Revisión del 11:22 23 feb 2017

Un polígono convexo es un polígono en el que cada uno de los ángulos interiores miden a lo sumo 180 grados o $\pi$ radianes. Un polígono es estrictamente convexo si todos sus ángulos internos son estrictamente menores de 180 grados y todas sus diagonales son interiores. Todo polígono que no es convexo se denomina Polígono cóncavo.

Los polígonos convexos presentan una gran cantidad de propiedades matemáticas que los hace especialmente útiles en la resolución de problemas de geometría, geometría computacional e informática gráfica.

Todos los triángulos son polígonos convexos, salvo los triángulos degenerados. Todos los polígonos regulares son convexos, salvo los polígonos estrellados regulares.

Propiedades de los polígonos convexos

Las siguientes propiedades de un polígono simple son equivalentes a la condición de convexidad:

Todos sus ángulos internos son menores o iguales a 180 grados.
Todo segmento cuyos extremos estén en el interior o la frontera del polígono es interno al polígono.
Todas sus diagonales son internas al polígono (consecuencia de la propiedad anterior).
El interior del polígono está completamente contenido en el semiplano definido por la recta soporte de cada uno de sus lados.
El interior del polígono está completamente contenido en la región angular interior del ángulo de cada uno de sus vértices.
El polígono coincide con el cierre convexo de sus vértices.
Todo polígono simple y cíclico, es decir, aquellos polígonos cuyos vértices tocan todos a su circunferencia circunscrita, son convexos. Sin embargo, no todos los polígonos convexos son cíclicos.
Todo polígono simple y regular son convexos. La condición de polígono simple es necesaria porque existen polígonos estrellados regulares.

Adicionalmente, todos los polígonos convexos cumplen las siguientes propiedades:

La intersección de dos polígonos convexos es un polígono convexo.
Todos los polígonos convexos son monótonos.
La suma de los ángulos de un polígono convexo de $n$ lados es $(n-2)\cdot \pi$ radianes. ^[1]
En toda colección de al menos 3 polígonos convexos: si la intersección de cada 3 de ellos es no vacía, entonces la intersección de toda la colección es no vacía (Teorema de Helly).
Un polígono convexo puede ser reconstruido a partir de las coordenadas de sus vértices, sin necesidad de conocer el orden de los mismos (Teorema de Krein-Milman). Esto es consecuencia de que unpolígono convexo equivale al cierre convexo de sus vértices.
Para cualquier par de polígonos convexos cuya intersección sea vacía, puede trazarse una recta que los separa.
De todos los triángulos contenidos en un polígono convexo, existe un triángulo de área maximal cuyos vértices son todos vértices del polígono.^[2]
Todo polígono convexo con área $A$ puede ser inscrito en el interior de un triángulo de área menor o igual a $2A$ . El área será $2A$ únicamente si el polígono es un paralelogramo.^[3]
El diámetro medio de un polígono convexo es igual a su perímetro dividido por $\pi$ . Así que su diámetro medio es igual al diámetro de una circunferencia del mismo perímetro que el polígono^[4]
Para todo polígono convexo $C$ , podemos inscribir dentro un rectángulo $r$ tal que una copia homotética de $r$ , llamada $R$ , será circunscrita a $C$ y la razón de homotecia sera menor o igual a 2, y además $0.5{\text{ × area}}(R)\leq {\text{area}}(C)\leq 2{\text{ × area}}(r)$ .^[5]

Véase también

Polígono

Referencias y Enlaces externos

↑ Esto es consecuencia de que todo polígono convexo admite una triangulación trivial en (n-2) triángulos.
↑ -, Christos. «Is the area of intersection of convex polygons always convex?». Math Stack Exchange.
↑ Weisstein, Eric W. «Triangle Circumscribing». Wolfram Math World.
↑ Jim Belk. «What's the average width of a convex polygon?». Math Stack Exchange.
↑ Lassak, M. (1993). «Approximation of convex bodies by rectangles». Geometriae Dedicata 47: 111. doi:10.1007/BF01263495.

Weisstein, Eric W. «ConvexPolygon». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Polígono convexo.

[1] Esto es consecuencia de que todo polígono convexo admite una triangulación trivial en (n-2) triángulos.

[2] -, Christos. «Is the area of intersection of convex polygons always convex?». Math Stack Exchange.

[3] Weisstein, Eric W. «Triangle Circumscribing». Wolfram Math World.

[4] Jim Belk. «What's the average width of a convex polygon?». Math Stack Exchange.

[5] Lassak, M. (1993). «Approximation of convex bodies by rectangles». Geometriae Dedicata 47: 111. doi:10.1007/BF01263495.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
 {{referencias|t=20160810214840|matemáticas}}
-[[Archivo:Envoltura convexa de puntos.png|thumb|200x200px|]]
+[[Archivo:Decagon.svg|thumb|Un polígono '''convexo''' [[decágono|decagonal]].]]
+Un '''polígono convexo''' es un [[polígono]] en el que cada uno de los [[ángulo interior|ángulos interiores]] miden a lo sumo 180 [[grado sexagesimal|grados]] o <math>\pi</math> [[radián|radianes]]. Un polígono es '''estrictamente convexo''' si todos sus ángulos internos son estrictamente menores de 180 grados y todas sus [[diagonal]]es son interiores. Todo polígono que no es convexo se denomina [[Polígono cóncavo]].
-[[Archivo:Decagon.svg|thumb|Un polígono '''convexo''' [[decágono|decagonal]].|195x195px]]
-Un '''polígono convexo''' es una figura en la que cada uno de los [[ángulo interior|ángulos interiores]] miden menos de  180 [[grado sexagesimal|grados]] o <math>\pi</math> [[radián|radianes]] y todas sus [[diagonal]]es son interiores.
+Los polígonos convexos presentan una gran cantidad de propiedades matemáticas que los hace especialmente útiles en la resolución de problemas de [[geometría]], [[geometría computacional]] e [[informática gráfica]].
-Cualquier recta que pase por un lado de un polígono convexo deja a todo el polígono completamente en uno de los semiplanos definidos por la recta.
+Todos los [[triángulo]]s son polígonos convexos, salvo los triángulos degenerados. Todos los [[polígono regular|polígonos regulares]] son convexos, salvo los [[polígono estrellado| polígonos estrellados]] regulares.
-Un polígono es convexo solo si cualquier segmento trazado entre dos puntos interiores del mismo tiene todos sus puntos en el interior del polígono, es decir, el segmento no corta los lados.
+= Propiedades de los polígonos convexos=
-En un polígono convexo, todos los [[Vértice (geometría)|vértices]] "apuntan" hacia el exterior del polígono.
+[[Archivo:Envoltura convexa de puntos.png|thumb|El cierre convexo de una serie de puntos es siempre un polígono convexo]]
+Las siguientes propiedades de un [[polígono simple]] son equivalentes a la condición de convexidad:
+* Todos sus [[Ángulo interior|ángulos internos]] son menores o iguales a 180 grados.
+* Todo [[segmento]] cuyos extremos estén en el interior o la frontera del polígono es interno al polígono.
+* Todas sus [[diagonales]] son internas al polígono (consecuencia de la propiedad anterior).
+* El interior del polígono está completamente contenido en el [[semiplano]] definido por la [[recta soporte]] de cada uno de sus lados.
+* El interior del polígono está completamente contenido en la [[región angular]] interior del ángulo de cada uno de sus [[Vértice (geometría)|vértices]].
+* El polígono coincide con el [[cierre convexo]] de sus vértices.
+* Todo [[polígono simple]] y [[polígono cíclico|cíclico]], es decir, aquellos polígonos cuyos vértices tocan todos a su circunferencia circunscrita, son convexos. Sin embargo, no todos los polígonos convexos son cíclicos.
+* Todo polígono simple y [[polígono regular|regular]] son convexos. La condición de polígono simple es necesaria porque existen [[polígono estrellado| polígonos estrellados]] regulares.
-Todos los [[triángulos]] son polígonos convexos. Todos los [[polígono regular|polígonos regulares]] son convexos.
+Adicionalmente, todos los polígonos convexos cumplen las siguientes propiedades:
+* La [[intersección]] de dos polígonos convexos es un polígono convexo.
+* Todos los polígonos convexos son [[polígono monótono| monótonos]].
+* La suma de los ángulos de un polígono convexo de <math>n</math> lados es <math> (n-2) \cdot \pi</math> radianes. <ref>Esto es consecuencia de que todo polígono convexo admite una [[Triangulación de un polígono|triangulación]] trivial en (n-2) triángulos.</ref>
+* En toda colección de al menos 3 polígonos convexos: si la intersección de cada 3 de ellos es no vacía, entonces la intersección de toda la colección es no vacía ([[Teorema de Helly]]).
+* Un polígono convexo puede ser reconstruido a partir de las coordenadas de sus vértices, sin necesidad de conocer el orden de los mismos ([[Teorema de Krein-Milman]]). Esto es consecuencia de que unpolígono convexo equivale al cierre convexo de sus vértices.
+* Para cualquier par de polígonos convexos cuya intersección sea vacía, puede trazarse una recta que los separa.
+* De todos los triángulos contenidos en un polígono convexo, existe un triángulo de área maximal cuyos vértices son todos vértices del polígono.<ref>{{cite web|first=Christos|last=-|url=http://math.stackexchange.com/a/269544/29780|work=Math Stack Exchange|title=Is the area of intersection of convex polygons always convex?}}</ref>
+* Todo polígono convexo con área <math>A</math> puede ser [[polígono inscrito| inscrito]] en el interior de un triángulo de área menor o igual a <math>2A</math>. El área será <math>2A</math> únicamente si el polígono es un [[paralelogramo]].<ref>{{cite web|last=Weisstein|first=Eric W|title=Triangle Circumscribing|url=http://mathworld.wolfram.com/TriangleCircumscribing.html|work=Wolfram Math World}}</ref>
+* El diámetro medio de un polígono convexo es igual a su [[perímetro]] dividido por <math>\pi</math>. Así que su diámetro medio es igual al diámetro de una [[circunferencia]] del mismo perímetro que el polígono<ref>{{cite web|last=Jim Belk|title=What's the average width of a convex polygon?|url=http://math.stackexchange.com/a/20936/29780|work=Math Stack Exchange}}</ref>
+* Para todo polígono convexo <math>C</math>, podemos inscribir dentro un [[rectángulo]] <math>r</math> tal que una [[Homotecia|copia homotética]] de <math>r</math>, llamada <math>R</math>, será circunscrita a <math>C</math> y la razón de homotecia sera menor o igual a 2, y además <math>0.5 \text{ × area}(R) \leq \text{area}(C) \leq 2 \text{ × area}(r)</math>.<ref>{{Cite journal | doi = 10.1007/BF01263495| title = Approximation of convex bodies by rectangles| journal = Geometriae Dedicata| volume = 47| pages = 111| year = 1993| last1 = Lassak | first1 = M. }}</ref>
-== Véase también ==
+= Véase también =
+*
-* [[Polígono cóncavo]]
 * [[Polígono]]
-== Enlaces externos ==
+= Referencias y Enlaces externos =
+{{reflist}}
 * {{MathWorld|ConvexPolygon|ConvexPolygon}}
+* {{commonscat|Convex polygons}}
 [[Categoría:Polígonos]]