Matriz triangular

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En álgebra lineal, una matriz triangular es un tipo especial de matriz cuadrada cuyos elementos por encima o por debajo de su diagonal principal son cero. Debido a que los sistemas de ecuaciones lineales con matrices triangulares son mucho más fáciles de resolver, las matrices triangulares son utilizadas en análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones lineales, calcular inversas y determinantes de matrices. El método de descomposición LU permite descomponer cualquier matriz invertible como producto de una matriz triangular inferior L y una superior U.

Descripción[editar]

Una matriz cuadrada de orden n se dice que es triangular superior si es de la forma:


U = 
\begin{pmatrix}
  u_{11} & u_{12} & u_{13} & . & . & .& u_{1n}\\
  0 & u_{22} & u_{23} & . & . & .& u_{2n}\\
  0 & 0 & u_{33} & . & . & .& u_{3n}\\
. & . & .. & . & . & .& .\\
. & . & . & . & . & .& .\\
. & . & . & . & . & .& .\\
0 & 0 & 0 & . & . & .& u_{nn}\\
\end{pmatrix}

Análogamente, una matriz de la forma:


L = 
\begin{pmatrix}
  l_{11} & 0 & 0 & . & . & .& 0\\
  l_{21} & l_{22} & 0 & . & . & .& 0\\
  l_{31} & l_{32} & l_{33} & . & . & .& 0\\
. & . & . & . & . & .& .\\
. & . & . & . & . & .& .\\
. & . & . & . & . & .& .\\
l_{n1} & l_{n2} & l_{n3} & . & . & .& l_{nn}\\
\end{pmatrix}

se dice que es una matriz triangular inferior.

Se suelen emplear las letras U y L, respectivamente, ya que U es la inicial de "upper triangular matrix" y L de "lower triangular matrix", los nombres que reciben estas matrices en inglés.

Ejemplos[editar]

\begin{pmatrix}
1 & 4 & 2 \\
0 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}

Esta matriz es triangular superior.

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
2 & 8 & 0 \\
4 & 9 & 7 \\
\end{pmatrix}

Esta matriz es triangular inferior.

Propiedades de las matrices triangulares[editar]

  • Una matriz triangular superior e inferior siempre diagonaliza en una base de vectores propios(matriz diagonal).
  • El producto de dos matrices triangulares superiores (inferiores) es un matriz triangular superior (inferior).
  • La transpuesta de una matriz triangular superior es una matriz triangular inferior y viceversa.
  • El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal.
  • Una matriz triangular es invertible si y solo si todos los elementos de la diagonal son no nulos. En este caso, la inversa de una matriz triangular superior (inferior) es otra matriz superior (inferior).
  • Los valores propios de una matriz triangular son los elementos de la diagonal principal.

Aplicaciones[editar]

Un sistema de ecuaciones lineales en forma matricial

\mathbf{L}\mathbf{x} = \mathbf{b}

o

\mathbf{U} \mathbf{x} = \mathbf{b}

es muy fácil de resolver. El primer sistema puede escribirse como


\begin{matrix}
l_{1,1} x_1 &   &             &            &            & = &    b_1 \\
l_{2,1} x_1 & + &  l_{2,2}x_2 &            &            & = &    b_2 \\
     \vdots &   &      \vdots &     \ddots &            &   & \vdots \\
l_{m,1} x_1 & + & l_{m,2} x_2 & + \ldots + & l_{m,m}x_m & = &   b_m  \\
\end{matrix}

que puede resolverse siguiendo un simple algoritmo recursivo

 x_1 = \frac{b_1}{l_{1,1}},
 x_2 = \frac{b_2 - l_{2,1} x_1}{l_{2,2}},
 \vdots
 x_m = \frac{b_m - \sum_{i=1}^{m-1} l_{m,i}x_i}{l_{m,m}}.

De forma análoga puede resolverse un sistema dado por una matriz triangular superior.

Véase también[editar]