \left\|{a}\right\|=\sqrt[]{(a\cdot{}a)} es la norma de a.


La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se puede probar con un caso particular de la Desigualdad de Hölder, con p = q = 2.

La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se puede probar con un caso particular de la Identidad de Lagrange, incluso para el caso de los números complejos.

La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se usa para probar que el producto escalar es una función continua con respecto a la topología inducida por el mismo producto escalar.

La desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz se usa para probar la desigualdad de Bessel.

La formulación general del principio de incertidumbre de Heisenberg se deriva usando la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz sobre el producto escalar definido en el espacio de las funciones de onda físicas.

Véase también[editar]

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