Distribución de Weibull

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Weibull (2-Parameter)
Probability distribution function
Función de densidad de probabilidad
Cumulative distribution function
Función de distribución de probabilidad
Parámetros \lambda>0\, scale (real)
k>0\, shape (real)
Dominio x \in [0; +\infty)\,
Función de densidad (pdf) f(x)=\begin{cases}
\frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^{k}} & x\geq0\\
0 & x<0\end{cases}
Función de distribución (cdf) 1- e^{-(x/\lambda)^k}
Media \lambda \Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\,
Mediana \lambda(\ln(2))^{1/k}\,
Moda \lambda \left(\frac{k-1}{k} \right)^{\frac{1}{k}}\, if k>1
Varianza \lambda^2\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \mu^2\,
Coeficiente de simetría \frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}
Curtosis (see text)
Entropía \gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\ln\left(\frac{\lambda}{k}\right)+1
Función generadora de momentos (mgf) \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n\lambda^n}{n!}\Gamma\left(1+\frac{n}{k}\right), \ k\geq1
Función característica \sum_{n=0}^\infty \frac{(it)^n\lambda^n}{n!}\Gamma\left(1+\frac{n}{k}\right)
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En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de Weibull es una distribución de probabilidad continua. Recibe su nombre de Waloddi Weibull, que la describió detalladamente en 1951, aunque fue descubierta inicialmente por Fréchet (1927) y aplicada por primera vez por Rosin y Rammler (1933) para describir la distribución de los tamaños de determinadas partículas.

La función de densidad de una variable aleatoria con la distribución de Weibull x es:[1]

f(x;\lambda,k) =  \begin{cases}
\frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^{k}} & x\geq0\\
0 & x<0\end{cases}

donde k >0 es el parámetro de forma y \lambda >0 es el parámetro de escala de la distribución.

La distribución modela la distribución de fallos (en sistemas) cuando la tasa de fallos es proporcional a una potencia del tiempo:

  • Un valor k<1 indica que la tasa de fallos decrece con el tiempo.
  • Cuando k=1, la tasa de fallos es constante en el tiempo.
  • Un valor k>1 indica que la tasa de fallos crece con el tiempo.

Propiedades[editar]

Su función de distribución de probabilidad es:

F(x;k,\lambda) = 1- e^{-(x/\lambda)^k}\,

para x ≥ 0, siendo nula cuando x < 0.

La tasa de fallos (hazard) es

 h(x;k,\lambda) = {k \over \lambda} \left({x \over \lambda}\right)^{k-1}.

La función generadora de momentos del logaritmo de la distribución de Weibull es[2]

E\left[e^{t\log X}\right] = \lambda^t\Gamma\left(\frac{t}{k}+1\right)

donde Γ es la función gamma. Análogamente, la función característica del logaritmo es

E\left[e^{it\log X}\right] = \lambda^{it}\Gamma\left(\frac{it}{k}+1\right).

En particular, el momento n-ésimo de X es:

m_n = \lambda^n \Gamma\left(1+\frac{n}{k}\right).

Su media y varianza son

\mathrm{E}(X) = \lambda \Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\,

y

\textrm{var}(X) = \lambda^2\left[\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \Gamma^2\left(1+\frac{1}{k}\right)\right]\,.

Mientras que su asimetría y curtosis son

\gamma_1=\frac{\Gamma\left(1+\frac{3}{k}\right)\lambda^3-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}.

y

\gamma_2=\frac{-6\Gamma_1^4+12\Gamma_1^2\Gamma_2-3\Gamma_2^2
-4\Gamma_1\Gamma_3+\Gamma_4}{[\Gamma_2-\Gamma_1^2]^2}=\frac{\lambda^4\Gamma(1+\frac{4}{k})-4\gamma_{1}\sigma^3\mu-6\mu^2\sigma^2-\mu^4}{\sigma^4}

donde \Gamma_i=\Gamma(1+i/k).


Distribuciones relacionadas[editar]

La distribución de Weibull desplazada (a través de un parámetro adicional) también se encuentra en la literatura.[2] Tiene función de densidad

f(x;k,\lambda, \theta)={k \over \lambda} \left({x - \theta \over \lambda}\right)^{k-1} e^{-({x-\theta \over \lambda})^k}\,

para x \geq \theta y f(x; k, λ, θ) = 0 cuando x < θ, donde k >0 es el parámetro de forma, \lambda >0 es el parámetro de escala y \theta, el de localización. Coincide con la habitual cuando θ=0.

La distribución de Weibull puede caracterizarse como la distribución de una variable aleatoria X tal que

Y = \left(\frac{X}{\lambda}\right)^k

sigue una distribución exponencial estándar de intensidad 1.[2] De hecho, la distribución de Weibull coincide con la exponencial de intensidad 1/λ cuando k = 1 y la de distribución de Rayleigh de moda \sigma = \lambda/\sqrt{2} cuando k = 2.

La función de densidad de la distribución de Weibull cambia sustancialmente cuando k varía entre 0 y 3 y, en particular, cerca de x=0. Cuando k < 1 la densidad tiende a ∞ cuando x se aproxima a 0 y la densidad tiene forma de J. Cuando k = 1 la densidad tiene un valor finito en x=0. Cuando 1<k<2, la densidad se anula en 0, tiene una pendiente infinita en tal valor y es unimodal. Cuando k=2, la densidad tiene pendiente finita en 0. Cuando k>2, la densidad y su pendiente son nulas en cero y la densidad es unimodal. Conforme k crece, la distribución de Weibull converge a una delta de Dirac soportada en x=λ.

La distribución de Weibull también puede caracterizarse a través de la distribución uniforme: si X es uniforme sobre (0,1), entonces k(-\ln(X))^{1/\lambda}\, sigue una distribución de Weibull de parámetros k y λ. Este resultado permite simular numéricamente la distribución de manera sencilla.

La distribución de Weibull es un caso especial de la distribución Exponentiated Weibull distribution (de tres parámetros) cuando el parámetro adicional vale 1. También es un caso especial de la generalized extreme value distribution. Fue precisamente en este contexto que fue identificada por Maurice Fréchet in 1927.

Aplicaciones[editar]

La distribución de Weibull se utiliza en:

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Papoulis, Pillai, "Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 4th Edition
  2. a b c Johnson, Kotz y Balakrishnan, 1994

Bibliografía[editar]

Enlaces externos[editar]

Se puede usar software y un programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la de Weibull, a una serie de datos: