Paul Cohen

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Paul Joseph Cohen (2 de abril de 193423 de marzo de 2007[1] ) fue un matemático estadounidense.

Sus primeros años[editar]

Paul Cohen nació en Long Branch, Nueva Jersey en el seno de una familia judía. Se graduó en 1950 en la Stuyvesant High School de Nueva York.

Posteriormente estudió en el Brooklyn College de 1950 a 1953, que dejó antes de terminar para trasladarse a la Universidad de Chicago. En ella obtuvo el Master en 1954, y el título de Doctor en 1958 bajo la dirección de Antoni Zygmund con su tesis Topics in the Theory of Uniqueness of Trigonometric Series.

En 1957, antes de la concesión de su doctorado, Cohen fue designado instructor en la Universidad de Rochester por un año. En 1958 estuvo en el Instituto Tecnológico de Massachusetts, de 1959 a 1961 se fue al Instituto de Estudios Avanzados de la Universidad de Princeton. En 1961 designaron a Cohen a la facultad en la Universidad de Stanford, siendo promovido a profesor titular allí en 1964. En 1966 le concedieron a Cohen la medalla Fields en el congreso internacional de matemáticos en Moscú para su trabajo fundamental sobre las fundaciones de la teoría determinada.

Su trabajo[editar]

Cohen fue reconocido por inventar una técnica matemática llamada forcing y usarla para demostrar en 1963 que ni la hipótesis del continuo (HC) ni el axioma de elección (AC) pueden probarse a partir de los axiomas estándar en teoría de conjuntos, los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF). Unido al trabajo previo de Gödel el resultado obtenido por Cohen demostraba que ambas afirmaciones eran independientes de ZF. Es decir, estos dos axiomas HC y AC no pueden ser ni probados ni refutados a partir de los axiomas ZF. En este sentido HC se dice indecidible y es probablemente el ejemplo más famoso de una afirmación natural independiente de los axiomas convencionales de la teoría de conjuntos. El problema de la hipótesis del continuo era el primer problema de los 23 famosos problemas de Hilbert presentados en el segundo congreso internacional de matemáticos en París en 1900. En su famosa presentación Hilbert desafió a matemáticos a solucionar estos problemas fundamentales, y Cohen tiene la distinción de solucionar el problema 1.

Este trabajo sobre la HC le valió a Cohen la medalla Fields en 1966 y la National Medal of Science en 1967. Igualmente fue premiado con el Premio Bôcher en 1964 por su artículo titulado "On a conjecture of Littlewood and idempotent measures". Además de su trabajo sobre teoría determinada, Cohen ha trabajado en ecuaciones diferenciales y análisis armónico.

Entró a formar parte del claustro de la Universidad de Stanford en 1961, donde consiguió plaza de profesor en 1964, dirigiendo allí el trabajo de Peter Sarnak, entre otros.


Sobre la hipótesis del continuo[editar]

Mientras estudiaba este problema, se dice que Cohen dijo que

tenía la sensación de que la gente pensó que el problema como intratable porque no había ninguna manera nueva de construir modelos de la teoría de conjuntos [...] pensaban que tenías que estar ligeramente chalado incluso para ponerte a pensar en el problema[2]

En su libro donde resume el resultado de su trabajo sobre la HC Cohen llegaría a decir:

"A point of view which the author [Cohen] feels may eventually come to be accepted is that CH is obviously false. The main reason one accepts the axiom of infinity is probably that we feel it absurd to think that the process of adding only one set at a time can exhaust the entire universe. Similarly with the higher axioms of infinity. Now \aleph_1 is the cardinality of the set of countable ordinals and this is merely a special and the simplest way of generating a higher cardinal. The set C [the continuum] is, in contrast, generated by a totally new and more powerful principle, namely the power set axiom. It is unreasonable to expect that any description of a larger cardinal which attempts to build up that cardinal from ideas deriving from the replacement axiom can ever reach C. Thus C is greater than \aleph_n, \aleph_\omega, \aleph_a, where a = \aleph_\omega, etc. This point of view regards C as an incredibly rich set given to us by one bold new axiom, which can never be approached by any piecemeal process of construction. Perhaps later generations will see the problem more clearly and express themselves more eloquently."[3]

Tras este trabajo, el forzamiento de estructuras (forcing) resultó ser un "resultado duradero y potente" del trabajo de Cohen sobre la hipótesis, y usado por "incontables matemáticos"[2] para construir modelos matemáticos y poner a prueba ciertas hipótesis sobre ellos.

Referencias[editar]

  1. Comunicación del fallecimiento por parte de la American Mathematical Society [1].
  2. a b New York Times obituary, [2]
  3. Cohen, P. Set Theory and the Continuum Hypothesis p.151.

Enlaces externos[editar]