Tangente (trigonometría)

Representación en un círculo unitario el seno, coseno y la tangente de un ángulo.

En trigonometría la tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el adyacente:

$\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$

O también como la relación entre el seno y el coseno:

$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha) }{\cos(\alpha) } \,$

Representación gráfica

Identidades

Tangente de la suma de dos ángulos

Esta identidad trigonométrica parte de la identidad de la suma de dos ángulos ya conocida para el seno y el coseno.

• Dados los ángulos $\phi,\theta\$:

$\tan\left(\phi+\theta\right) = \cfrac{\sin(\phi+\theta)}{\cos(\phi+\theta)}$

• Reemplazando por las identidades antes mencionadas:

$\tan\left(\phi+\theta\right) = \cfrac{ \sin \phi \cos \theta + \cos \phi \sin \theta }{ \cos \phi \cos \theta - \sin \phi \sin \theta }$

• Dividiendo al numerador y al denominador por $\cos\phi\cos\theta\,$:

$\tan \left( \phi + \theta \right) = \cfrac{ \cfrac{ \sin \phi \cos \theta + \cos \phi \sin \theta }{ \cos \phi \cos \theta } }{ \cfrac{ \cos\phi\cos\theta-\sin\phi\sin\theta }{ \cos\phi\cos\theta } }$

• Separando la suma y la resta:

$\tan \left( \phi + \theta \right) = \cfrac{ \cfrac{ \sin\phi\cos\theta }{ \cos\phi\cos\theta } + \cfrac{ \cos\phi\sin\theta }{ \cos\phi\cos\theta } }{ \cfrac{ \cos\phi\cos\theta }{ \cos\phi\cos\theta } - \cfrac{ \sin\phi\sin\theta }{ \cos\phi\cos\theta } }$

• Simplificando cada fracción:

$\tan \left( \phi + \theta \right) = \cfrac{ \cfrac{ \sin \phi }{ \cos \phi } + \cfrac{ \sin \theta }{ \cos \theta } }{ 1 - \cfrac{ \sin \phi \sin \theta }{ \cos \phi \cos \theta } }$

• Reemplazando las fracciones de seno y coseno por tangente, se obtiene:

$\tan \left( \phi + \theta \right) = \cfrac{ \tan \phi + \tan \theta }{ 1 - \tan \phi \tan \theta }$

Tangente de la diferencia de dos ángulos

• $\tan \left( \phi + (- \theta) \right) = \frac{ \tan \phi + \tan (-\theta) }{ 1 - \tan \phi \tan (-\theta) }$

• Al ser una función impar, se obtiene:

$\tan \left( \phi - \theta \right) = \frac{ \tan \phi - \tan \theta }{ 1 + \tan \phi \tan \theta }$

Forma resumida

$\tan\left(\phi\pm\theta\right)=\frac{\tan\phi\pm\tan\theta}{1\mp\tan\phi\tan\theta}$

Tangente de un ángulo doble

• $\tan \left( \phi + \theta \right) = \frac{ \tan \phi + \tan \theta }{ 1 - \tan \phi \tan \theta }$

• Haciendo $\phi=\theta\,$ entonces:

$\tan \left( 2 \phi \right) = \frac{ 2 \tan \phi }{ 1 - \tan^2 \phi }$

Véase también

• Cotangente
• Arcotangente
• Trigonometría
• Función impar

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Tangente» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.