Pirámide (geometría)

Pirámide cuadrangular

La pirámide es un poliedro, constituido por un polígono simple (llamado base) y triángulos que tienen un único lado que coincide con uno del polígono base; todos los triángulos tienen un vértice común llamado vértice de la pirámide. Los triángulos se llaman caras laterales. El lado común a dos caras laterales se llama arista, del mismo modo que cualquier lado de la base. El número total de las aristas es doble del número de lados de la base. Estrictamente, el poliedro tiene $n+1$ vértices poliedrales, donde $n$ es el número de vértices de la base.

Definición

Se llama pirámide a un cuerpo geométrico que es la unión de todos los segmentos que unen todos los puntos de un polígono S con un punto P exterior al plano del polígono.

Se considera que el polígono es una parte del plano y es un conjunto bidimensional.

Elementos

• Base: es el polígono cuyos puntos son los extremos de los segmentos que se unen con el punto exterior.
• Vértice de la pirámide: es el punto exterior al plano de la base.
• Arista lateral: es el segmento que une cada vértice del polígono con el vértice de la figura del espacio.
• Altura: es el segmento perpendicular del vértice de la pirámide al plano de la base.También lo es su medida.
• Cada lado de la base con el vértice de la pirámide al unirlos por sus extremos determina una región triangular, llamada cara lateral ​
• Apotema: es un segmento perpendicular del vértice de la pirámide a un lado de la base.

Tipos de pirámides

Pirámide oblicua. Los vértices están marcados en naranja y las aristas en rojo. La línea amarilla es una diagonal de la base.

Una pirámide recta es un tipo de pirámide que une la proyección ortogonal del ápice sobre la base coincide con su centroide.

Una pirámide oblicua es una pirámide que no es recta. Si la base de una pirámide oblicua es un polígono regular, es posible que no todas sus caras laterales sean triángulos isósceles. Es decir, alguna de sus caras laterales no es un triángulo isósceles

Una pirámide regular es una pirámide recta cuya base es un polígono regular. En este tipo de pirámides cada cara lateral es un triángulo isósceles igual a los demás, su altura se llama apotema de la pirámide.

Una pirámide convexa tiene como base un polígono convexo.

Una pirámide cóncava tiene como base un polígono cóncavo.

Una pirámide tetraédrica o tetraedro, tiene como base un triángulo.

Existen tres tipos de pirámides cuyas caras son triángulos equiláteros, con bases de 3, 4 y 5 lados respectivamente. Un tetraedro regular es una pirámide cuyas caras (base y caras laterales) son triángulos equiláteros.

Área

Área de un polígono regular

Partición de polígonos regulares en triángulos isósceles.

La línea roja es un apotema de este octógono.

El área de un polígono regular puede calcularse en función de la longitud de cada lado y su número de lados. Un polígono regular de n lados puede dividirse en n triángulos isósceles (equiláteros en el caso del hexágono regular) cuyas bases son los lados del polígono regular. La altura de cada uno de estos triángulos es un apotema del polígono regular y divide cada uno de los triángulos isósceles en dos triángulos rectángulos, dividiendo así el polígono en 2n triángulos rectángulos.

El área del polígono regular (A_b) es igual a la suma de las áreas de los triángulos rectángulos (A_t):

$A_{b}=2\ n\cdot A_{t}=2\ n\ {\frac {{\frac {l}{2}}\ a}{2}}={\frac {n}{2}}\ l\cdot a$

Donde a es el apotema del polígono regular. Para calcular la longitud del apotema se aplica la trigonometría.

Aparte: Calculemos la apotema a, donde α es el ángulo del vértice del triángulo rectángulo que coincide con el centro del polígono regular.:

$\tan(\alpha )={\frac {\frac {l}{2}}{a}}$

$\tan(\alpha )={\frac {l}{2\cdot a}}$

$a={\frac {l}{2\cdot \tan(\alpha )}}$

Ahora reemplazando el valor de la apotema a en el área del polígono regular (A_b) tenemos:

$A_{b}={\frac {n}{2}}\ l\cdot a={\frac {n}{2}}\ l\cdot {\frac {l}{2\cdot \tan(\alpha )}}={\frac {n}{4}}\ l^{2}\cdot \cot(\alpha )$

El valor del ángulo α resulta de dividir el ángulo completo (2π) por el número de triángulos rectángulos (2n), luego $\alpha =2\pi /2n=\pi /n$.

(1)$A_{b}={\frac {n}{4}}\ l^{2}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)$

Área lateral de una pirámide

El área lateral de una pirámide es la suma de las áreas de las caras laterales.

En una pirámide regular, las caras laterales son triángulos isósceles. El área de cada cara es el semiproducto de su base (que es igual al lado de la base de la pirámide l ), por su altura (que es el apotema de la pirámide a_p ). El área lateral de una pirámide regular resulta de multiplicar el área de una de sus caras laterales por el número de caras laterales.

(2)$A_{l}=n\cdot {\frac {l\cdot a_{p}}{2}}={\frac {p\cdot a_{p}}{2}}$

Donde a_p es el apotema de la pirámide y p es el perímetro de la base.

Teorema de Pitágoras:
Altura de la pirámide: h = a.
Apotema de la base: a_b = b.
Apotema de la pirámide: a_p = c.

La apotema de la pirámide (a_p) puede calcularse a partir de la apotema de la base (a_b) y de la altura de la pirámide (h) aplicando el teorema de Pitágoras.

$a_{p}^{2}=a_{b}^{2}+h^{2}$

Área total de una pirámide

El área total de la pirámide es la suma del área de la base y el área lateral.

(3)$A=A_{b}+A_{l}\,$

En el caso de una pirámide regular, sustituyendo el área de la base (1) y el área lateral (2) en la ecuación (3), se obtiene:

$A={\frac {n}{4}}\ l^{2}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)+{\frac {p\cdot a_{p}}{2}}$

Volumen

El volumen de una pirámide puede obtenerse mediante cálculo diferencial. El área de un plano de corte transversal es directamente proporcional al área de la base (A_b) y al cuadrado de la distancia del plano de corte respecto al vértice de la pirámide. Esta distancia (d) es la diferencia entre la altura de la pirámide (h) y altura del plano de corte (z).

$d=h-z\,$

Por lo tanto, el área de un plano de corte transversal situado a una altura z por encima de la base es

$A\left(z\right)=A_{b}\ {\frac {d^{2}}{h^{2}}}=A_{b}\ {\frac {(h-z)^{2}}{h^{2}}}$

El volumen de una pirámide se puede hallar conociendo el área de su base y su altura, independientemente de la forma de la base y de la posición del ápice en un plano paralelo a la base.

$V=\int _{0}^{h}A\left(z\right)\ dz=A_{b}\int _{0}^{h}{\frac {(h-z)^{2}}{h^{2}}}\ dz=-A_{b}{\frac {(h-z)^{3}}{3h^{2}}}{\bigg |}_{0}^{h}$

(4)$V={\frac {\ A_{b}\ h}{3}}$

Esta fórmula también es válida para el cono, ya que no depende de la forma de la base, sino de su área.

Volumen de una pirámide regular

El volumen de una pirámide cuya base es un polígono regular puede calcularse a partir del lado del polígono regular que define su base y la altura de la pirámide. Sustituyendo el área de la base A_b (1) en la ecuación del volumen de la pirámide (4) se obtiene:

$V={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {n}{4}}\cdot l^{2}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot \ h$

$V={\frac {n}{12}}\cdot l^{2}\cdot h\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)$

Como un polígono regular es inscriptible, puede usarse el radio r de la circunferencia circunscrita, el ángulo α interior del polígono, la altura h y el número n de lados, y calcular, con dichos datos, el volumen sujeto a la siguiente fórmula:​

$V={\frac {n}{6}}hr^{2}sen2\alpha$

Centroide, centro de masas y centro de gravedad

El centroide o baricentro de un tetraedro regular está situado en su altura. El punto donde se cortan las cuatro posibles alturas, se encuentra a una distancia de la base igual a: ${\frac {1}{4}}\cdot h$

Coincide con el centro de masas de un tetraedro regular de densidad uniforme. También coincide con el centro de gravedad de un tetraedro regular de densidad uniforme y campo gravitacional uniforme.

El centro de gravedad de una pirámide de densidad y campo uniforme está situado a una distancia de la base igual a un cuarto de su altura.​

Pirámide homotética de volumen la mitad

Dada una pirámide recta de altura h, la pirámide homotética cuyo volumen es la mitad tendrá una altura h':

$h'=h\cdot {\sqrt[{3}]{1/2}}$

Demostración

El plano paralelo a la base, situado a dicha distancia de la cúspide, cortará a la pirámide en dos partes de igual volumen. Buscamos la razón de la homotecia: el coeficiente por el que tenemos que multiplicar los lados de la base y la altura, para obtener las dimensiones de la pirámide homotética cuyo volumen mide la mitad del total.

Si el volumen total de la pirámide es:

$V={\frac {a\cdot b\cdot h}{3}}$

La pirámide cuyo volumen es la mitad, tendrá:

$V'={\frac {xa\cdot xb\cdot xh}{3}}$

siendo x la razón de la homotecia, el coeficiente de proporcionalidad.

Como

$V'={\frac {1}{2}}\cdot V$

deducimos

${\frac {xa\cdot xb\cdot xh}{3}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {a\cdot b\cdot h}{3}}$

simplificando

$x^{3}\cdot a\cdot b\cdot h={\frac {1}{2}}\cdot a\cdot b\cdot h$

$x^{3}={\frac {1}{2}}$

$x={\sqrt[{3}]{1/2}}$

La razón de la homotecia es 0,79370053 aproximadamente.

Véase también

• Pirámide
• Tronco de pirámide
• Tetraedro
• Eudoxo de Cnidos
• Bipirámide (unión de dos pirámides por sus bases)

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Pirámide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Datos: Q3358290
• Multimedia: Pyramids (geometry) / Q3358290