Ecuación de quinto grado

Polinomio de 5º grado con cuatro puntos extremos.

En matemática, se denomina ecuación de quinto grado o ecuación quíntica a una ecuación polinómica en que el exponente de la variable independiente de mayor grado es cinco. Es de la forma general:

$ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0\,\!$

donde a, b, c, d, e y f son miembros de un cuerpo (habitualmente, en análisis matemático y álgebra clásica, el de los números racionales, el de los reales o los complejos; pero en álgebra abstracta se usan otros cuerpos​), y $a\neq 0$.

Debido a que son de grado impar, la gráfica de las funciones quínticas se parece a la de las funciones cúbicas, incluso puede poseer un máximo y un mínimo locales adicionales. La derivada de una función quíntica es una función cuártica y su integral una función séxtica.

Búsqueda de raíces de una ecuación quíntica

Encontrar las raíces de un polinomio (valores de x que satisfacen tal ecuación) en el caso racional dados sus coeficientes ha sido un importante problema matemático.

La resolución de ecuaciones lineales, cuadráticas, cúbicas y cuárticas mediante factorización de raíces es bastante sencilla cuando las raíces son racionales o reales; también hay fórmulas que proporcionan las soluciones. Sin embargo, no hay una fórmula general en términos de raíces para las ecuaciones de quinto grado sobre los racionales; mediante un número finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y extracciones de raíces. Esto lo probó por primera vez el teorema de Abel-Ruffini, publicado en 1824, que fue una de las primeras aplicaciones de la teoría de grupos en el álgebra. Este resultado también se cumple para ecuaciones de mayor grado.

Caso inicial

• Sea la ecuación x⁵ - 1 = 0, se factoriza el primer miembro; cuyo resultado conlleva el binomio x - 1 y un polinomio mónico completo de cuarto grado, todos los coeficientes igual a 1. En el 'cuadrinomio' que corresponde a una ecuación recíproca se divide entre x², se forman trinomios que sean cuadrados perfectos; se hace cambio de variable de x + 1/x = t. Se resuelve en t, luego en x. Se obtienen, de este modo netamente algebraico, las cinco raíces de la unidad, cuatro de ellas complejas y primitivas.​

Factorización de radicales

Algunas ecuaciones de quinto grado se pueden resolver mediante factorización de radicales, como por ejemplo x⁵ − x⁴ − x + 1 = 0, que puede escribirse como (x² + 1)(x + 1)(x − 1)² = 0. Otras quínticas como x⁵ − x + 1 = 0 no pueden factorizarse de manera sencilla. Évariste Galois desarrolló técnicas para determinar si una ecuación dada podría ser resuelta mediante factorización, lo que dio pie al campo de la teoría de Galois. Usando esta teoría, John Stuart Glashan, George Paxton Young y Carl Runge mostraron en 1885 que cualquier quíntica resoluble irreducible en forma de Bring-Jerrard,

$x^{5}+ax+b=0\,\!$

debe forzosamente tener la siguiente forma:

$x^{5}+{\frac {5\mu ^{4}(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}x+{\frac {4\mu ^{5}(2\nu +1)(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}=0\,\!$

donde $\mu$ y $\nu$ son racionales. En 1994, Spearman y Williams dieron una alternativa,

$x^{5}+{\frac {5e^{4}(3-4c\epsilon )}{c^{2}+1}}x+{\frac {-4e^{5}(11\epsilon +2c)}{c^{2}+1}}=0\,\!$

con $\epsilon =\pm 1\,$. Dado que haciendo un uso juicioso de las transformaciones de Tschirnhaus se puede convertir una quíntica a forma de Bring-Jerrard, esto da una condición necesaria y suficiente para que se pueda resolver mediante raíces. La relación entre las parametrizaciones de 1885 y 1994 puede verse definiendo la expresión

$b={\frac {4}{5}}(a+20+2{\sqrt {(20-a)(5+a)}})\,\!$

donde

$a={\frac {5(4v+3)}{v^{2}+1}}\,\!$

y obtenemos la primera parametrización usando el caso negativo de la raíz cuadrada, mientras que el caso positivo nos da la segunda con $\epsilon =-1$. Por tanto esto es una condición necesaria (pero no suficiente) para que la quíntica resoluble irreducible

$z^{5}+a\mu ^{4}z+b\mu ^{5}=0\,\!$

con coeficientes racionales debe satisfacer la curva cuadrática simple

$y^{2}=(20-a)(5+a)\,\!$

siendo a e y racionales.

Otros métodos analíticos

También existen otros métodos para resolver quínticas. Jerrard mostró alrededor de 1835 que las quínticas se pueden resolver usando ultraradicales (también conocidos como radicales de Bring), las raíces reales de t⁵ + t − a siendo a un número real. En 1858 Charles Hermite mostró que el radical de Bring se podía caracterizar en términos de las funciones theta de Jacobi y sus funciones modulares elípticas asociadas, usando un enfoque similar al más familiar usado al resolver ecuaciones cúbicas mediante funciones trigonométricas. Leopold Kronecker desarrolló una manera más sencilla de derivar el resultado de Hermite usando Teoría de grupos, prácticamente al mismo tiempo que Francesco Brioschi. Más adelante, Felix Klein llegó a un método particularmente elegante que relaciona las simetrías del icosaedro, la teoría de Galois y las funciones modulares elípticas que aparecen en la solución de Hermite, dando una explicación de por qué deben aparecer, y desarrolló su propia solución en términos de las funciones hipergeométricas generalizadas. El matemático mexicano Graciano Ricalde Gamboa (1873-1942) descubrió un método para la resolución de la ecuación de quinto grado mediante el uso de funciones elípticas.

Métodos numéricos

Los métodos numéricos como el método de Newton-Raphson o de prueba y error dan resultados muy rápidamente si sólo se necesitan valores aproximados para las raíces, o si se sabe que las soluciones comprenden sólo expresiones sencillas (como en exámenes). También se pueden usar otros métodos como el de Laguerre o el de Jenkins-Traub para encontrar numéricamente las raíces de una quíntica de forma más fiable.

Véase también

• Ecuación de cuarto grado
• Ecuación de sexto grado
• Grupo resoluble
• Teoría de ecuaciones
• Niels Henrik Abel
• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.

Sobre el tema

• Jörg Bewersdorff, Galois theory for beginners: A historical perspective, American Mathematical Society, 2006, ISBN 0-8218-3817-2, Chapter 8 (The solution of equations of the fifth degree).
• Charles Hermite, "Sur la Résolution de L'Equation Du Cinquème Degré" (1858) en Œuvres de Charles Hermite, t.2, pp. 5-21, Gauthier-Villars, 1908.
• Felix Klein, Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree, trad. George Gavin Morrice, Trübner & Co., 1888. ISBN 0-486-49528-0.
• Ian Stewart, Galois Theory 2nd Edition, Chapman and Hall, 1989. ISBN 0-412-34550-1. Comenta la Teoría de Galois en general incluyendo una prueba de la no resolubilidad de la quíntica general.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Quintic Equation». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.  - más detalles sobre métodos para resolver quínticas.
• Solving the Quintic with Mathematica - póster sobre las soluciones para quínticas
• Lectures on the Icosahedron - El libro de Klein está disponible en línea