Desigualdad triangular

Desigualdad del triángulo.

La desigualdad es un teorema de geometría euclidiana que establece:

En todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante.

Este resultado ha sido generalizado a otros contextos más sofisticados como espacios vectoriales. Definido matemáticamente, cualquier triángulo cumple la siguiente propiedad:

$a < (b + c) \ y \ b < (a + c) \ y \ c < (a + b)$

donde a b y c son los lados.

Camino euclidiano de mínimo recorrido

Desigualdad del triángulo tendiendo hacia la igualdad mientras reduce su altura.

En geometría euclidiana (y en algunas otras geometrías ) la desigualdad triangular es un teorema importante acerca de las medidas y las distancias. Siguiendo en geometría euclidiana, dicha desigualdad en triángulos rectángulos, es una consecuencia del teorema de Pitágoras, y para los triángulos en general una consecuencia de la ley de los cosenos, aunque ésta puede ser probada sin esos teoremas. La desigualdad se puede ver intuitivamente ya sea en ℝ² o ℝ³ (aunque también es válida para ℝⁿ). La figura de la derecha muestra tres ejemplos progresivos partiendo de una clara desigualdad (triángulo más alto) hasta acercarse tanto como se quiera a la igualdad (triángulo más bajo). Advierta que se logra tanta más aproximación a la igualdad, cuanto más se aproxima el vértice Z (el opuesto al lado z) a cualquier punto del segmento que conforma al lado z de la base del triángulo, y esto con total independencia del camino que se utilice.

El teorema de la desigualdad triangular solo menciona los casos de desigualdad (no podría ser se otra manera debido a su enunciado) y así evita el tratar con el caso límite de si tres vértices colineales siguen o no definiendo un triángulo, (aún si se conviene en que sí, estaríamos ante un caso de figura geométrica degenerada y éstas conducen en general a soluciones espurias, aunque particularmente en éste caso, no es así).

Siendo h la altura del triángulo y tomando límite con $h\to 0$ , la polémica se soslaya y se adquiere el derecho a extender la fórmula inicial a una más general.

Si (x, y, z) son las respectivas denominaciones de los lados de un tiángulo cualquiera y h la altura correspondiente al lado z, entonces podremos reconocer dos casos:

1) Aceptado h>0. Implica quedarnos con las tres desigualdades tradicionales del teorema:

$\forall _{\{\text{xyz},h\},\{\text{xyz}\}\in \mathbb{R}>0}(\{h\}\in \mathbb{R}>0\Rightarrow \{x+y>z,x+z>y,y+z>x\})$

2) Aceptado h≥0. En éste segundo caso logramos tres desigualdades más generales que las del teorema porque incluyen el caso que más nos interesa, el cual es el caso límite de igualdad :

$\forall _{\{\text{xyz},h\},\{\text{xyz}\}\in \mathbb{R}>0}(\{h\}\in \mathbb{R}\geq 0\Rightarrow \{x+y\geq z,x+z\geq y,y+z\geq x\})$

En geometría euclídea, sólo se obtiene el caso límite de igualdad cuando el triángulo (aunque degenerado) tenga altura h=0 (sobre el lado que se a denominado z) y además el vértice Z pertenezca al segmento xy (o sea al lado z), llegando entonces los tres vértices, a ser colineales, como se muestra en el ejemplo (línea base).

$\left( x+y=z \right) \iff \left( h=0,Z \in z \right)$

Como el vértice Z puede estar en cualquier lugar (del plano al que pertenece el triángulo), pero en la desigualdad triangular solo se logra el caso límite de igualdad cuando dicho vértice se encuentra en un lugar tal que pertenece al segmento constituyente del lado z, y como por otra parte la mínima longitud que puede tener la suma x+y cumpliendo con ser mayor o igual a la longitud del lado z es justamente la longitud del lado z, se concluye entonces que para el caso límite de x+y=z estamos ante una longitud de mínimo recorrido posible entre los vértices X e Y de z, (en definitiva entre dos puntos cualquiera, por ser z un lado genérico), lo cual demuestra que la línea recta es el camino de menor longitud posible entre ellos.

Por todo lo anterior es posible afirmar que:

En geometría euclidiana la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta.

Es importante registrar que la desigualdad triangular euclídea en ℝ² o ℝ³ es una idea de gran simplicidad. Luego en matemáticas más avanzadas se podrá ver que la “idea” de la desigualdad (ya no triangular) se puede generalizar también a polígonos de cuatro o más lados. Luego sabiendo que los polígonos al tender su número de lados a infinito ($n\to \infty$ ) se convierten en curvas, en las que aún vale una versión con similitudes a la “idea” de desigualdad. Además en algunos casos puede generalizarse el concepto a algunos espacios no euclidianos (con solo reemplazar el concepto de recta por el de línea geodésica).

Espacios vectoriales normados

El teorema puede generalizarse a espacios vectoriales normados, obteniéndose la siguiente versión de la desigualdad triangular:

En todo espacio vectorial normado $V, \forall x,y\in V, \ \ \left\| x + y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\|$

Es decir, que La norma de la suma de dos vectores es siempre menor o igual a la suma de las normas de los dos vectores.

En el caso particular de considerar la recta real como espacio vectorial normado con el valor absoluto como norma obtenemos la siguiente versión del teorema:

Para cualquiera dos números a y b se cumple: $|a + b| \le |a| + |b|$

cuya demostración es:

Demostración

(Ámbito → ℝ). Haciendo uso de las propiedades del valor absoluto, es posible escribir:

$-|a| \le a \le |a|$

$-|b| \le b \le |b|$

Sumando ambas inecuaciones:

$-(|a| + |b|) \le a + b \le |a| + |b|$

A su vez, usando la propiedad de valor absoluto $|a| \le b$ si y solo si $-b \le a \le b$ en la línea de arriba queda:

$|a + b| \le |a| + |b|$

Generalización de la desigualdad triangular

La desigualdad triangular puede generalizarse a un número arbitrario de sumandos:

$|x_1+x_2+\cdots +x_m| \le |x_1| +|x_2| +\cdots +|x_m|$,

es decir:

$\left|\sum_{i=1}^n x_i\right| \le \sum_{i=1}^n |x_i|.$

donde n es un número natural, y los $x_i$ son números reales.

Demostración

La demostración es un ejemplo clásico de prueba por inducción matemática. Como casos iniciales observamos que para n=1: $|x_1| \le |x_1|$ puesto que el símbolo $\le$ es una disyunción lógica (menor o igual) que contempla ya el caso de igualdad Cuando n=2, obtenemos la desigualdad triangular clásica $|x_1 +x_2|\le |x_1| + |x_2|$ Supongamos ahora que la condición se ha verificado hasta un cierto valor k de n. Esto es, asumimos que se ha verificado $\left|\sum_{i=1}^k x_i\right| \le \sum_{i=1}^k |x_i|.$ Queda por demostrar que la afirmación es cierta también para el siguiente valor, k+1. Partimos de la siguiente expresión: $\left|\sum_{i=1}^{k+1} x_i \right| = \left|\sum_{i=1}^k x_i + x_{k+1} \right|$ y observando que $\sum_{i=1}^k x_i$ es un número real y $x_{k+1}$ es otro, podemos aplicar la desigualdad triangular para dos sumandos: $\left|\sum_{i=1}^k x_i + x_{k+1} \right| \le \left|\sum_{i=1}^k x_i \right| + | x_{k+1} |$ Aplicamos ahora la afirmación para n=k sumandos $\left|\sum_{i=1}^k x_i\right| \le \sum_{i=1}^k |x_i|.$ la cual habíamos supuesto como cierta y la sustituimos para obtener $\left|\sum_{i=1}^k x_i\right| +|x_{k+1}|\le \sum_{i=1}^k |x_i|+|x_{k+1}|.$ Sin embargo, esta última expresión es precisamente $\sum_{i=1}^{k+1} |x_i|.$ de manera que hemos demostrado $\left|\sum_{i=1}^{k+1} x_i\right| \le \sum_{i=1}^{k+1} |x_i|.$ y por medio de inducción matemática, el resultado queda establecido para cualquier valor de n.

Véase también

• Desigualdad de Cauchy-Schwarz