Desigualdad de Minkowski

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En análisis matemático, la desigualdad de Minkowski, debida a Hermann Minkowski, establece que los espacios Lp son espacios vectoriales con una norma vectorial. Sea S un espacio medible, sea 1 ≤ p ≤ ∞ y sea f y g elementos de Lp(S). Entonces f + g es de Lp(S), y se tiene

\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p

con la igualdad para el caso1 < p < ∞ si y sólo si f y g son positivamente linealmente dependientes (que significa que f = \lambda g o g = \lambda f para algún \lambda ≥ 0).

La desigualdad de Minkowski es la desigualdad triangular en Lp(S).

Igual que la desigualdad de Hölder, la desigualdad de Minkowski se puede especificar para sucesiones y vectores haciendo:

\left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p}

para todos los números reales (o complejos) x1, ..., xn, y1, ..., yn y donde n es el cardinal de S (el número de elementos de S).

Referencias[editar]

  • Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G. (1999). Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8
  • H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)
  • M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4