Alef dos

En matemáticas, se llama alef dos o $\aleph_2$ al cardinal transfinito del conjunto potencia de los números reales, y por tanto podría adoptarse como definición también $\aleph_2 = 2^{\aleph_1}$, por tanto, la cantidad de posibles subconjuntos de números reales es $\aleph_2$.

Ejemplos de conjuntos

Si se acepta como axioma la hipótesis del continuo generalizada puede probarse que $\aleph_2$ también es el cardinal del conjunto de todas las funciones reales ya que ${\aleph_1}^{\aleph_1} = 2^{\aleph_1} = \aleph_2$, mientras que las funciones continuas tienen un cardinal $\aleph_1$ ya que ${\aleph_1}^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0} = \aleph_1 < \aleph_2$ (esto último se debe a que una función continua queda determinada si se especifica su valor sobre los números racionales que son numerables y por tanto tienen $\aleph_0$ como cardinal).

• El conjunto de todas las funciones reales tiene cardinal $\aleph_2 = \aleph_1^{\aleph_1}$, sin embargo, el conjunto de las funciones continuas tiene cardinal $\aleph_1 = \aleph_1^{\aleph_0}$, ya que una función continua queda especificada si se conoce su valor sobre los números racionales, que son un conjunto numerable.
• El conjunto de partes de cualquier espacio vectorial real o complejo tiene también cardinal $\aleph_2$.

Véase también

• Infinito y Números transfinitos
• Teoría de conjuntos
• Georg Cantor y Bertrand Russell