Disjunción condicionada[editar]

Disjunción condicionada
Definición
Tabla de verdad
Formas normales
Disyuntiva
Conjuntiva
Polinomio de Zhegalkin
Retículas de Post
Preserva 0	si
Preserva 1	si
Monótona	no
Afín	no
Auto dual	no

En lógica, la disjunción condicionada (a veces llamada disjunción condicional) es una operador ternario conectiva logica introducido por Church.^[1]^[2] Operandos dados p', q', y r', que representan proposiciones valoradas en la verdad, el significado de la disyunción condicionada [p, q, r] viene dado por:

[p,q,r]~\leftrightarrow ~(q\rightarrow p)\land (\neg q\rightarrow r)

Es decir, [p, q, r] es equivalente a: "si q entonces p, además r ", o " p o r, de acuerdo de q o no q". Esto también puede ser declarado como "q implica p, y no q implicar". Por lo tanto, para cualquier valor de p, q, y r, el valor de [p, q, r] es el valor de p cuando q es verdad, y es el valor de r de otra manera.

La disyunción condicionada es también equivalente a:

(q\land p)\lor (\neg q\land r)

y tiene la misma tabla de verdad que el operador operador ternario en muchos lenguajes de programación. En términos de lógica electrónica, también puede ser visto como un multiplexor de un solo bit.

En conjunción con las constantes de verdad que denotan cada valor de verdad, la disyunción condicionada es una verdad funcionalmente completa para la lógica clásica .^[3] Su tabla de verdad es la siguiente:

**Disyunción Condicionada**
p	q	r	[p,q,r]
V	V	V	V
V	V	F	V
V	F	V	V
V	F	F	F
F	V	V	F
F	V	F	F
F	F	V	V
F	F	F	F

Hay otros conectivos ternarios funcionalmente completos de la verdad.

Referencias[editar]

↑ Church, Alonzo (1956). Introducción a la lógica matemática. Princeton University Press.
↑ Church, Alonzo (1948). «Disyunción condicionada como conectivo primitivo para el cálculo proposicional». Portugaliae Mathematica, vol. 7, pp. 87-90.
↑ Wesselkamper, T., "A sole sufficient operator", Notre Dame Journal of Formal Logic, Vol. XVI, No. 1 (1975), pp. 86-88.

Tabla de congruencias[editar]

En matemáticas, una congruencia es una relación de equivalencia en los enteros. Las siguientes secciones listan congruencias importantes o interesantes relacionadas con los primos.

Tabla de congruencias que caracterizan a los primos especiales[editar]

$2^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}$	caso especial del pequeño teorema de Fermat, cumplido por todos los números primos impares
$2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}$	las soluciones son los números primos de Wieferich (ejemplo: 1093)
$F_{n-\left({\frac {n}{5}}\right)}\equiv 0{\pmod {n}}$	cumplido por todos los números primos
$F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$	las soluciones son los números primos de Wall-Sun-Sun (no se sabe ejemplo)
${2n-1 \choose n-1}\equiv 1{\pmod {n^{3}}}$	por el teorema de Wolstenholme cumplido por todos los números primos mayores que 3
${2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{4}}},$	las soluciones son los números primos de Wolstenholme (ejemplo: 16843)
$(n-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {n}}$	por el teorema de Wilson un número natural n es primo si y sólo si cumple las congruencias
$(p-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {p^{2}}}$	las soluciones son los números primos de Wilson (ejemplo: 5)
$4[(p-1)!+1]\ \equiv \ -p{\pmod {p(p+2)}}$	las soluciones son números primos gemelos

Otras congruencias relacionadas con los primos[editar]

Hay otras congruencias relacionadas con los primos que proporcionan condiciones necesarias y suficientes sobre la primordialidad de ciertas subsecuencias de los números naturales. Muchos de estas declaraciones alternativas que caracterizan la primordialidad están relacionadas con el teorema de Wilson, o son reaformulacioness de este resultado clásico dadas en términos de otras variantes especiales de funciones factoriales generalizadas. Por ejemplo, nuevas variantes de teorema de Wilson declarado en términos de la hiperfactoriales, subfactoriales, y superfactoriales se dan en.^[1]

Variantes del teorema de Wilson[editar]

Para enteros $k\geq 1$ , tenemos la siguiente forma del teorema de Wilson:

(k-1)!(p-k)!\equiv (-1)^{k}{\pmod {p}}\iff p{\text{ primo. }}

Si $p$ es impar, tenemos que

\left({\frac {p-1}{2}}\right)!^{2}\equiv (-1)^{(p+1)/2}{\pmod {p}}\iff p{\text{ número primo impar. }}

El teorema de Clemente sobre los primos gemelos[editar]

El teorema basado en la congruencia de Clement caracteriza los pares de los número primo gemelo de la forma $(p,p+2)$ a través de las siguientes condiciones:

4[(p-1)!+1]\equiv -p{\pmod {p(p+2)}}\iff p,p+2{\text{ ambos son primos. }}

El artículo original de P. A. Clement de 1949 ^[2] proporciona una prueba de este interesante criterio teórico de números elementales para la primalidad de gemelos basado en el teorema de Wilson. Otra caracterización dada en el artículo de Lin y Zhipeng establece que

2\left({\frac {p-1}{2}}\right)!^{2}+(-1)^{\frac {p-1}{2}}(5p+2)\equiv 0\iff p,p+2{\text{ ambos son primos. }}

Caracterizaciones de tuplas y conglomerados primos[editar]

Los pares primos de la forma $(p,p+2k)$ para algunos $k\geq 1$ incluyen los casos especiales de números primos primos (cuando $k=2$ ) y de números primos sexis (cuando $k=3$ ). Tenemos caracterizaciones elementales basadas en la congruencia de la primordialidad de tales pares, probadas, por ejemplo, en el artículo.^[3] Ejemplos de congruencias que caracterizan a estos pares primos incluyen

2k(2k)![(p-1)!+1]\equiv [1-(2k)!]p{\pmod {p(p+2k)}}\iff p,p+2k{\text{ ambos son primos, }}

y la caracterización alternativa cuando $p$ es impar tal que $p\not {\mid }(2k-1)!!^{2}$ dado por

2k(2k-1)!!^{2}\left({\frac {p-1}{2}}\right)!^{2}+(-1)^{\frac {p-1}{2}}\left[(2k-1)!!^{2}(p+2k)-(-4)^{k}\cdot p\right]\equiv 0\iff p,p+2k{\text{ ambos son primos. }}

Aún existen otras caracterizaciones basadas en la congruencia del test de primalidad y se prueban a partir del teorema de Wilson (ver, por ejemplo, la Sección 3.3 en ^[4]).

Referencias[editar]

↑ Aebi, Christian; Cairns, Grant (May 2015). «Generalizations of Wilson's Theorem for Double-, Hyper-, Sub- and Superfactorials». The American Mathematical Monthly 122 (5): 433-443. JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.122.5.433. doi:10.4169/amer.math.monthly.122.5.433.
↑ Clement, P. A. (1949). «Congruences for sets of primes». Amer. Math. Monthly 56 (1): 23-25. JSTOR 2305816. doi:10.2307/2305816.
↑ C. Lin and L. Zhipeng (2005). «On Wilson's theorem and Polignac conjecture». Math. Medley 6. Bibcode:2004math......8018C. arXiv:math/0408018.
↑ Schmidt, M. D. (2017). New Congruences and Finite Difference Equations for Generalized Factorial Functions. Bibcode:2017arXiv170104741S. arXiv:1701.04741.

Esta obra contiene una traducción total derivada de «Table of congruences» de Wikipedia en inglés, concretamente de esta versión del 13 de abril de 2021, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.

Números de Narayana[editar]

En combinatoria, los números de Narayana $\operatorname {N} (n,k),n\in \mathbb {N} ^{+},1\leq k\leq n$ forman una vector triangular de números naturales, llamada triángulo de Narayana, que ocurren en varios problemas de conteo. Llevan el nombre del matemático canadiense T. V. Narayana (1930–1987).

Fórmula[editar]

Los números de Narayana se pueden expresar en términos de coeficiente binomial:

\operatorname {N} (n,k)={\frac {1}{n}}{n \choose k}{n \choose k-1}

Valores numéricos[editar]

Las primeras ocho filas del triángulo de Narayana dicen:

k =       1   2   3   4   5   6   7   8
n = 1  |  1
    2  |  1   1
    3  |  1   3   1
    4  |  1   6   6   1
    5  |  1  10  20  10   1
    6  |  1  15  50  50  15   1
    7  |  1  21 105 175 105  21   1
    8  |  1  28 196 490 490 196  28   1

(sucesión A001263 en OEIS)

Interpretaciones combinatorias[editar]

Lenguaje de Dyck[editar]

Un ejemplo de un problema de conteo cuya solución se puede dar en términos de los números de Narayana. $\operatorname {N} (n,k)$ , es el número de palabras que contienen pares de paréntesis, que coinciden correctamente (conocido como Lenguaje de Dyck) y contiene distinto anidamientos. Por ejemplo, $\operatorname {N} (4,2)=6$ , ya que con cuatro pares de paréntesis, se pueden crear seis secuencias, cada una de las cuales contiene dos ocurrencias el subpatrón ():

(()(()))  ((()()))  ((())())
()((()))  (())(())  ((()))()

De este ejemplo debería ser obvio que $\operatorname {N} (n,1)=1$ ,ya que la única forma de obtener un solo subpatrón () es tener todos los paréntesis de apertura en la primera posición, seguido de todos los paréntesis de cierre. También $\operatorname {N} (n,n)=1$ , como los distintos anidamientos solo se pueden lograr mediante el patrón repetitivo. ()()()…().

De manera más general, se puede demostrar que el triángulo de Narayana es simétrico:

\operatorname {N} (n,k)=\operatorname {N} (n,n-k+1)

La suma de las filas de este triángulo es igual a los números de Catalan:

\operatorname {N} (n,1)+\operatorname {N} (n,2)+\operatorname {N} (n,3)+\cdots +\operatorname {N} (n,n)=C_{n}

Caminos de celosía monótonos[editar]

Los números de Narayana también cuentan el número de [[Caminos de celosía|caminos de celosía] de $(0,0)$ to $(2n,0)$ ,con escalones solo al noreste y sureste, sin desviarse por debajo del $x$ -axis, con picos.

Las siguientes figuras representan los números de Narayana $\operatorname {N} (4,k)$ , ilustrando las simetrías mencionadas anteriormente.

$\operatorname {N} (4,k)$	Paths
N(4, 1) = 1 camino con 1 pico:
N(4, 2) = 6 camino con 2 picos:
N(4, 3) = 6 camino con 3 picos:
N(4, 4) = 1 camino con 4 picos:

Esta sume de $\operatorname {N} (4,k)$ es 1 + 6 + 6 + 1 = 14, que es el 4º número catalán, $C_{4}$ . Esta suma coincide con la interpretación de los números catalanes como el número de trayectos monótonos a lo largo de los bordes de un $n\times n$ cuadrícula que no pasa por encima de la diagonal.

Árbol enraizado[editar]

El número de árboles enraizados ordenados con $n$ lados y $k$ hojas es igual a $\operatorname {N} (n,k)$ .

Ello es análogo a los ejemplos previos:

Cada palabra Dyck se puede representar como un árbol enraizado. Comenzamos con un solo nodo: el nodo raíz. Este es inicialmente el "nodo activo". Al leer la palabra de izquierda a derecha, cuando el símbolo es un paréntesis de apertura, agregue un hijo al nodo activo a y establezca este hijo como nodo activo. Cuando el símbolo es un paréntesis de cierre, establezca el padre del nodo activo como nodo activo. De esta forma obtenemos un árbol, en el que cada nodo no raíz corresponde a un par de paréntesis coincidente, y sus hijos son los nodos correspondientes a las sucesivas palabras de Dyck dentro de estos paréntesis. Los nodos hoja corresponden a paréntesis vacíos: (). De manera análoga, podemos construir una palabra Dyck a partir de un árbol enraizado mediante una búsqueda en profundidad. Por tanto, existe un isomorfismo entre las palabras de Dyck y los árboles enraizados.

Función generadora[editar]

La función generadora de los números de Narayana es ^[1]

\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{n}\operatorname {N} (n,k)z^{n}t^{k-1}={\frac {1-z(t+1)-{\sqrt {1-2z(t+1)+z^{2}(t-1)^{2}}}}{2tz}}\;.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

↑ Petersen, 2015, p. 25.

Bibliografía[editar]

P. A. MacMahon (1915–1916). Combinatorial Analysis. Cambridge University Press.
Petersen, T. Kyle (2015). «Narayana numbers». Eulerian Numbers. Birkhäuser Advanced Texts Basler Lehrbücher. Basel: Birkhäuser. ISBN 978-1-4939-3090-6. doi:10.1007/978-1-4939-3091-3.

Ecuación en diferencias lineal[editar]

En matemáticas y, en particular, en sistemas dinámicos, una ecuación en diferencias lineales^[1]^{: ch. 17}^[2]^{: ch. 10} o la relación de recurrencia lineal establece igual a 0 un polinomio que es lineal en las diversas iteraciones de una variable, es decir, variable en los valores de los elementos de una secuencia. La linealidad del polinomio significa que cada uno de sus términos tiene grado 0 o 1. Por lo general, el contexto es la evolución de alguna variable a lo largo del tiempo, con el período de tiempo actual o el momento discreto en el tiempo denotado como $t$ , un período antes denotado como $t - 1$ , un período después como $t + 1$ , etc, etc.

Una ecuación de diferencia lineal de $n$ -ésimo orden es aquella que se puede escribir en términos de los parámetros $a 1, \dots, a n$ y $b$ como

y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{n}y_{t-n}+b,

o equivalentemente como

y_{t+n}=a_{1}y_{t+n-1}+\cdots +a_{n}y_{t}+b.

La ecuación se llama homogénea si $b = 0$ y no homogénea si $b \neq 0$ . Dado que el lapso de tiempo más largo entre iteraciones que aparecen en la ecuación es $n$ , esta es una ecuación de orden $n$ -ésima donde $n$ podría ser cualquier número entero positivo. Cuando el retraso más largo se especifica numéricamente para que $n$ no aparezca en forma de notación como el retraso de tiempo más largo, ocasionalmente se usa $n$ en lugar de $t$ para indexar iteraciones.

En el caso más general, los coeficientess $a i$ y $b$ podrían ser funciones de $t$ ; sin embargo, este artículo trata el caso más común, el de coeficientes constantes. Si los coeficientes $a i$ son polinomios en $t$ la ecuación se llama ecuación de recurrencia lineal con coeficientes polinomiales..

La solución de tal ecuación es una función de $t$ , a y no de ningún valor iterado, dando el valor del iterado en cualquier momento. Para encontrar la solución es necesario conocer los valores específicos (conocidos como condiciones inicialess) de $n$ de las iteraciones, y normalmente estas son las $n$ iteraciones que son más antiguas. Se dice que la ecuación o su variable es estable si a partir de cualquier conjunto de condiciones iniciales existe el límite de la variable a medida que el tiempo llega al infinito; este límite se llama estado estable.

Las ecuaciones en diferencias se utilizan en una variedad de contextos, como en la economía para modelar la evolución en el tiempo de variables como el producto interno bruto, la tasa de inflación, el tipo de cambio, etc. Se usan para modelar tales series de tiempo porque los valores de estas las variables solo se miden a intervalos discretos. En aplicaciones econométricas, las ecuaciones en diferencias lineales se modelan con [[Proceso estocástico |proceso estocástico]] en forma de modelos autorregresivos (AR) en modelos como los de autorregresión vectorial (VAR) y los modelos autorregresivo de media móvil (ARMA) que combinan AR con otras características.

Solución de caso homogéneo[editar]

Ecuación característica y raíces[editar]

Resolver la ecuación homogénea

x_{t}=a_{1}x_{t-1}+\cdots +a_{n}x_{t-n}

implica primero resolver su ecuación característica

\lambda ^{n}=a_{1}\lambda ^{n-1}+\cdots +a_{n-2}\lambda ^{2}+a_{n-1}\lambda +a_{n}

por sus raíces características $λ 1, ..., λ n$ . Estas raíces se pueden resolver algebraicamente si $n \leq 4$ , pero no necesariamente de otra manera. Si la solución se va a utilizar numéricamente, todas las raíces de esta ecuación característica se pueden encontrar mediante métodos numéricos. Sin embargo, para su uso en un contexto teórico, puede ser que la única información requerida sobre las raíces sea si alguna de ellas es mayor o igual a 1 en valor absoluto.

Puede ser que todas las raíces sean reales, en cambio, puede haber algunas que sean número complejos. En el último caso, todas las raíces complejas vienen en pares conjugados complejos.

Solución con raíces características distintas[editar]

Si todas las raíces características son distintas, la solución de la ecuación en diferencia lineal homogénea

x_{t}=a_{1}x_{t-1}+\cdots +a_{n}x_{t-n}

puede escribirse en términos de las raíces características como

x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{n}\lambda _{n}^{t}

donde los coeficientes $c i$ . Se puede encontrar invocando las condiciones iniciales. Específicamente, para cada período de tiempo para el que se conoce un valor iterativo, este valor y su valor correspondiente de $t$ puede sustituirse en la ecuación de solución para obtener una ecuación lineal en el $n$ parámetros aún desconocidos; $n$ Tales ecuaciones, una para cada condición inicial, pueden ser resuelto simultáneamente para el $n$ valores paramétricos. Si todas las raíces características son reales, entonces todos los valores de los coeficientes $c i$ también será real; pero con raíces complejas no reales, en general, algunos de estos coeficientes también serán no reales.

Conversión de una solución compleja a forma trigonométrica[editar]

Si hay raíces complejas, vienen en pares conjugados y también lo hacen los términos complejos en la ecuación de solución. Si dos de estos términos complejos son $c j λ t j$ and $c j +1 λ t j +1$ , the roots $λ j$ pueden ser escritos como

\lambda _{j},\lambda _{j+1}=\alpha \pm \beta i=M\left({\frac {\alpha }{M}}\pm {\frac {\beta }{M}}i\right)

donde $i$ es la unidad imaginaria y $M$ es el módulo de las raíces:

M={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}.

Entonces los dos términos complejos en la ecuación de solución se pueden escribir como

{\begin{aligned}c_{j}\lambda _{j}^{t}+c_{j+1}\lambda _{j+1}^{t}&=M^{t}\left(c_{j}\left({\frac {\alpha }{M}}+{\frac {\beta }{M}}i\right)^{t}+c_{j+1}\left({\frac {\alpha }{M}}-{\frac {\beta }{M}}i\right)^{t}\right)\\[6pt]&=M^{t}\left(c_{j}\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)^{t}+c_{j+1}\left(\cos \theta -i\sin \theta \right)^{t}\right)\\[6pt]&=M^{t}{\bigl (}c_{j}\left(\cos \theta t+i\sin \theta t\right)+c_{j+1}\left(\cos \theta t-i\sin \theta t\right){\bigr )}\end{aligned}}

donde $θ$ es el ángulo cuyo coseno es $α / M$ and whose sine is $β / M$ ; la última igualdad aquí hizo uso de la fórmula de De Moivre.

Ahora el proceso de encontrar los coeficientes $c j$ and $c j +1$ garantiza que también son conjugados complejos, que se pueden escribir como $γ \pm δi$ . Usar esto en la última ecuación da esta expresión para los dos términos complejos en la ecuación de solución:

2M^{t}\left(\gamma \cos \theta t-\delta \sin \theta t\right)

que también se puede escribir como

2{\sqrt {\gamma ^{2}+\delta ^{2}}}M^{t}\cos(\theta t+\psi )

donde $ψ$ es el ángulo cuyo coseno es $γ / \sqrt γ 2 + δ 2$ y cuyo seno es $δ / \sqrt γ 2 + δ 2$ .

Ciclicidad[editar]

Dependiendo de las condiciones iniciales, incluso con todas las raíces reales, las iteraciones pueden experimentar una tendencia transitoria a ir por encima y por debajo del valor del estado estacionario. Pero la verdadera ciclicidad implica una tendencia permanente a fluctuar, y esto ocurre si hay al menos un par de raíces características conjugadas complejas. Esto se puede ver en la forma trigonométrica de su contribución a la ecuación de solución, que involucra $cos θt$ y $sin θt$ .

Solución con raíces características duplicadas[editar]

En el caso de segundo orden, si las dos raíces son idénticas ( $λ 1 = λ 2$ ), Ambos pueden ser denotados como $λ$ y una solución puede ser de la forma

x_{t}=c_{1}\lambda ^{t}+c_{2}t\lambda ^{t}.

Conversión a forma homogénea[editar]

Si $b \neq 0$ , la ecuación

y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{n}y_{t-n}+b

se dice que es "no homogéneo". Para resolver esta ecuación es conveniente convertirla a forma homogénea, sin término constante. Esto se hace encontrando primero el valor de estado estacionario de la ecuación - un valor $y *$ tal que, si $n$ todas las iteraciones sucesivas tenían este valor, al igual que todos los valores futuros. Este valor se encuentra estableciendo todos los valores de $y$ igual a $y *$ en la ecuación en diferencias, y resolviendo, esta obteniendo

y^{*}={\frac {b}{1-a_{1}-\cdots -a_{n}}}

asumiendo que el denominador no es 0. Si es cero, el estado estable no existe.

Dado el estado estacionario, la ecuación en diferencias se puede reescribir en términos de desviaciones de los iterados del estado estacionario, como

\left(y_{t}-y^{*}\right)=a_{1}\left(y_{t-1}-y^{*}\right)+\cdots +a_{n}\left(y_{t-n}-y^{*}\right)

que no tiene un término constante, y que se puede escribir más sucintamente como

x_{t}=a_{1}x_{t-1}+\cdots +a_{n}x_{t-n}

donde $x$ es igual a $y - y *$ . Esta es la forma homogénea.

Si no hay un estado estable, la ecuación de diferencia

y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{n}y_{t-n}+b

se puede combinar con su forma equivalente

y_{t-1}=a_{1}y_{t-2}+\cdots +a_{n}y_{t-(n+1)}+b

obtener (resolviendo ambos para $b$ )

y_{t}-a_{1}y_{t-1}-\cdots -a_{n}y_{t-n}=y_{t-1}-a_{1}y_{t-2}-\cdots -a_{n}y_{t-(n+1)}

en el que los términos semejantes se pueden combinar para dar una ecuación homogénea de un orden superior a la original.

Estabilidad[editar]

En la ecuación de solución

x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{n}\lambda _{n}^{t},

un término con raíces características reales converge a 0 cuando $t$ crece indefinidamente si el valor absoluto de la raíz característica es menor que 1. Si el valor absoluto es igual a 1, el término permanecerá constante como $t$ crece si la raíz es +1 pero fluctuará entre dos valores si la raíz es -1. Si el valor absoluto de la raíz es mayor que 1, el término aumentará cada vez más con el tiempo. Un par de términos con raíces características conjugadas complejas convergerán a 0 con fluctuaciones amortiguadoras si el valor absoluto del módulo $M$ de las raíces es menor que 1; si el módulo es igual a 1, entonces persistirán las fluctuaciones de amplitud constantes en los términos combinados; y si el módulo es mayor que 1, los términos combinados mostrarán fluctuaciones de magnitud cada vez mayor.

Así, la variable evolutiva $x$ convergerá a 0 si todas las raíces características tienen una magnitud menor que 1.

Si la raíz más grande tiene valor absoluto 1, no ocurrirá ni convergencia a 0 ni divergencia a infinito. Si todas las raíces con magnitud 1 son reales y positivas, $x$ convergerá a la suma de sus términos constantes $c i$ ; a diferencia del caso estable, este valor convergente depende de las condiciones iniciales; diferentes puntos de partida conducen a diferentes puntos a largo plazo. Si cualquier raíz es -1, su término contribuirá a fluctuaciones permanentes entre dos valores. Si alguna de las raíces de magnitud unitaria es compleja, entonces las fluctuaciones de amplitud constante de $x$ persistirá.

Finalmente, si alguna raíz característica tiene una magnitud mayor que 1, entonces $x$ divergerá hasta el infinito a medida que el tiempo se acerca al infinito, o fluctuará entre valores positivos y negativos cada vez mayores.

Un teorema de Issai Schur establece que todas las raíces tienen una magnitud menor que 1 (el caso estable) si y solo si una cadena particular de determinantes son todos positivos.^[2]^: 247

Si una ecuación de diferencia lineal no homogénea se ha convertido a una forma homogénea que se ha analizado como se indicó anteriormente, entonces las propiedades de estabilidad y ciclicidad de la ecuación no homogénea original serán las mismas que las de la forma homogénea derivada, con convergencia en el caso estable al valor de estado estacionario $y *$ en lugar de 0.

Solución por conversión a forma matricial[editar]

Un método de solución alternativo implica convertir a ecuación en diferencias de $n$ -ésimo en una ecuación en diferencias matriciales de primer orden. Esto se logra escribiendo $w 1, t = y t$ , $w 2, t = y t -1 = w 1, t -1$ , $w 3, t = y t -2 = w 2, t -1$ , ay así. Entonces la ecuación original de $n$ -ésimo orden.

y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{n}y_{t-n}+b

puede ser reemplazado por lo siguiente $n$ ecuaciones de primer orden:

{\begin{aligned}w_{1,t}&=a_{1}w_{1,t-1}+a_{2}w_{2,t-1}+\cdots +a_{n}w_{n,t-1}+b\\w_{2,t}&=w_{1,t-1}\\&\,\,\,\vdots \\w_{n,t}&=w_{n-1,t-1}.\end{aligned}}

Definiendo el vector $w i$ as

\mathbf {w} _{i}={\begin{bmatrix}w_{1,i}\\w_{2,i}\\\vdots \\w_{n,i}\end{bmatrix}}

esto se puede poner en forma de matriz como

\mathbf {w} _{t}=\mathbf {A} \mathbf {w} _{t-1}+\mathbf {b}

Aquí $A$ es una $n \times n$ matriz en la que la primera fila contiene $a 1, ..., a n$ y todas las demás filas tienen un solo 1 con todos los demás elementos siendo 0, y $b$ es un vector de columna con el primer elemento $b$ y siendo 0 el resto de sus elementos.

Mirar también[editar]

References[editar]

↑ Chiang, Alpha (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (Third edición). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-010813-7. (requiere registro).
↑ ^a ^b Baumol, William (1970). Economic Dynamics (Third edición). New York: Macmillan. ISBN 0-02-306660-1. (requiere registro).

[1] Church, Alonzo (1956). Introducción a la lógica matemática. Princeton University Press.

[2] Church, Alonzo (1948). «Disyunción condicionada como conectivo primitivo para el cálculo proposicional». Portugaliae Mathematica, vol. 7, pp. 87-90.

[3] Wesselkamper, T., "A sole sufficient operator", Notre Dame Journal of Formal Logic, Vol. XVI, No. 1 (1975), pp. 86-88.

[4] Aebi, Christian; Cairns, Grant (May 2015). «Generalizations of Wilson's Theorem for Double-, Hyper-, Sub- and Superfactorials». The American Mathematical Monthly 122 (5): 433-443. JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.122.5.433. doi:10.4169/amer.math.monthly.122.5.433.

[5] Clement, P. A. (1949). «Congruences for sets of primes». Amer. Math. Monthly 56 (1): 23-25. JSTOR 2305816. doi:10.2307/2305816.

[6] C. Lin and L. Zhipeng (2005). «On Wilson's theorem and Polignac conjecture». Math. Medley 6. Bibcode:2004math......8018C. arXiv:math/0408018.

[7] Schmidt, M. D. (2017). New Congruences and Finite Difference Equations for Generalized Factorial Functions. Bibcode:2017arXiv170104741S. arXiv:1701.04741.

[FOOTNOTEPetersen201525-8] Petersen, 2015, p. 25.

[Chiang-9] Chiang, Alpha (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (Third edición). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-010813-7. (requiere registro).

[Baumol-10] Baumol, William (1970). Economic Dynamics (Third edición). New York: Macmillan. ISBN 0-02-306660-1. (requiere registro).

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