Identidad de Lagrange

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La identidad de Lagrange es una identidad relacionada con la factorización de productos y sumas de cuadrados. En su forma más simple establece:

Para cualesquiera números se cumple:

La forma anterior puede generalizarse a un número arbitrario de variables.

Si y son números (reales o complejos) entonces

En anillos conmutativos[editar]

La forma más directa de demostrar la identidad de Lagrange es hacer uso de desarrollos algebraicos demostrando la validez de la identidad no sólo para números reales o complejos sino para elementos de cualquier anillo conmutativo.

Prueba mediante desarrollo algebraico
Primero hacemos uso de la fórmula para desarrollar una suma elevada al cuadrado:

sustituyendo por :

Por otro lado, del binomio al cuadrado podemos despejar

y sustituyendo en la suma previa resulta en

Pero es la suma de todos los términos de la forma para cualquier par de subíndices y por tanto se puede factorizar como

Haciendo la sustitución arroja finalmente

equivalente a la identidad que queremos demostrar.

Interpretación vectorial[editar]

Si consideramos los números y como componentes de vectores en :

,

entonces la identidad de Lagrange puede reescribirse en términos de las normas de los vectores y el producto punto, pues

y

de manera que la identidad de Lagrange se convierte en:

Si son dos vectores de , entonces

Sin embargo, cuando , la última suma corresponde al cuadrado de la norma del producto cruz de los vectores y en dicho caso la identidad de Lagrange se expresa como:

Si son dos vectores de , entonces

Bibliografía[editar]