Valoración (matemáticas)

En matemáticas, más particularmente en geometría algebraica y en teoría de números, una valoración, o valoración de Krull, es una medida de multiplicidad. La noción es una generalización de la noción de grado u orden de cancelación de un anillo de polinomios en álgebra, del grado de divisibilidad por un número primo en teoría de números, del orden de un polo en análisis complejo o del número de puntos de contacto entre dos variedades algebraicas en geometría algebraica.

Definición[editar]

Se denomina valoración a una aplicación de un anillo conmutativo unitario $(A,+,\times )$ distinto de cero a un grupo abeliano totalmente ordenado $(G,+,<)$ y su unión con el infinito

v:A\longrightarrow G\cup \{\infty \}

que verifica las siguientes propiedades:

$\forall x\in A,\ v(x)=\infty \Longleftrightarrow x=0$ ;
$\forall x,y\in A,\ v(xy)=v(x)+v(y)$ ;
$v(x+y)\geqslant \min(v(x),v(y))$ , propiedad que está conectada a la desigualdad triangular en espacios métricos.

Notas:

Se utilizan las convenciones clásicas $a<\infty$ y $a+\infty =\infty$ para todos los $a\in G$ .
Algunos autores se limitan a realizar evaluaciones en un cuerpo.
Si A es un cuerpo o no, v es un morfismo de monoides de (A *, ×) en (G, +).
Cuando A es un cuerpo, v es, por lo tanto, un homomorfismo de grupos de (A*, ×) en (G, +), de modo que v(A*) es un subgrupo de G.
Cuando A es un cuerpo, a veces se exige que v sea sobreyectiva, pero siempre se puede volver a esta situación reemplazando G por v(AT*).

Se dice que dos valoraciones $v$ y $v'$ en A son equivalentes si hay un isomorfismo de semigrupos ordenados

\lambda :v(A^{*})\to v'(A^{*})\quad {\text{tal que}}\quad v'=\lambda \circ v.

Valoraciones discretas[editar]

Véase también: Anillo de valoración discreta

Cuando el grupo G es ℤ, $v$ se denomina valoración de Dedekind o valoración discreta. Dos valoraciones discretas $v$ y $v'$ sobre $A$ son equivalentes si y solamente si son proporcionales, es decir, si existe un número racional $k$ no nulo tal que

\forall x\in A^{*},\ v'(x)=kv(x).

Las clases de equivalencia de valoraciones discretas en un anillo se denominan sus lugares.

Valoración trivial[editar]

La valoración

{\begin{array}{rrcl}v:&A&\longrightarrow &G\cup \{\infty \}\\&x&\longmapsto &{\begin{cases}\infty &\mathrm {si} \ x=0\\0&\mathrm {si} \ x\neq 0\end{cases}}\end{array}}

se llama valoración trivial.

Propiedades[editar]

Propiedades generales[editar]

Sea $A$ un anillo conmutativo unitario distinto de cero provisto de una valoración $v$ . Entonces:

$v(1)=v(-1)=0$ ;
$\forall x,y\in A,\ v(x-y)\geqslant \min(v(x),v(y))$ ;
$\forall x,y\in A,\ v(x)\neq v(y)\Rightarrow v(x+y)=\min(v(x),v(y))$ ;
$A$ es un dominio de integridad;
existe una única valoración $w$ en un cuerpo de fracciones $Frac(A)$ que amplía $v$ :

\forall p/q\in \mathrm {Frac} (A),\ w(p/q)=v(p)-v(q)

.

Valoraciones discretas sobre el cuerpo de los racionales[editar]

Artículo principal: Teorema de Ostrowski

Los lugares de ℚ, es decir, las valoraciones discretas de ℚ (sin considerar un factor de proporcionalidad), son los de:

valoración trivial;
las valoraciones p-ádicas.

Valor absoluto asociado[editar]

Sea $v$ una valoración de $A$ con valores reales, y $ρ$ ∈ ]0, 1[. Se asocia con $v$ un valor absoluto ultramétrico (la noción de valor absoluto generalmente se define en un campo, pero perfectamente definible en cualquier anillo, y siempre induce una distancia en su conjunto subyacente; véase más adelante) expresado como | ∙ |_$v$; y tal que

\forall x\in A^{*},\ |x|_{v}=\rho ^{v(x)}

.

La distancia asociada a este valor absoluto ( $d(x,y)=|x-y|_{v}$ ) hace que $A$ sea un anillo topológico que incluye la topología derivada de un espacio ultramétrico.

Si $A$ es un cuerpo, entonces $(A,|\cdot |_{v})$ es un cuerpo valorado, por lo que su anillo completado (para $d$ ) es un cuerpo valorado completo. Por la prolongación de las desigualdades, el valor absoluto de este anillo completado sigue siendo ultramétrico. Por ejemplo, los cuerpos ℚ_$p$ y k((T)) pueden obtenerse mediante esta construcción.

Ejemplos[editar]

Las siguientes aplicaciones son valoraciones:

Orden de cancelación de un polinomio[editar]

Artículo principal: Construcción del anillo de los polinomios

Sea $K$ un campo conmutativo, $K [X]$ el anillo de los polinomios con coeficientes en $K$ y $a$ un elemento de $K$ . Se define la aplicación «orden de cancelación en $a$ »:

{\begin{array}{rrcl}v_{a}:&K[X]&\longrightarrow &\mathbb {Z} \cup \{\infty \}\\&P&\longmapsto &\sup \left\{k\in \mathbb {N} \ |\ \exists R\in K[X],\ P(X)=(X-a)^{k}R(X)\right\}\end{array}}

que con un polinomio distinto de cero $P$ asocia el orden de multiplicidad de la raíz $a$ en $P$ (orden que es igual a 0 si $a$ no es raíz, y el infinito si $P$ es cero).

Si $P$ es distinto de cero, $v a (P)$ es igual al grado del menor monomio distinto de cero de $P (a + X)$ .

Nota: Si $a$ pertenece a una extensión L de K (por ejemplo, en el cierre algebraico de K), la valoración $v a$ en L[X] está restringida a una valoración sobre K[X].

Orden de cancelación de una fracción racional[editar]

Sea $K$ un campo conmutativo, $K (X)$ el campo de las fracciones racionales con coeficientes en $K$ y $a$ un elemento de $K$ . Se define la aplicación

{\begin{array}{rrcl}v_{a}:&K(X)&\longrightarrow &\mathbb {Z} \cup \{\infty \}\\&P/Q&\longmapsto &v(P)-v(Q)\end{array}}

que asocia a una fracción racional la diferencia de las órdenes de cancelación del numerador y del denominador en $a$ . Si $v (R)$ es positivo, es el orden de cancelación de $R$ sobre $a$ , si $v (R)$ es estrictamente negativo, es el orden del polo de $R$ en $a$ .

Opuesto al grado de un polinomio[editar]

Sea $K$ un campo conmutativo y $K [X]$ el anillo de polinomios con coeficientes en $K$ . Se define la aplicación

{\begin{array}{rrcl}v_{\infty }:&K[X]&\longrightarrow &\mathbb {Z} \cup \{\infty \}\\&P&\longmapsto &-{\text{grado }}P\end{array}}

que a un polinomio $P$ asocia el opuesto de su grado, con la convención de que el grado del polinomio cero es (-_∞).

Orden de una serie de Laurent[editar]

En el cuerpo k((T)) de series formales de Laurent en un campo conmutativo k, se tiene una valoración asociando cualquier serie de Laurent con su orden.

Orden de una función meromórfica[editar]

Si U es un conjunto abierto conexo no vacío del cuerpo de los números complejos; y si A es un punto de U, se tiene una valoración en el cuerpo de funciones meromorfas en U por asociar a cualquier función meromorfa su orden en el punto A.

Valoración p-ádica[editar]

Artículo principal: Número p-ádico

Dado el número primo $p$ , se define la aplicación

{\begin{array}{rrcl}v_{p}:&\mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {N} \cup \{\infty \}\\&n&\longmapsto &{\begin{cases}\infty &{\mbox{ si }}n=0\\\max\{k\in \mathbb {N} \ |\ p^{k}{\mbox{ divisor }}n\}&{\mbox{ si }}n\neq 0\end{cases}}\end{array}}

que a un entero $n$ le asocia el exponente de $p$ en la descomposición de $n$ en factores primos, con la convención de que $v p (0) = \infty$ . La aplicación $v p$ se denomina valoración $p$ -ádica en ℤ y se extiende sobre el campo de fracciones Es falso

Anillo de clasificación[editar]

Sea K un cuerpo conmutativo dotado de una valoración v. Los elementos de K de valoración positiva o cero constituyen un subanillo R llamado el anillo de valoración asociado con la valoración v sobre K:

R=\{x\in K\ |\ v(x)\geqslant 0\}

.

El cuerpo de fracciones de R es K.

Se tiene que v(1/x) = -v(x) para cualquier elemento distinto de cero x de K, y por lo tanto x es un elemento invertible de R si y solo si v(x) = 0. En consecuencia, R es un anillo local cuyo único ideal máximo M consiste en los elementos de valoración estrictamente positiva:

M=\{x\in K\ |\ v(x)>0\}

.

Por ejemplo (para las valoraciones habituales en estos cuerpos) el anillo de valoración de ℚ_$p$ es ℤ_$p$ y el de k((T)) (donde k denota un campo conmutativo) es k[[T]]. Estos dos ejemplos también son anillos de valoración discreta.

Hay varias caracterizaciones de los anillos de valoración:^[1]

Enunciado: Sea R un dominio de integridad y K un cuerpo de fracciones. Las siguientes condiciones son equivalentes:

R es un anillo de valoración (para una determinada valoración en K);

para cualquier elemento x de K que no pertenezca a R, la inversa de x pertenece a R;

en el conjunto de ideales principales de R, el orden definido por inclusión es total;

en el conjunto de ideales de R, el orden definido por la inclusión es total.

Dos valoraciones v y v' sobre K son equivalentes si y solo si tienen el mismo anillo de valoración.^[2]

Para cualquier campo k y cualquier grupo abeliano completamente ordenado G, existe un campo valorado (K, v) cuyo grupo de valoración es G y cuyo cuerpo residual R/M es k.^[3]