Número transfinito

En teoría de conjuntos, número transfinito es el término original que el matemático alemán Georg Cantor introdujo para referirse a los ordinales infinitos, esto es, mayor que cualquier número natural o finito, para diferenciarlos del infinito actual o absoluto. En la terminología moderna, al referirse a ordinales o cardinales, "transfinito" e "infinito" son sinónimos.

Primeros números transfinitos

Al igual que con los números naturales, puede pensarse en los números transfinitos como cardinales u ordinales:

• ω (omega): es el menor ordinal transfinito. Sus elementos son los números naturales, tal y como son construidos en teoría de conjuntos, y representa el tipo de orden de estos.
• ℵ₀, alef-0: es el primer número alef, y el primer cardinal transfinito (asumiendo el axioma de elección). Es conjuntísticamente idéntico a ω, pero se utilizan notaciones diferentes para resaltar el aspecto ordinal o cardinal de los conjuntos numerables.
• ℵ₁, alef-1: es el segundo número alef, y el cardinal siguiente a ℵ₀ (asumiendo el axioma de elección).
• c=2^ℵ₀: es el cardinal del continuo, el número cardinal de los puntos de una recta o de los números reales.

Asumiendo el axioma de elección, todo lo que puede demostrarse con los axiomas de Zermelo-Fraenkel es:

$\aleph_0 < \aleph_1 \le c$

La hipótesis del continuo afirma que de hecho $c = \aleph_1$. Sin embargo, el trabajo de Gödel y Paul Cohen demuestra que la hipótesis es independiente de dichos axiomas: no puede ser refutada o demostrada a partir de ellos.

Véase también

• Alef-0, Alef-1, Alef-2
• Infinitesimal
• Infinito

Referencias

• Ivorra, Carlos, Lógica y teoría de conjuntos, http://www.uv.es/ivorra/Libros/Logica.pdf, consultado el 22-04-2011 .
• Suppes, Patrick (1960) (en inglés). Axiomatic Set Theory. D. Van Nostrand Company. LCCN 60010291. 
• Este artículo fue creado a partir de la traducción del artículo Transfinite number de la Wikipedia en inglés, bajo licencia Creative Commons Atribución Compartir Igual 3.0 y GFDL.