Hipótesis del continuo

En teoría de conjuntos, la hipótesis del continuo (abreviada HC) es una hipótesis, debida a Georg Cantor, sobre la cardinalidad del conjunto de los números reales (denominado continuo por la recta real). Cantor introdujo el concepto de número cardinal para comparar el tamaño de conjuntos infinitos, demostrando en 1874 que el cardinal del conjunto de los enteros positivos es estrictamente menor al de los números reales. Lo siguiente a preguntarse es si existen conjuntos cuyo cardinal esté incluido estrictamente entre el de ambos conjuntos. La hipótesis del continuo viene a decir:

No existen conjuntos cuyo tamaño esté comprendido estrictamente entre el de los enteros y el de los números reales.

Matemáticamente hablando, si el cardinal de los enteros es $\aleph_0$ (aleph cero) y el cardinal de los números reales es $2^{\aleph_0}$, la hipótesis del continuo afirma que:

$\nexists A : \aleph_0 < |A| < 2^{\aleph_0}$

donde |A| indica el cardinal de A.

Admitiendo el axioma de elección, existe un número cardinal $\aleph_1$ (aleph uno), el inmediato superior a $\aleph_0$, siendo la hipótesis del continuo equivalente a la igualdad

$2^{\aleph_0} = \aleph_1.$

La HC como axioma independiente

Cantor trató en vano demostrar la hipótesis del continuo. La demostración de ésta constituyó el primero de los célebres 23 problemas de Hilbert propuestos por David Hilbert en su famosa conferencia en París, durante el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900.

No fue hasta 1963 que se consiguió demostrar que la hipótesis del continuo es un problema indecidible en el sistema axiomático ZFC (Zermelo-Fraenkel con Axioma de elección). Esto se demostró complementando ZFC por una parte con la hipótesis del continuo (Kurt Gödel, 1938) y por otra parte con su contrario (Paul Cohen, 1963), obteniendo sistemas axiomáticos consistentes en ambos casos.

La prueba de Gödel implica que puede construirse una teoría de conjuntos consistente donde la HC sea una afirmación cierta. Por otro lado, la prueba de Paul Cohen implica que puede construirse otra teoría de conjuntos donde HC sea una afirmación falsa. La situación es análoga a lo que sucede en geometría, donde pueden construirse geometrías euclídeas donde el postulado V de Euclides es cierto y geometrías no euclídeas donde dicho postulado se reemplaza por otro, referido a cantidad de rectas paralelas.

Premisas del problema

• El cardinal entendido como el número de elementos de un conjunto también existe para conjuntos infinitos.
• El conjunto de los naturales $\mathbb{N}$, tiene el mismo número de elementos que el conjunto de los números pares $\mathbb{P}$.
• Lo anterior se prueba con una correspondencia biyectiva entre los conjuntos $\mathbb{N}$ y $\mathbb{P}$, pues a cada elemento del conjunto de los naturales le corresponde un elemento del conjunto de los pares.

Naturales	Pares
1	2
2	4
3	6
4	8
...	...

• El cardinal de los números pares se designó por Cantor como: Card($\mathbb{P}$)= $\aleph_0$.
• Ya que entre dos números naturales como el 1 y el 2 no hay otro número natural, pero si infinitos reales, el cardinal de $\mathbb{R}$ debe ser mayor al de $\mathbb{N}$.
• Siendo el cardinal de $\mathbb{R}$ denominado el continuo: Card($\mathbb{R}$)=C
• Sabiendo que: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ ,cabe preguntarse si el cardinal de $\mathbb{Z}$ o de $\mathbb{Q}$ es intermedio entre los de $\mathbb{R}$ o $\mathbb{N}$.

Hipótesis del continuo generalizada

El teorema de Cantor sobre el conjunto potencia afirma que para cualquier conjunto A se cumple que:

$\mbox{card}(A) < \mbox{card}(\mathcal{P}(A))$ ,

lo cual demuestra que existen cardinales transfinitos arbitrariamente grandes. La hipótesis del continuo generalizada puede formularse entonces como:

HCG Si un conjunto A tiene un cardinal dado por $\aleph_\alpha$ entonces el conjunto potencia de A tiene un cardinal dado por $\aleph_{\alpha+1}$: $\forall \alpha\in\Omega\,,\ \mbox{card}(A) = \aleph_\alpha \rightarrow \mbox{card}(\mathcal{P}(A)) = \aleph_{\alpha+1}$

La hipótesis del continuo generalizada no es sólo independiente en la axiomática usual en teoría de conjuntos sino que se demuestra:

La hipótesis del continuo generalizada implica el axioma de elección

Véase también

• Teorema de Cantor