Axioma del infinito

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En teoría de conjuntos, el axioma del infinito es un axioma que garantiza la existencia de un conjunto con un número infinito de elementos.

Enunciado[editar]

El axioma del infinito asegura la existencia de un conjunto infinito en el sentido de Dedekind: un conjunto que puede ponerse en correspondencia biyectiva con un subconjunto propio de sí mismo. El enunciado más habitual se basa en propiedad equivalente del conjunto inductivo:

Axioma del infinito

\exist A: \varnothing\in A\wedge \forall x\in A,\,x\cup\{x\}\in A

Es decir, se postula la existencia de un conjunto inductivo, es decir, que contiene al conjunto vacío, y al «sucesor» x {x} de cada uno de sus elementos x. De este modo se asegura la existencia de un conjunto que contiene a los números naturales en la construcción conjuntista habitual:

\mathbb N = \bigcap \{Y:Y\text{ es inductivo }\} = \{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing, \{\varnothing\}\},\ldots\}

Independencia[editar]

El axioma del infinito (AI) no puede demostrarse a partir del resto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel (ZF), si estos son consistentes —denotados en conjunto como ZF−AI—.[1] Puede probarse que todos ellos son ciertos al restringirse a un «universo» de conjuntos finitos escogidos con cuidado (los conjuntos hereditariamente finitos). Es decir, los axiomas de ZF —incluyendo AI— demuestran la existencia de un modelo para ZF−AI+¬AI —ZF sustituyendo AI por su negación—. Por lo tanto, una demostración de AI a partir de ZF−AI daría lugar a una demostración de la consistencia de ZF−AI, en contradicción con el segundo teorema de incompletitud de Gödel. La situación es idéntica en la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel.

Referencias[editar]

  1. El razonamiento no necesita del axioma de elección, y la conclusión lo incluye: en el modelo de los conjuntos hereditariamente finitos, se cumple dicho axioma.