Álgebra abstracta

El álgebra abstracta, ocasionalmente llamada álgebra moderna o álgebra superior, es la parte de la matemática que estudia las estructuras algebraicas como las de grupo, anillo, cuerpo (a veces llamado campo), espacio vectorial, etc. Muchas de estas estructuras fueron definidas formalmente en el siglo XIX, y, de hecho, el estudio del álgebra abstracta fue motivado por la necesidad de más exactitud en las definiciones matemáticas.

En álgebra abstracta, los elementos combinados por diversas operaciones generalmente no son interpretables como números, razón por la cual el álgebra abstracta no puede ser considerada una simple extensión de la aritmética. El estudio del álgebra abstracta ha permitido observar con claridad lo intrínseco de las afirmaciones lógicas en las que se basan todas la matemática y las ciencias naturales, y se usa hoy en día prácticamente en todas las ramas de la matemática. Además, a lo largo de la historia, los algebristas descubrieron que estructuras lógicas aparentemente diferentes muy a menudo pueden caracterizarse de la misma forma con un pequeño conjunto de axiomas.

El término álgebra abstracta se usa para distinguir este campo del álgebra elemental o del álgebra de la escuela secundaria que muestra las reglas correctas para manipular fórmulas y expresiones algebraicas que conciernen a los números reales y números complejos. El álgebra abstracta fue conocida durante la primera mitad del siglo XX como álgebra moderna".

Historia

Antes del siglo XIX, álgebra significaba el estudio de la solución de ecuaciones polinómicas. El álgebra abstracta surgió durante el siglo XIX a medida que se desarrollaban problemas y métodos de solución más complejos. Los problemas y ejemplos concretos procedían de la teoría de números, la geometría, el análisis y las soluciones de ecuaciones algebraicas. La mayoría de las teorías que ahora se reconocen como partes del álgebra abstracta comenzaron como colecciones de hechos dispares de diversas ramas de las matemáticas, adquirieron un tema común que sirvió de núcleo en torno al cual se agruparon diversos resultados y, finalmente, se unificaron sobre la base de un conjunto común de conceptos. Esta unificación se produjo en las primeras décadas del siglo XX y dio lugar a las definiciones axiomáticas formales de diversas estructuras algebraicas como grupos, anillos y campos.​ Este desarrollo histórico es casi el opuesto del tratamiento que se encuentra en los libros de texto populares, como el Álgebra Moderna de van der Waerden,​ que comienzan cada capítulo con una definición formal de una estructura y luego la siguen con ejemplos concretos.​

Álgebra elemental

El estudio de las ecuaciones polinómicas o ecuaciones algebraicas tiene una larga historia. Hacia 1700 a.C., los babilonios eran capaces de resolver ecuaciones cuadráticas especificadas como problemas de palabras. Esta etapa de problemas de palabras se clasifica como álgebra retórica y fue el enfoque dominante hasta el siglo XVI. Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī originó la palabra "álgebra" en el año 830 d.C., pero su trabajo era totalmente álgebra retórica. El álgebra completamente simbólica no apareció hasta la Nueva Álgebra de François Viète de 1591, e incluso ésta tenía algunas palabras deletreadas que recibieron símbolos en La Géométrie de Descartes de 1637.​ El estudio formal de la resolución de ecuaciones simbólicas llevó a Leonhard Euler a aceptar lo que entonces se consideraban raíces "sin sentido", como números negativos y números imaginarios, a finales del siglo XVIII.​ Sin embargo, los matemáticos europeos, en su mayoría, se resistieron a estos conceptos hasta mediados del siglo XIX.​

El Tratado de Álgebra de George Peacock de 1830 fue el primer intento de situar el álgebra sobre una base estrictamente simbólica. Distinguió una nueva álgebra simbólica, distinta de la antigua álgebra aritmética. Mientras que en el álgebra aritmética $a-b$ se restringe a $a\geq b$, en el álgebra simbólica todas las reglas de las operaciones se mantienen sin restricciones. Usando esto Peacock podía mostrar leyes como $(-a)(-b)=ab$, dejando $a=0,c=0$ en $(a-b)(c-d)=ac+bd-ad-bc$. Peacock utilizó lo que denominó el principio de la permanencia de formas equivalentes para justificar su argumento, pero su razonamiento adolecía del problema de la inducción.​ Por ejemplo, $sqrt{a}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}$ se cumple para los números reales no negativos, pero no para los números complejos generales.

Teoría de grupo primitiva

Varias áreas de las matemáticas llevaron al estudio de los grupos. El estudio de Lagrange de 1770 de las soluciones de la quíntica condujo al grupo de Galois de un polinomio. El estudio de Gauss de 1801 del pequeño teorema de Fermat condujo al anillo de enteros módulo n, el grupo multiplicativo de enteros módulo n, y los conceptos más generales de grupo cíclico y grupo abeliano. El programa Erlangen de Klein de 1872 estudió geometría y condujo a grupos de simetría como el grupo euclidiano y el grupo de transformación proyectiva. En 1874, Lie introdujo la teoría de los grupos de Lie, con el objetivo de desarrollar "la teoría de Galois de las ecuaciones diferenciales". En 1976, Poincaré y Klein introdujeron el grupo de transformaciones de Möbius, y sus subgrupos, como el grupo modular y el grupo de Fuch, basados en el trabajo sobre funciones automórficas en el análisis.​

El concepto abstracto de grupo surgió lentamente a mediados del siglo XIX. Galois en 1832 fue el primero en utilizar el término “grupo”,​ significando una colección de permutaciones cerradas bajo composición.​ El trabajo de Arthur Cayley Sobre la teoría de grupos publicado en 1854 definía un grupo como un conjunto con una operación de composición asociativa y la identidad 1, actualmente denominado un monoide.​ En 1870 Kronecker definió una operación binaria abstracta que era cerrada, conmutativa, asociativa y tenía la propiedad de cancelación izquierda $b\neq c\to a\cdot b\neq a\cdot c$,​ similares a las leyes modernas para un grupo abeliano finito.​ La definición de Weber de 1882 de un grupo era una operación binaria cerrada que era asociativa y tenía cancelación izquierda y derecha.​ Walther von Dyck en 1882 fue el primero en requerir elementos inversos como parte de la definición de un grupo.​

Definición, estructuras y ejemplos

Definición histórica

Birkhoff y McLane nos dicen:

"Se puede definir el álgebra abstracta como el estudio de las propiedades de los sistemas algebraicos que se conservan en los isomorfismos."

Vid pág. 37 de su Álgebra Moderna (1960), Barcelona

Históricamente, algunos temas surgieron en alguna disciplina diferente al álgebra -caso de espacios lineales y álgebra de Boole-. Posteriormente, han sido axiomatizadas y luego estudiadas de propio derecho en dicho marco. Por eso, esta materia tiene numerosas y fructíferas conexiones con todas las demás ramas de la matemática y fuera de ella.

Listado de estructuras (sistemas) algebraicos

• Con una sola ley de composición:
  • Magmas.
  • Semigrupos.
  • Cuasigrupos.
  • Monoides.
  • Grupos.

• Con dos o más leyes de composición:
  • Anillos y cuerpos.
  • Módulos y Espacios vectoriales.
  • Álgebras asociativas y Álgebras de Lie.
  • Retículos y álgebras de Boole.

El Álgebra universal es un campo de las matemáticas que provee del formalismo para comparar las diferentes estructuras algebraicas. Más allá de las estructuras anteriores pueden definirse otro tipo de estructuras algebraicas:

• Álgebra homológica.
• Lenguajes formales (concebidos como cadenas de signos bien formados).
• Álgebra sobre un cuerpo.

Un ejemplo

El estudio sistemático no es verdad pero del álgebra ha permitido a los matemáticos llevar bajo una descripción lógica común conceptos aparentemente distintos. Por ejemplo, podemos considerar dos operaciones bastante distintas: la composición de aplicaciones, $f(g(x))$, y el producto de matrices, $AB$. Estas dos operaciones son, de hecho, la misma. Podemos ver esto, informalmente, de la siguiente forma: multiplicar dos matrices cuadradas $(AB)$ por un vector de una columna, $x$. Esto, de hecho, define una función que es equivalente a componer $Ay$ con $Bx$ $Ay$ = $A(Bx)$ = $(AB)x$. Las funciones bajo composición y las matrices bajo multiplicación forman estructuras llamados monoides. Un monoide bajo operación es asociativo para todos sus elementos $((ab)c=a(bc))$ y contiene un elemento $e$ tal que, para cualquier valor de $a$, $ae=ea=a$. Ciertamente, que dos conjuntos isomorfos se consideran idénticos, lo que interesan son las operaciones y sus leyes en dichos conjuntos.

Bibliografía

• Fraleigh, John B.: Álgebra abstracta (1987).
• Herstein, I.N. Álgebra abstracta (1988).
• Gray, Jeremy (2018). A history of abstract algebra: from algebraic equations to modern algebra. Springer Undergraduate Mathematics Series. Cham, Switzerland. ISBN 978-3-319-94773-0. S2CID 125927783. doi:10.1007/978-3-319-94773-0. 
• Kimberling, Clark (1981). «Emmy Noether and Her Influence». En Brewer, James W; Smith, Martha K, eds. Emmy Noether: A Tribute to Her Life and Work. Marcel Dekker. pp. 3-61. 
• Kleiner, Israel (2007). Kleiner, Israel, ed. A history of abstract algebra. Boston, Mass.: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4685-1. doi:10.1007/978-0-8176-4685-1. 
• Monna, A. F. (1975), Dirichlet's principle: A mathematical comedy of errors and its influence on the development of analysis, Oosthoek, Scheltema & Holkema, ISBN 978-9031301751 .

Enlaces externos

• John Beachy: Abstract Algebra On Line, Lista de definiciones y teoremas, en inglés.
• Joseph Mileti: Mathematics Museum: Abstract Algebra, una buena introducción a la materia en términos sencillos, en inglés.

• Datos: Q159943
• Multimedia: Abstract algebra / Q159943