Exponencial de una matriz

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La exponencial de matrices es una función definida sobre las matrices cuadradas, parecida a la función exponencial.

Sea \scriptstyle X una matriz nxn de números reales o complejos, la exponencial de \scriptstyle X denotada por \scriptstyle e^X o \scriptstyle \exp(X) es la matriz \scriptstyle n\times n dada por la serie de potencias:

e^X = \sum_{k=0}^\infty \frac{X^k}{k!}.

Esta serie converge para toda matriz \scriptstyle X. Obsérvese que si la matriz \scriptstyle X es una matriz 1x1 la exponencial de \scriptstyle X corresponde con la exponencial ordinaria.

Propiedades[editar]

Sean \scriptstyle X e \scriptstyle Y dos matrices \scriptstyle n \times n, \scriptstyle a y \scriptstyle b dos números complejos cualesquiera. Denotemos con \scriptstyle I a la matriz identidad y con 0 la matriz nula. Entonces

  1. Matriz identidad: e^0 = I\,.
  2. Linealidad: \exp(a\,X)\exp(b\,X) = e^{(a+b)\,X}.
  3. \exp(X)\,\exp(-X) = I. Esta es consecuencia de las dos anteriores.
  4. Matriz inversa: (e^A)^{-1} = e^{-A}\; consecuencia de la anterior.
  5. Relación traza-determinante: \det e^X = e^{tr X}\,.
  6. \exp{X^\dagger} = (\exp X)^\dagger, donde X^\dagger denota la transpuesta de la matriz X.
  7. Preservación de la conmutación: Si X\,Y = Y\,X entonces e^X\,e^Y = e^{X+Y} = e^Ye^X.
  8. Si Y\, es invertible entonces e^{YXY^{-1}} = Y\,e^X\,Y^{-1}.
  9. Acotación de la norma: \|e^A\| \le e^{\|A\|}

Se sigue que si X es simétrica, entonces su exponencial también lo es. Si X es antisimétrica su exponencial es ortogonal.

  • \exp(X^*) = (\exp X)^*\, donde X^*\, denota la conjugada transpuesta de X.

Se sigue que si X es hermítica entonces su exponencial también lo es. Si X es antihermítica entonces su exponencial es unitaria.

Cálculo de la exponencial de matrices[editar]

Matrices diagonales y diagonalizables[editar]

Si una matriz A es diagonal:

A=\begin{bmatrix} a_1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & a_2 & \ldots & 0  \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & a_n \end{bmatrix},

entonces su exponencial se obtiene tomando las exponenciales de cada uno de los elementos de la diagonal principal:

e^A=\begin{bmatrix} e^{a_1} & 0 & \ldots & 0 \\
0 & e^{a_2} & \ldots & 0  \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & e^{a_n} \end{bmatrix}.

Una matriz M\; es diagonalizable entonces:

M = P  D P^{-1} \;

Donde D\; es una matriz diagonal y es una matriz no singular P\; puede elegirse como una matriz unitaria. La exponenciación de matrices diagonalizables puede reducirse al caso de la exponencial de una matriz diagonal, sin más que usar la propiedad 8 mencionada arriba tenemos:

e^M = P  e^D P^{-1}\;

Matrices que admiten forma de Jordan[editar]

La exponencial de una matriz que tiene estructura de bloque de Jordan es muy sencilla:

B_J = \begin{bmatrix}
\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & \lambda & 1 & \cdots & 0\\
0 & 0 & \lambda & \cdots & 0\\
\vdots &  & & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda\end{bmatrix} \Rightarrow \qquad
e^{B_J} = \begin{bmatrix}
e^\lambda & \frac{e^\lambda}{1!} & \frac{e^\lambda}{2!} & \cdots & \frac{e^\lambda}{(n-1)!}\\
0 & e^\lambda & \frac{e^\lambda}{1!} & \cdots & \frac{e^\lambda}{(n-2)!}\\
0 & 0 & e^\lambda & \cdots & \frac{e^\lambda}{(n-3)!}\\
\vdots &  & & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & e^\lambda \end{bmatrix}

Se dice que una matriz M\; admite forma canónica de Jordan J\; cuando existe otra matriz no singular tal que:

M = P^{-1} J P\;

Siendo J\; una matriz triangular formada por bloques de Jordan (es decir, cuya diagonal principal contiene los autovalores de M\; y sólo la diagonal superior a la principal tiene algunos "1"). En ese caso la exponencial

M=P^{-1}J P \to e^M = e^{P^{-1}J P} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(P^{-1}J P)^k}{k!} =
\sum_{k=0}^\infty \frac{P^{-1}(J)^k P}{k!} = P^{-1}e^{J}P

Aplicaciones[editar]

\begin{cases} \dot\mathbf{X}(t) = \mathbf{A}\mathbf{X}(t)+\mathbf{f}(t) \\
\mathbf{X}(t_0) = \mathbf{X}_0 \end{cases}

Donde \mathbf{X}(t) representa el vector de funciones incógnita. La solución de este sistema viene dada por la exponenciación de la matriz de coeficientes:

\mathbf{X}(t) = e^{\mathbf{A}(t-t_0)}\mathbf{X}_0 +
\int_{t_0}^t e^{\mathbf{A}(t-s)}\mathbf{f}(s)\ ds

Generalizaciones[editar]

En mecánica cuántica puede definirse la exponencia del operador hamiltoniano que es un operador lineal sobre un espacio vectorial de Hilbert de dimensión infinita. La evolución temporal del sistema cuántico cuyo hamitoniano no dependa del tiempo viene dada por:

| \Psi(t)\rangle = \exp(it\hat{H}) | \Psi_0 \rangle

En general el cálculo de la exponencial de un operador puede resultar compleja si no se conocen los autoestados del hamiltoniano, por lo que la solución anterior a veces resulta tan complicada como la resolución de la ecuación de Schrödinger.

En mecánica cuántica de campos la matriz S puede calcularse también a partir de una exponencial de un operador. Como en general el cálculo directo de la exponencial no es sencillo se usan series perturbativas para calcular la exponencial. Estas series perturbativas son las llamadas series de Feynman cada una calculable a partir de un diagrama de Feynman. Usualmente estas series tienen el problema adicional de series formales, por lo que su suma directa no proporciona un resultado finito, y por esa razón este precedimiento requiere técnicas adicionales de renormalización.

Véase también[editar]