Paul Cohen

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Paul Joseph Cohen (2 de abril de 193423 de marzo de 2007[1] ) fue un matemático estadounidense.

Biografía[editar]

Primeros años[editar]

Paul Joseph Cohen nació el 2 de abril de 1934, en Long Branch (Nueva Jersey). Sus padres eran inmigrantes judíos venidos de Polonia, se ganaban la vida duramente, su madre era costurera y su padre traía dinero a casa como podía, arreglando muebles, recados, todo lo que se le presentaba. Paul, era el más pequeño de los cuatro hermanos y fue criado en Brooklyn (Nueva York). Fue educado por su madre, cuando a sus nueve años, los padres se separaron. Desde su niñez le entusiasmaron las matemáticas, así que empezó a estudiar matemáticas avanzadas a una temprana edad. De hecho, su hermana tenía que coger los libros de la biblioteca, porque los bibliotecarios se negaban a dárselo asegurando que incluso algunos profesores de matemáticas no entendían esos cálculos.

En su adolescencia fue declarado como un prodigio de las matemáticas, todo el mundo quedaba impresionado por su habilidad al participar en concursos de matemáticas. Asistió al “Stuyvesant High School”, en Nueva York, graduándose en el 1950 a la temprana edad de 16 años. Fue estudiante del “Brooklyn College” desde 1950 hasta 1953, pero sin conseguir su grado ya que le habían aceptado en la Universidad de Chicago después de haber ido a rediscutir sobre sus opciones de entrar. Así que se sacó el máster en Chicago, tomando cursos para encajar su investigación de la teoría de los números y así guiarse. Su conocimiento sobre la teoría de los números antes de que llegase a Chicago trataba de unos libros clásicos que había leído por su cuenta en el colegio. Empezó a trabajar en ella siendo supervisado por André Weil. Consiguió el máster en 1954, pero empezó a estar más interesado en el hecho de que ciertos resultados en la teoría eran más indecibles que la teoría en sí, aun así, este es un hecho que le ha marcado durante toda su carrera. En la facultad tenía como costumbre preguntarle a sus compañeros cuáles eran los problemas más difíciles de resolver en su campo, ya que esos eran los problemas que él quería resolver.

Continuó estudiando en Chicago para su doctorado bajo la supervisión de Antoni Zygmund. Obtuvo el doctorado en 1958 por su tesis doctoral de Topics in the Theory of Uniqueness of Trigonometric Series. En sus años de estudiante hizo varias amistades importantes. John Thompson fue uno de ellos, por su relación, comenzó a tener interés en la lógica. Ellos dos, y otros amigos más trataban bastante ese tema, incluso Cohen se quedó una temporada en la casa de Tennenbaum.

En 1957, antes de la concesión de su doctorado, Cohen fue nombrado instructor en la Universidad de Rochester por un año. En 1958 estuvo en el Instituto Tecnológico de Massachusetts, de 1959 a 1961 se fue al Instituto de Estudios Avanzados de la Universidad de Princeton. En 1961 designaron a Cohen a la facultad en la Universidad de Stanford, siendo promovido a profesor titular allí en 1964. En 1966 le concedieron a Cohen la medalla Fields en el congreso internacional de matemáticos en Moscú para su trabajo fundamental sobre las fundaciones de la teoría determinada. Estos fueron los años en los que hizo un significante número de avances matemáticos.

Trabajos profesionales[editar]

En “Factorization in group algebras” (1959), demostró que cualquier función integrable en un grupo localmente compacto es la convolución de dos de estas funciones, resolviendo un problema puesto por Walter Rudin. En “On a conjecture of Littlewood and idempotent measures” (1960), Cohen hizo un gran descubrimiento resolviendo “Littlewood Conjecture”. Antes de eso, él ya le había escrito a Harold Davenport sobre el resultado.

En 1961, Cohen, fue aceptado en la “Stanford University” como ayudante del profesor de matemáticas. Fue ascendido a profesor asociado a matemáticas en el año siguiente y, también, en 1962, fue galardonado con una beca de investigación Alfred P Sloan. En agosto de 1962, participó en el “International Congress of Mathematicians”, en Estocolmo. Fue invitado a hablar sobre “Idempotent measures and homomorphisms of group algebras”. En un crucero de Estocolmo a Leningrad, conoció a Christina Karls, venía de Malung, en Suecia. Se casaron el 10 de octubre de 1963 y tuvieron tres hijos, los gemelos Eric y Steven y Charles.

Fue ascendido a profesor completo en la “Stanford University”, en el año 1964, resolviendo, al mismo tiempo uno de los problemas más desafiantes en las matemáticas, para ello, usó una técnica llamada “forcing”, para probar la independencia en el conjunto de teorías de elección de axioma y la generalizada “continuum hypothesis”. Cohen, explicó que la idea del “forcing” le vino leyendo un libro de Kurt Gödel, en concreto “The Consistency of the Continuum Hypothesis”, un libro basado en notas tomadas en un curso dado en el “Institute for Advanced Study” en 1938-1939. La “continuum hypothesis problema”, fue el primero de los 23 famosos problemas de David Hilbert expuesto en el “Second International Congress of Mathematicians” en Paris, en 1900.

Empezó a trabajar en la independencia de “continuum hypothesis” a partir del año 1962. En 1966, publicó la monografía “Set theory and the continuum hypothesis”, basado en un curso que recibió en Harvard en la primavera de 1965. En el mismo año, fue galardonado con “Fields Medal” por su fundamental trabajo en sus teorías. Lo recibió del Presidente Lyndon B Johnson, en la Casa Blanca el 13 de febrero de 1968. Además, fue elegido por “National Academy of Sciences” y “the American Academy of Arts and Sciences” como miembro honorario de “London Mathematical Society”.

Para completar su conjunto de teorías trabajó en “differential equation and harmonic analysis”. Paul Joseph Cohen fue nombrado “Marjorie Mhoon Fair Professor in Quantitative Science” en Standford, en 1972, siendo el primero portador de este puesto. Se retiró formalmente en 2004, pero continuó dando clases en Stanford hasta una fecha cercana a su fallecimiento. Murió por una extraña enfermedad pulmonar, en “Stanford Hospital”, en Pablo Alto.

A parte de las matemáticas, Cohen también tuvo un gran interés en la música. Tocó en piano y el violín y cantó en el coro de Stanford.

Su trabajo[editar]

Cohen fue reconocido por inventar una técnica matemática llamada forcing y usarla para demostrar en 1963 que ni la hipótesis del continuo (HC) ni el axioma de elección (AC) pueden probarse a partir de los axiomas estándar en teoría de conjuntos, los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF). Unido al trabajo previo de Gödel el resultado obtenido por Cohen demostraba que ambas afirmaciones eran independientes de ZF. Es decir, estos dos axiomas HC y AC no pueden ser ni probados ni refutados a partir de los axiomas ZF. En este sentido HC se dice indecidible y es probablemente el ejemplo más famoso de una afirmación natural independiente de los axiomas convencionales de la teoría de conjuntos. El problema de la hipótesis del continuo era el primer problema de los 23 famosos problemas de Hilbert presentados en el segundo congreso internacional de matemáticos en París en 1900. En su famosa presentación Hilbert desafió a matemáticos a solucionar estos problemas fundamentales, y Cohen tiene la distinción de solucionar el problema 1.

Este trabajo sobre la HC le valió a Cohen la medalla Fields en 1966 y la National Medal of Science en 1967. Igualmente fue premiado con el Premio Bôcher en 1964 por su artículo titulado "On a conjecture of Littlewood and idempotent measures". Además de su trabajo sobre teoría determinada, Cohen ha trabajado en ecuaciones diferenciales y análisis armónico.

Entró a formar parte del claustro de la Universidad de Stanford en 1961, donde consiguió plaza de profesor en 1964, dirigiendo allí el trabajo de Peter Sarnak, entre otros.


Sobre la hipótesis del continuo[editar]

Mientras estudiaba este problema, se dice que Cohen dijo que

tenía la sensación de que la gente pensó que el problema como intratable porque no había ninguna manera nueva de construir modelos de la teoría de conjuntos [...] pensaban que tenías que estar ligeramente chalado incluso para ponerte a pensar en el problema[2]

En su libro donde resume el resultado de su trabajo sobre la HC Cohen llegaría a decir:

"A point of view which the author [Cohen] feels may eventually come to be accepted is that CH is obviously false. The main reason one accepts the axiom of infinity is probably that we feel it absurd to think that the process of adding only one set at a time can exhaust the entire universe. Similarly with the higher axioms of infinity. Now \aleph_1 is the cardinality of the set of countable ordinals and this is merely a special and the simplest way of generating a higher cardinal. The set C [the continuum] is, in contrast, generated by a totally new and more powerful principle, namely the power set axiom. It is unreasonable to expect that any description of a larger cardinal which attempts to build up that cardinal from ideas deriving from the replacement axiom can ever reach C. Thus C is greater than \aleph_n, \aleph_\omega, \aleph_a, where a = \aleph_\omega, etc. This point of view regards C as an incredibly rich set given to us by one bold new axiom, which can never be approached by any piecemeal process of construction. Perhaps later generations will see the problem more clearly and express themselves more eloquently."[3]

Tras este trabajo, el forzamiento de estructuras (forcing) resultó ser un "resultado duradero y potente" del trabajo de Cohen sobre la hipótesis, y usado por "incontables matemáticos"[2] para construir modelos matemáticos y poner a prueba ciertas hipótesis sobre ellos.

Referencias[editar]

  1. Comunicación del fallecimiento por parte de la American Mathematical Society [1].
  2. a b New York Times obituary, [2]
  3. Cohen, P. Set Theory and the Continuum Hypothesis p.151.

Bibliografía[editar]

Enlaces externos[editar]