Distribución de Weibull

Weibull (2-Parameter)
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	$\lambda >0\,$ scale (real) $k>0\,$ shape (real)
Dominio	$x\in [0;+\infty )\,$
Función de densidad (pdf)	$f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}$
Función de distribución (cdf)	$1-e^{-(x/\lambda )^{k}}$
Media	$\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,$
Mediana	$\lambda (\ln(2))^{1/k}\,$
Moda	$\lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{\frac {1}{k}}\,$ if $k>1$
Varianza	$\lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}\,$
Coeficiente de simetría	${\frac {\Gamma (1+{\frac {3}{k}})\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}$
Curtosis	(see text)
Entropía	$\gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1$
Función generadora de momentos (mgf)	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right),\ k\geq 1$
Función característica	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right)$

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de Weibull es una distribución de probabilidad continua. Recibe su nombre de Waloddi Weibull, que la describió detalladamente en 1951, aunque fue descubierta inicialmente por Fréchet (1927) y aplicada por primera vez por Rosin y Rammler (1933) para describir la distribución de los tamaños de determinadas partículas.

La función de densidad de una variable aleatoria con la distribución de Weibull x es:​

$f(x;\lambda ,k)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}$

donde $k>0$ es el parámetro de forma y $\lambda >0$ es el parámetro de escala de la distribución.

La distribución modela la distribución de fallos (en sistemas) cuando la tasa de fallos es proporcional a una potencia del tiempo:

• Un valor k<1 indica que la tasa de fallos decrece con el tiempo.
• Cuando k=1, la tasa de fallos es constante en el tiempo.
• Un valor k>1 indica que la tasa de fallos crece con el tiempo.

Propiedades

Su función de distribución de probabilidad es:

$F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\,$

para x ≥ 0, siendo nula cuando x < 0.

La tasa de fallos (hazard) es

$h(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}.$

La función generadora de momentos del logaritmo de la distribución de Weibull es​

$E\left[e^{t\log X}\right]=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k}}+1\right)$

donde Γ es la función gamma. Análogamente, la función característica del logaritmo es

$E\left[e^{it\log X}\right]=\lambda ^{it}\Gamma \left({\frac {it}{k}}+1\right).$

En particular, el momento n-ésimo de X es:

$m_{n}=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).$

Su media y varianza son

$\mathrm {E} (X)=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,$

y

${\textrm {var}}(X)=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma ^{2}\left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right]\,.$

Mientras que su asimetría y curtosis son

$\gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}.$

y

$\gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{2}}}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k}})-4\gamma _{1}\sigma ^{3}\mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}$

donde $\Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)$.

Distribuciones relacionadas

La distribución de Weibull desplazada (a través de un parámetro adicional) también se encuentra en la literatura.​ Tiene función de densidad

$f(x;k,\lambda ,\theta )={k \over \lambda }\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-({x-\theta \over \lambda })^{k}}\,$

para $x\geq \theta$ y f(x; k, λ, θ) = 0 cuando x < θ, donde $k>0$ es el parámetro de forma, $\lambda >0$ es el parámetro de escala y $\theta$, el de localización. Coincide con la habitual cuando θ=0.

La distribución de Weibull puede caracterizarse como la distribución de una variable aleatoria X tal que

$Y=\left({\frac {X}{\lambda }}\right)^{k}$

sigue una distribución exponencial estándar de intensidad 1.​ De hecho, la distribución de Weibull coincide con la exponencial de intensidad 1/λ cuando k = 1 y la de distribución de Rayleigh de moda $\sigma =\lambda /{\sqrt {2}}$ cuando k = 2.

La función de densidad de la distribución de Weibull cambia sustancialmente cuando k varía entre 0 y 3 y, en particular, cerca de x=0. Cuando k < 1 la densidad tiende a ∞ cuando x se aproxima a 0 y la densidad tiene forma de J. Cuando k = 1 la densidad tiene un valor finito en x=0. Cuando 1<k<2, la densidad se anula en 0, tiene una pendiente infinita en tal valor y es unimodal. Cuando k=2, la densidad tiene pendiente finita en 0. Cuando k>2, la densidad y su pendiente son nulas en cero y la densidad es unimodal. Conforme k crece, la distribución de Weibull converge a una delta de Dirac soportada en x=λ.

La distribución de Weibull también puede caracterizarse a través de la distribución uniforme: si X es uniforme sobre (0,1), entonces $k(-\ln(X))^{1/\lambda }\,$ sigue una distribución de Weibull de parámetros k y λ. Este resultado permite simular numéricamente la distribución de manera sencilla.

La distribución de Weibull es un caso especial de la distribución Exponentiated Weibull distribution (de tres parámetros) cuando el parámetro adicional vale 1. También es un caso especial de la generalized extreme value distribution. Fue precisamente en este contexto que fue identificada por Maurice Fréchet in 1927.

Aplicaciones

La distribución de Weibull se utiliza en:

• Análisis de la supervivencia
• Reliability engineering
• En ingeniería, para modelar procesos estocásticos relacionados con el tiempo de fabricación y distribución de bienes
• Teoría de valores extremos
• Meteorología
• Para modelar la distribución de la velocidad del viento
• En telecomunicaciones
• En sistemas de radar para simular la dispersión de la señal recibida
• En seguros, para modelar el tamaño de las pérdidas

Véase también

• Exponentiated Weibull distribution
• Weibull modulus

Bibliografía

• Fréchet, Maurice (1927), «Sur la loi de probabilité de l'écart maximum», Annales de la Société Polonaise de Mathematique, Cracovie 6: 93-116 ..
• Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1994), Continuous univariate distributions. Vol. 1, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics (2nd edición), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-58495-7, MR 1299979 .
• Muraleedharan, G.; Rao, A.G.; Kurup, P.G.; Nair, N. Unnikrishnan; Sinha, Mourani (2007), «Coastal Engineering», Coastal Engineering 54 (8): 630-638, doi:10.1016/j.coastaleng.2007.05.001 .
• Rosin, P.; Rammler, E. (1933), «The Laws Governing the Fineness of Powdered Coal», Journal of the Institute of Fuel 7: 29-36 ..
• Sagias, Nikos C.; Karagiannidis, George K. (2005), «Gaussian class multivariate Weibull distributions: theory and applications in fading channels», Institute of Electrical and Electronics Engineers. Transactions on Information Theory 51 (10): 3608-3619, ISSN 0018-9448, doi:10.1109/TIT.2005.855598, MR 2237527 .
• Weibull, W. (1951), «A statistical distribution function of wide applicability», J. Appl. Mech.-Trans. ASME 18 (3): 293-297 ..
• «Weibull Distribution». Engineering statistics handbook. National Institute of Standards and Technology. 2008. 
• Nelson, Jr, Ralph (05-02-2008). «Dispersing Powders in Liquids, Part 1, Chap 6: Particle Volume Distribution». Consultado el 05-02-2008. 

Enlaces externos

• The Weibull distribution (con ejemplos, calculadora, etc.)
• The Weibull plot
• Papel para representar gráficamente la distribución de Weibull
• Mathpages - Análisis de Weibull
• La distribución de Weibull con Excel
• The SOCR Resource proporciona Interfaz interactivo para la distribución de Weibull.

Se puede usar software y un programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la de Weibull, a una serie de datos:

• Easy fit, "data analysis & simulation"
• MathWorks Benelux
• ModelRisk, "risk modelling software"
• Ricci distributions, fitting distrubutions with R , Vito Ricci, 2005
• Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples
• StatSoft distribution fitting
• CumFreq [1] , libre sin costo, incluye intervalos de confianza a base de la distribución binomial
• [2] Calcular la probabilidad de una distribución de Weibull con R (lenguaje de programación)
• Calculadora - Distribución de Weibull