Desigualdad de Bessel

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En matemáticas, especialmente en análisis funcional, la desigualdad de Bessel es una proposición acerca de los coeficientes de un elemento en un espacio de Hilbert con respecto a una secuencia ortonormal.

En espacios de Hilbert[editar]

Sea un espacio de Hilbert, suponga que es una secuencia ortonormal en . Entonces, para todo en se tiene que

donde <·,·> denota el producto interior en el espacio de Hilbert , Si nosotros definimos la suma infinita

La desigualdad de Bessel nos dice que esta serie matemática converge.

Para una secuencia ortonormal completa (esto es, para una secuencia ortonormal que a la vez es una base ortonormal de ), nosotros tenemos la identidad de Parseval, que reemplaza la desigualdad por una igualdad (y consecuentemente con ).

En álgebra lineal[editar]

En Álgebra lineal la Desigualdad de Bessel estipula que dado un espacio vectorial V con producto interior definido, y dada un subconjunto ortonormal de V, se cumple para todo x en V:

(1)

La desigualdad proviene en realidad de una identidad, válida para toda base ortonormal. Como todo conjunto ortonormal de vectores es linealmente independiente, entonces debe existir un número finito de vectores con los cuales puede completarse β hasta obtener un sistema generador de V. Sean

estos m – n vectores ortonormales faltantes, donde m ≥ n. El conjunto que resulta de agregar dichos vectores a β, es decir

(2)

es una base de V. Bajo estas condiciones puede demostrarse la siguiente identidad:

(3)

Demostración de la identidad
El hecho de que

sea una base ortonormal permite expresar a cualquier vector x en V como

Como la norma inducida por el producto escalar es ,

Los axiomas del producto interno y las propiedades del conjugado complejo permiten operar de la siguiente manera:

QED.

Hay dos casos posibles:

  • el conjunto β dado puede ser en sí mismo una base ortonormal, en cuyo caso la desigualdad de Bessel pasa ser una identidad, pues m = n.
  • Si β no es una base, entonces el conjunto (2), con m > n, sí lo es. Intuitivamente puede pensarse que se «quitan» elementos de la sumatoria (3) para considerar únicamente en ella los elementos del subconjunto β de la base ortonormal (2). Como esta sumatoria es positiva y el cuadrado de la norma de x es igual a la sumatoria completa, es decir, con todos los elementos de 1 a m, quitar un elemento implica disminuir esta sumatoria. Por lo tanto, la norma del vector x debe superar esta nueva sumatoria, a la cual le faltan m – n términos con respecto a (3). De ahí que (1) sea válida.
Demostración de la desigualdad si m > n

Consiste en separar la sumatoria (3) y eliminar el término positivo que sobra.

QED.

Véase también[editar]

Notas[editar]

Referencias[editar]

Enlaces externos[editar]