Alef uno

En matemáticas, se define $\aleph_1$ (primera letra del alfabeto hebreo llamada alef) como el menor cardinal mayor que $\aleph_0$, es decir, el menor cardinal mayor que el cardinal del conjunto de los números naturales, $\mathbb{N}$.

Relación con $\aleph_0$

El teorema de Cantor afirma que el cardinal de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ es mayor que $\aleph_0$, donde $\mbox{card}(\mathcal{P}(\mathbb{N}))=\mbox{card}(\mathbb{R})$ es el conjunto potencia de los números naturales, que es exactamente el mismo que el cardinal de los números reales. Así pues,

$\aleph_0<\mbox{card}(\mathbb{R}),$

lo que, considerando que $\mbox{card}(\mathbb{R})=2^{\aleph_0}$, puede escribirse también así:

$\aleph_0<2^{\aleph_0}$

En la teoría ZFC, el axioma de elección permite probar que

$\aleph_1\leq 2^{\aleph_0},$

mientras que la hipótesis del continuo, algo que no puede ser demostrado ni infirmado en ZFC, afirma que

$\aleph_1=2^{\aleph_0}$,

es decir, que el cardinal de los números reales es exactamente $\aleph_1$.

Más allá de $\aleph_1$

El teorema de Cantor sobre el conjunto potencia afirma que para cualquier conjunto A se cumple que:

$\mbox{card}(A) < \mbox{card}(\mathcal{P}(A))$

Lo cual abre la posibilidad a que existan cardinales transfinitos mayores que $\aleph_1$. La hipótesis del continuo generalizada de hecho permite ordenar los cardinales transfinitos de manera sencilla ya que en esencia afirma que:

$\forall n\ge 0:(\mbox{card}(A) = \aleph_n \rightarrow \mbox{card}(\mathcal{P}(A)) = \aleph_{n+1})$

Véase también

• Teoría de conjuntos
• Alef-0
• Primer ordinal no numerable
• Hipótesis del continuo
• Infinito
• Georg Cantor
• Bertrand Russell