Triangulación de un polígono

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Triangulación de un polígono

En geometría, la triangulación de un polígono o área poligonal es una partición de dicha área en un conjunto de triángulos.

De manera más precisa, una triangulación es una división del área en un conjunto de triángulos que cumplen las siguientes condiciones:

  • La unión de todos los triángulos es igual al polígono original.
  • Los vértices de los triángulos son vértices del polígono original.
  • Cualquier pareja de triángulos es disjunta o comparte únicamente un vértice o un lado.

La definición anterior es la estándar en geometría computacional aunque en ciertos contextos, al hablar de triangulaciones, se puede hacer caso omiso del segundo requisito. En tal caso, no se requiere que los vértices de los triángulos sean vértices del polígono y para referirse a las triangulaciones que sí satisfacen el requisito se habla de triangulaciones completas.[1] [2]

La partición de una superficie en triángulos se denomina también malla triangular en trigonometría y en geometría elemental. Y desde el punto de vista de la teoría de grafos, las triangulaciones son «grafos no orientados sin aristas múltiples», cuyos subgrafos son "círculos de tres nodos" (y correspondientemente tres aristas). Una generalización de las mallas triangulares son las mallas poligonales.

Triangulaciones de polígonos convexos[editar]

En el caso de polígonos convexos, la cantidad de triangulaciones posibles depende únicamente del número de lados del polígono. Representando por t_n al número de triangulaciones de un polígono de n lados, se cumple la siguiente relación de recurrencia:

t_n = t_2t_{n-1} + t_3t_{n-2} + \cdots + t_{n-1}t_2,

la cual tiene por solución la fórmula

t_n=\frac{1}{n-1}\binom{2n-4}{n-2}.

En otras palabras, se establece el siguiente teorema:[3]

El número de particiones de un polígono convexo de n lados es igual al (n-2)-ésimo número de Catalan, es decir:

t_n = C_{n-2} = \frac{1}{n-1}\binom{2n-4}{n-2}.

Generalizaciones[editar]

Se define una triangulación de un politopo en un espacio de dimensión n como una colección de simplejos de dimensión n tales que:

  • La unión de todos los simplejos es igual al politopo.
  • Cualquier par de simplejos es disjunto o su intersección es exactamente alguna cara común.

Triangulaciones especiales[editar]

Con frecuencia interesa calcular una triangulación con propiedades especiales. Por ejemplo, existen las triangulaciones de Delaunay, que evitan los ángulos agudos en los triángulos, o las triangulaciones de mínima ponderación (Minimum-weight Triangulation), en las que se minimiza la longitud total de las aristas.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Trias Pairó, Joan (2003). «3.9 Triangulación de polígonos simples». Geometría para la informática gráfica y CAD. Vol. 129 de Politext: Matemática y Estadística (1ª edición). Barcelona: Edicions UPC. p. 151. ISBN 9788483017029. Consultado el 25 de noviembre de 2011. 
  2. Hernández Cifre, María Ángeles y José Antonio Pastor González. «6.2.1 Triangulaciones. La característica de Euler-Poincaré». Un curso de geometría diferencial: teoría, problemas, soluciones y prácticas con ordenador. Vol. 47 de Textos universitarios, Consejo Superior de Investigaciones Científicas (España). España: CSIC, Ediciones Doce Calles. p. 232. ISBN 9788400091545. Consultado el 25 de noviembre de 2011. 
  3. Jesús D. Loera; Jörg Rambau; Francisco Santos (2010). Triangulations:Structures for Algorithms and Applicaciones. Algorithms and Computation in Mathematics (en inglés) 25. Springer. ISBN 9783642129704.