Función gamma

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Función Gamma

En matemática, la función gamma es una función que extiende el concepto de factorial a los números complejos. La notación fue ideada por Adrien-Marie Legendre. Si la parte real del número complejo z es positivo, entonces la integral

$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$

converge absolutamente.

Tabla de contenidos

1 Propiedades
2 Aplicaciones de la función gamma
- 2.1 Cálculo fraccionario
3 Véase también
4 Enlaces externos

[editar] Propiedades

Mediante la integración por partes, se puede mostrar que

$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)\,.$

Como Γ(1) = 1, esta relación implica que

$\Gamma(n+1) = n!\,$

para todo número natural n.

También de la misma relación se sigue que

$\lim_{z\to 0^+}\Gamma(z)=\lim_{z\to 0^+}\frac{\Gamma(z+1)}{z}=\infty$ .

A través de la relación

$\Gamma(1-z)\Gamma(z)=\frac{\pi}{\sin\pi z}$ ,

válida para todo $z\notin\mathbb{Z}$ , se puede hacer una extensión analítica de $Γ(z)$ a todo el plano complejo. Una conscuencia de esta relación, es el valor más conocido, para un número no entero, de la función gamma que es:

$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$

La siguiente forma de definir la función gamma es válida para todos los número complejos excepto para los enteros no positivos:

$\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}$

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni .

Una forma alternativa de definir la función gamma es:

$\Gamma(z) = \lim_{n \rightarrow \infty } n! n^z\prod^{n}_{k=0}\frac{1}{z+k}$

El desarrollo en Serie de Laurent de $Γ(z)$ para valores 0 < z < 1 es:

$\Gamma(z) \approx \frac{1}{z} -\gamma + \left[\frac{\gamma^2}{2!}+ \frac{\zeta(2)}{2} \right]x+ \left[\frac{\gamma^3}{3!}+ \frac{\zeta(2)}{2}\gamma+ \frac{\zeta(3)}{3} \right]x^2+ \dots$

Donde $ζ(n)$ es la función zeta de Riemann.

[editar] Aplicaciones de la función gamma

[editar] Cálculo fraccionario

La n-ésima derivada de $a x b$ (donde n es un número natural) se puede ver de la siguiente manera:

$\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(ax^{b}\right)=\left(b-n+1\right)\cdots\left(b-2\right)\left(b-1\right)bax^{b-n}=\frac{b!}{\left(b-n\right)!}ax^{b-n}$

como $n! = Γ(n + 1)$ entonces $\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(ax^{b}\right)=\frac{\Gamma\left(b+1\right)}{\Gamma\left(b-n+1\right)}ax^{b-n}$ donde n puede ser cualquier número donde gamma esté definido o se pueda definir mediante límites.

De esta manera se puede calcular por ejemplo, la 1/2 derivada de $x$ , de $x 2$ e inclusive de una constante $c = c x 0$ :

$\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}\left(x\right)=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{\pi}}$

$\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}\left(x^{2}\right)=\frac{8\sqrt{x^{3}}}{3\sqrt{\pi}}$

$\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}\left(c\right)=\frac{c}{\sqrt{\pi}\sqrt{x}}$

[editar] Véase también

[editar] Enlaces externos

Ejemplos de problemas que involucran a la Función Gamma en Exampleproblems.com (en inglés)
Calculadora de la función Gamma (en inglés)

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[editar] Véase también

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