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Dominios fundamentales
de los grupos de puntos de reflexión 3D
, $[ ]= [1] C 1v$	, $[2] C 2v$	, $[3] C 3v$	, $[4] C 4v$	, $[5] C 5v$	, $[6] C 6v$
Orden 2	Orden 4	Orden 6	Orden 8	Orden 10	Orden 12
$[2]= [2,1] D 1h$	$[2,2] D 2h$	$[2,3] D 3h$	$[2,4] D 4h$	$[2,5] D 5h$	$[2,6] D 6h$
Orden 4	Orden 8	Orden 12	Orden 16	Orden 20	Orden 24
, $[3,3], T d$		, $[4,3], O h$		, $[5,3], I h$
Order 24		Order 48		Order 120
La notación de Coxeter expresa el grupo de Coxeter como una lista de órdenes de ramas de un diagrama de Coxeter-Dynkin, como grupo poliédrico, $= [p,q]$ . Los grupos diédricos, , se pueden expresar como un producto $[ ]\times[n]$ o en un solo símbolo con una rama explícita de orden 2, $[2, n]$ .

En geometría, la notación de Coxeter (también referida a los símbolos de Coxeter) es un sistema de clasificación de grupos de simetría, que describe los ángulos entre las reflexiones fundamentales de un grupo de Coxeter en una notación entre corchetes que expresa la estructura de un diagrama de Coxeter-Dynkin, con modificadores para indicar ciertos subgrupos. La notación lleva el nombre de Harold Scott MacDonald Coxeter y ha sido definida de manera más completa por Norman Johnson.

Grupos reflexivos

Véase también: Grupo puntual

Para los grupos de Coxeter, definidos por exclusivamente por operaciones de reflexión, existe una correspondencia directa entre la notación de corchetes y los diagramas de Coxeter-Dynkin. Los números entre paréntesis representan los órdenes de reflexión especular en las ramas del diagrama de Coxeter. Utiliza la misma simplificación, suprimiendo 2s entre espejos ortogonales.

La notación de Coxeter se simplifica con exponentes para representar el número de ramas en una fila para un diagrama lineal. Así que el grupo A_n está representado por [3ⁿ⁻¹], para implicar n nodos conectados por ramas n-1 de orden 3. El ejemplo A₂ = [3,3] = [3²] o [3^1,1] representa los diagramas o .

Coxeter inicialmente representó diagramas bifurcados con posición vertical de números, pero luego los abrevió con una notación exponencial, como [...,3^p,q] o [3^p,q,r], comenzando con [3^1,1,1] o [3,3^1,1] = o como D₄. Coxeter permitió ceros como casos especiales para ajustarse a la familia A_n, como A₃ = [3,3,3,3] = [3^4,0,0] = [3^4,0] = [3^3,1] = [3^2,2 ], como = = .

Los grupos de Coxeter formados por diagramas cíclicos se representan mediante paréntesis dentro de corchetes, como [(p,q,r)] = para grupo triangular (p q r). Si los órdenes de ramificación son iguales, se pueden agrupar como un exponente según la duración del ciclo entre paréntesis, como [(3,3,3,3)] = [3^[4]], que representa el diagrama de Coxeter o . se puede representar como [3,(3,3,3)] o [3,3^[3]].

Los diagramas de bucle más complicados también se pueden expresar con cuidado. paracompact Coxeter group se puede representar mediante la notación de Coxeter [(3,3,(3),3,3)], con paréntesis anidados/superpuestos que muestran dos bucles adyacentes [(3,3,3)], y también se representa de forma más compacta como [3^[ ]×[ ]], que representa el rhombic symmetry del diagrama de Coxeter. El diagrama de gráfico completo paracompacto o , se representa como [3^[3,3]] con el superíndice [3,3] como la simetría de su diagrama de coxeter tetraedro.

El diagrama de Coxeter normalmente deja ramas de orden 2 sin dibujar, pero la notación de paréntesis incluye un 2 explícito para conectar los subgráficos. Entonces, el diagrama de Coxeter = A₂×A₂ = 2A₂ se puede representar mediante [3]×[3] = [3]² = [3,2,3 ]. A veces, las 2 ramas explícitas pueden incluirse con una etiqueta 2 o con una línea con un espacio: o , como una presentación idéntica a [3,2,3].

Finite groups
Rank	Group symbol	Bracket notation	Coxeter diagram
2	A₂	[3]
2	B₂	[4]
2	H₂	[5]
2	G₂	[6]
2	I₂(p)	[p]
3	I_h, H₃	[5,3]
3	T_d, A₃	[3,3]
3	O_h, B₃	[4,3]
4	A₄	[3,3,3]
4	B₄	[4,3,3]
4	D₄	[3^1,1,1]
4	F₄	[3,4,3]
4	H₄	[5,3,3]
n	A_n	[3ⁿ⁻¹]	..
n	B_n	[4,3ⁿ⁻²]	...
n	D_n	[3^n−3,1,1]	...
6	E₆	[3^2,2,1]
7	E₇	[3^3,2,1]
8	E₈	[3^4,2,1]

Affine groups
Group symbol	Bracket notation	Diagrama de Coxeter-Dynkin
${\tilde {I}}_{1},{\tilde {A}}_{1}$	[∞]
${\tilde {A}}_{2}$	[3^[3]]
${\tilde {C}}_{2}$	[4,4]
${\tilde {G}}_{2}$	[6,3]
${\tilde {A}}_{3}$	[3^[4]]
${\tilde {B}}_{3}$	[4,3^1,1]
${\tilde {C}}_{3}$	[4,3,4]
${\tilde {A}}_{4}$	[3^[5]]
${\tilde {B}}_{4}$	[4,3,3^1,1]
${\tilde {C}}_{4}$	[4,3,3,4]
${\tilde {D}}_{4}$	[ 3^1,1,1,1]
${\tilde {F}}_{4}$	[3,4,3,3]
${\tilde {A}}_{n}$	[3^[n+1]]	... or ...
${\tilde {B}}_{n}$	[4,3ⁿ⁻³,3^1,1]	...
${\tilde {C}}_{n}$	[4,3ⁿ⁻²,4]	...
${\tilde {D}}_{n}$	[ 3^1,1,3ⁿ⁻⁴,3^1,1]	...
${\tilde {E}}_{6}$	[3^2,2,2]
${\tilde {E}}_{7}$	[3^3,3,1]
${\tilde {E}}_{8}=E_{9}$	[3^5,2,1]

Hyperbolic groups
Group symbol	Bracket notation	Coxeter diagram
	[p,q] with 2(p + q) < pq
	[(p,q,r)] with ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}<1$
${\overline {BH}}_{3}$	[4,3,5]
${\overline {K}}_{3}$	[5,3,5]
${\overline {J}}_{3},{\tilde {H}}_{3}$	[3,5,3]
${\overline {DH}}_{3}$	[5,3^1,1]
${\widehat {AB}}_{3}$	[(3,3,3,4)]
${\widehat {AH}}_{3}$	[(3,3,3,5)]
${\widehat {BB}}_{3}$	[(3,4,3,4)]
${\widehat {BH}}_{3}$	[(3,4,3,5)]
${\widehat {HH}}_{3}$	[(3,5,3,5)]
${\overline {H}}_{4},{\tilde {H}}_{4},H_{5}$	[3,3,3,5]
${\overline {BH}}_{4}$	[4,3,3,5]
${\overline {K}}_{4}$	[5,3,3,5]
${\overline {DH}}_{4}$	[5,3,3^1,1]
${\widehat {AF}}_{4}$	[(3,3,3,3,4)]

Para los grupos afines e hiperbólicos, el subíndice es uno menos que el número de nodos en cada caso, ya que cada uno de estos grupos se obtuvo sumando un nodo al diagrama de un grupo finito.

Subgrupos

La notación de Coxeter representa la simetría rotacional/traslacional agregando un operador de superíndice ⁺ fuera de los corchetes, [X]⁺ que corta el orden del grupo [X] a la mitad, por lo tanto, un subgrupo de índice 2. Este operador implica que se debe aplicar un número par de operadores, reemplazando reflexiones con rotaciones (o traslaciones). Cuando se aplica a un grupo de Coxeter, se denomina subgrupo directo porque lo que queda son solo isometrías directas sin simetría reflexiva.

Los operadores ⁺' también se pueden aplicar dentro de los corchetes, como [X,Y⁺] o [X,(Y,Z)⁺], y crea subgrupos "semidirectos" que pueden incluyen generadores reflectantes y no reflectantes. Los subgrupos semidirectos solo se pueden aplicar a los subgrupos de grupos de Coxeter que tienen ramas de orden pares adyacentes. A los elementos entre paréntesis dentro de un grupo de Coxeter se les puede dar un operador de superíndice ⁺, que tiene el efecto de dividir las ramas ordenadas adyacentes en medio orden, por lo que generalmente solo se aplica con números pares. Por ejemplo, [4,3⁺] y [4,(3,3)⁺] ().

Si se aplica con una rama impar adyacente, no crea un subgrupo de índice 2, sino que crea dominios fundamentales superpuestos, como [5,1⁺] = [5/2], que pueden definir polígonos doblemente envueltos como estrella pentagonal, 5 /2, y [5,3⁺] se relaciona con Schwarz triangle [5/2,3], density 2.

Examples on Rank 2 groups
Group	Order	Generators	Subgroup		Order	Generators	Notes
[p]	2p	{0,1}	[p]⁺		p	{01}	Direct subgroup
[2p⁺]= [2p]⁺	2p	{01}	[2p⁺]⁺= [2p]⁺²= [p]⁺		p	{0101}	Direct subgroup
[2p]	4p	{0,1}	[1⁺,2p]= [p]	= =	2p	{101,1}	Half subgroups
			[2p,1⁺]= [p]	= =	2p	{0,010}	Half subgroups
			[1⁺,2p,1⁺]= [2p]⁺²= [p]⁺	= =	p	{0101}	Quarter group

Los grupos sin elementos vecinos ⁺' se pueden ver en los nodos anillados. El diagrama de Coxeter-Dynkin para uniform polytope y el panal están relacionados con los nodos agujeros alrededor del ⁺ elementos, círculos vacíos con los nodos alternados eliminados. Entonces cubo romo, tiene simetría [4,3]⁺ (), y icosaedro, tiene simetría [4,3⁺] (), y un tetraedro, h4,3 = 3,3 ( o = ) tiene simetría [1⁺,4,3] = [3,3] ( o = = ).

Nota: Simetría tetraédrica se puede escribir como , separando el gráfico con espacios para mayor claridad, con los generadores 0,1,2 del grupo de Coxeter , produciendo generadores piritoédricos 0,12, una reflexión y rotación triple . Y la simetría tetraédrica quiral se puede escribir como o , [1⁺,4,3⁺] = [3,3]⁺, con generadores 12,0120.

Reducción a la mitad de subgrupos y grupos extendidos

Plantilla:See

Example halving operations

[1,4,1]= [4]	= = [1⁺,4,1]=[2]=[ ]×[ ]

= = [1,4,1⁺]=[2]=[ ]×[ ]	= = = [1⁺,4,1⁺]= [2]⁺

Johnson extiende el operador ⁺ para trabajar con un marcador de posición 1⁺ nodos, lo que elimina espejos, duplicando el tamaño del dominio fundamental y cortando el orden del grupo a la mitad.^[1] En general, esta operación solo se aplica a espejos individuales delimitados por ramas de orden par. El 1 representa un espejo, por lo que [2p] puede verse como [2p,1], [1,2p] o [1,2p,1], como el diagrama o , con 2 espejos relacionados por un ángulo diedro de orden 2p. El efecto de la eliminación de un espejo es duplicar los nodos de conexión, lo que se puede ver en los diagramas de Coxeter: = , o entre paréntesis: [1⁺,2p, 1] = [1,p,1] = [p].

Cada uno de estos espejos se puede quitar para que h[2p] = [1⁺,2p,1] = [1,2p,1⁺] = [p], un índice de subgrupo reflexivo 2. Esto se puede mostrar en un diagrama de Coxeter agregando un Símbolo ⁺ sobre el nodo: = = .

Si se eliminan ambos espejos, se genera un subgrupo de un cuarto, y el orden de la rama se convierte en un punto de giro de la mitad del orden:

q[2p] = [1⁺,2p,1⁺] = [p]⁺, un subgrupo rotacional de índice 4.

=

.

Por ejemplo, (con p=2): [4,1⁺] = [1⁺,4] = [2] = [ ]×[ ], orden 4. [1⁺,4,1⁺] = [2] ⁺, orden 2.

Lo opuesto a reducir a la mitad es duplicar^[2], que agrega un espejo, divide en dos un dominio fundamental y duplica el orden del grupo.

[[p]] = [2p]

Las operaciones de reducción a la mitad se aplican a grupos de mayor rango, como simetría tetraédrica es un medio grupo de simetría octaédrica: h[4,3] = [1⁺,4,3] = [3,3], eliminando la mitad de los espejos en las 4 ramas. El efecto de la eliminación de un espejo es duplicar todos los nodos de conexión, lo que se puede ver en los diagramas de Coxeter: = , h[2p,3] = [1⁺,2p,3] = [(p,3,3)] .

Si los nodos están indexados, la mitad de los subgrupos se pueden etiquetar con nuevos espejos como compuestos. Al igual que , los generadores 0,1 tienen un subgrupo = , generadores 1,010, donde se elimina el espejo 0 y se reemplaza por una copia del espejo 1 reflejada en el espejo 0. También dado , generadores 0,1,2 , tiene medio grupo = , generadores 1,2,010.

La duplicación mediante la adición de un espejo también se aplica al invertir la operación de reducción a la mitad: [[3,3]] = [4,3], o más generalmente [[(q,q,p)]] = [2p,q].

Simetría tetraédrica	Simetría octaédrica
T_d, [3,3]= [1⁺,4,3] = = (Order 24)	O_h, [4,3]= [[3,3]] (Order 48)

Subgrupos radicales

Johnson también agregó un operador asterisco o estrella * para subgrupos "radicales",^[3] que actúa de manera similar al operador ⁺, pero elimina la simetría rotacional. El índice del subgrupo radical es el orden del elemento eliminado. Por ejemplo, [4,3*] ? ??[2,2]. El subgrupo eliminado [3] es de orden 6, por lo que [2,2] es un subgrupo de índice 6 de [4,3].

Los subgrupos radicales representan la operación inversa a una operación extended symmetry. Por ejemplo, [4,3*] ? ??[2,2] y, al revés, [2,2] se puede extender como [3[2,2]] ? [4,3]. Los subgrupos se pueden expresar como un diagrama de Coxeter: o ? . El nodo eliminado (espejo) hace que los espejos virtuales adyacentes se conviertan en espejos reales.

Si [4,3] tiene generadores 0,1,2, [4,3⁺], índice 2, tiene generadores 0,12; [1⁺,4,3] ? [3,3], el índice 2 tiene generadores 010,1,2; mientras que el subgrupo radical [4,3*] ? ??[2,2], índice 6, tiene generadores 01210, 2, (012)³; y finalmente [1⁺,4,3*], el índice 12 tiene generadores 0(12)²0, (012)²01.

Subgrupos triónicos

Un subgrupo triónico es un subgrupo de índice 3. Johnson define un "subgrupo triónico" con el operador ?, índice 3. Para los grupos Coxeter de rango 2, [3], el subgrupo triónico, [3^⅄] es [ ], un solo espejo. Y para [3p], el subgrupo triónico es [3p]^⅄ ? [p]. Dado , con generadores 0,1, tiene 3 subgrupos triónicos. Se pueden diferenciar poniendo el símbolo ? junto al generador de espejos a eliminar, o en una rama para ambos: [3p,1^⅄] = = , = , y [3p ^⅄] = = con generadores 0,10101, 01010,1 o 101,010.

Trionic subgroups of tetrahedral symmetry: [3,3]^⅄ ? [2⁺,4], relacionando la simetría de tetraedro y disfenoide.

Para los grupos de Coxeter de rango 3, [p,3], hay un subgrupo triónico [p,3^⅄] ? [p/2,p], o = . Por ejemplo, el grupo finito [4,3^⅄] ? [2,4] y el grupo euclidiano [6,3^⅄] ? [3,6] y el grupo hiperbólico [8,3^⅄] ? [4,8].

Una rama adyacente de orden impar, p, no disminuirá el orden del grupo, sino que creará dominios fundamentales superpuestos. El orden del grupo permanece igual, mientras que el density aumenta. Por ejemplo, el simetría icosaédrica, [5,3], de los poliedros regulares icosaedro se convierte en [5/2,5], la simetría de 2 poliedros regulares en estrella. También relaciona las teselaciones hiperbólicas p,3 y star hyperbolic tilings p/2,p

Para el rango 4, [q,2p,3^⅄] = [2p,((p,q,q))], = .

Por ejemplo, [3,4,3^⅄] = [4,3,3], o = , generadores 0,1,2,3 en [3,4,3] con el subgrupo triónico [4,3 ,3] generadores 0,1,2,32123. Para grupos hiperbólicos, [3,6,3^⅄] = [6,3^[3]] y [4,4,3^⅄] = [4,4,4].

subgrupo triónicos de simetría tetraédrica

Johnson identificó dos subgrupos triónicos^[4] de [3,3], primero un subgrupo de índice 3 [3,3]^⅄ ? [2⁺,4], con [3,3] ( = = ) generadores 0,1,2. También se puede escribir como [(3,3,2^⅄)] () como recordatorio de sus generadores 02,1. Esta reducción de simetría es la relación entre el tetraedro regular y el disfenoide, representan un estiramiento de un tetraedro perpendicular a dos aristas opuestas.

En segundo lugar, identifica un subgrupo de índice 6 relacionado [3,3]^Δ o [(3,3,2^⅄)]⁺ (), índice 3 de [3,3]⁺ ? [2,2]⁺, con generadores 02 ,1021, de [3,3] y sus generadores 0,1,2.

Estos subgrupos también se aplican dentro de grupos de Coxeter más grandes con el subgrupo [3,3] con sucursales vecinas, todo en orden uniforme.

Por ejemplo, [(3,3)⁺,4], [(3,3)^⅄,4] y [(3,3)^Δ,4] son ??subgrupos de [3,3,4], índice 2, 3 y 6 respectivamente. Los generadores de [(3,3)^⅄,4] ? [[4,2,4]] ? [8,2⁺,8], orden 128, son 02,1,3 de [3,3,4] generadores 0,1,2 ,3. Y [(3,3)^Δ,4] ? [[4,2⁺,4]], orden 64, tiene generadores 02,1021,3. Además, [3^⅄,4,3^⅄] ? [(3,3)^⅄,4].

También relacionado [3^1,1,1] = [3,3,4,1⁺] tiene subgrupos triónicos: [3^1,1,1]^⅄ = [(3,3)^⅄,4,1⁺], orden 64 y 1=[3^1,1,1]^Δ = [( 3,3)^Δ,4,1⁺] ? [[ 4,2⁺,4]]⁺, orden 32.

Inversión central

A 2D central inversion is a 180 degree rotation, [2]⁺

Un simetría central, orden 2, es operativamente diferente por dimensión. El grupo [ ]ⁿ = [2ⁿ⁻¹] representa n espejos ortogonales en un espacio n-dimensional, o un subespacio variedad lineal de un espacio dimensional superior. Los espejos del grupo [2ⁿ⁻¹] están numerados Plantilla:Tmath. El orden de los espejos no importa en el caso de una inversión. La matriz de una inversión central es Plantilla:Tmath, la matriz Identidad con uno negativo en la diagonal.

A partir de esa base, la inversión central tiene un generador como producto de todos los espejos ortogonales. En la notación de Coxeter, este grupo de inversión se expresa agregando una alternancia ⁺ a cada rama 2. La simetría de alternancia está marcada en los nodos del diagrama de Coxeter como nodos abiertos.

Un Diagrama de Coxeter-Dynkin se puede marcar con 2 ramas explícitas que definen una secuencia lineal de espejos, nodos abiertos y nodos abiertos dobles compartidos para mostrar el encadenamiento de los generadores de reflexión.

Por ejemplo, [2⁺,2] y [2,2⁺] son ??subgrupos índice 2 de [2,2], , y se representan como (o ) y (o ) con generadores 01,2 y 0,12 respectivamente. Su índice de subgrupo común 4 es [2⁺,2⁺], y está representado por (o ), con el de doble apertura que marca un nodo compartido en las dos alternancias y un solo generador rotación impropia 012.

Dimension	Coxeter notation	Order	Operation	Generator
2	[2]⁺	2	180° rotation, C₂	{01}
3	[2⁺,2⁺]	2	rotación impropia, C_i or S₂	{012}
4	[2⁺,2⁺,2⁺]	2	rotaciones en el espacio euclídeo 4-dimensional	{0123}
5	[2⁺,2⁺,2⁺,2⁺]	2	double rotary reflection	{01234}
6	[2⁺,2⁺,2⁺,2⁺,2⁺]	2	triple rotation	{012345}
7	[2⁺,2⁺,2⁺,2⁺,2⁺,2⁺]	2	triple rotary reflection	{0123456}

Rotaciones y reflexiones rotatorias

Las rotaciones y los rotación impropia se construyen mediante un único producto de generador único de todas las reflexiones de un grupo prismático, [2p]×[2q]×... donde gcd(p ,q,...)=1, son isomorfos al abstracto grupo cíclico Z_n, de orden n=2pq.

Las dobles rotaciones de 4 dimensiones, [2p⁺,2⁺,2q⁺] (con gcd(p,q)=1), que incluyen un centro grupo, y están expresados ??por Conway como ±[C_p×C_q],^[5] orden 2pq. Del diagrama de Coxeter , generadores 0,1,2,3, requiere dos generadores para [2p⁺,2⁺,2q⁺], como 0123,0132. Medios grupos, [2p⁺,2⁺,2q⁺]⁺, o gráfico cíclico, [(2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺) ], expresado por Conway es [C_p×C_q], orden pq, con un generador, como 0123.

Si hay un factor común f, la doble rotación se puede escribir como ¹⁄_f[2pf⁺,2⁺,2qf⁺] (con gcd(p,' 'q)=1), generadores 0123,0132, orden 2pqf. Por ejemplo, p=q=1, f=2, ¹⁄₂[4⁺,2⁺,4⁺] es el orden 4. Y ¹⁄f[2pf⁺,2⁺, 2qf⁺]⁺, generador 0123, es orden pqf. Por ejemplo, ¹⁄₂[4⁺,2⁺,4⁺]⁺ es el pedido 2, un simetría central.

En general, un grupo de rotación n, [2p₁⁺,2,2p₂⁺,2,...,p_n⁺] puede requerir hasta n generadores si gcd(p₁,..,p_n)>1, como producto de todos los espejos, y luego intercambiando pares secuenciales. El medio grupo, [2p₁⁺,2,2p₂⁺,2,...,p_n⁺]⁺ tiene generadores al cuadrado. Los reflejos n-rotatorios son similares.

Examples
Dimension	Coxeter notation	Order	Operation	Generators	Direct subgroup
2	[2p]⁺	2p	Rotation	{01}	[2p]⁺²= [p]⁺	Simple rotation: [2p]⁺²= [p]⁺ order p
3	[2p⁺,2⁺]		rotación impropia	{012}	[2p⁺,2⁺]⁺= [p]⁺
4	[2p⁺,2⁺,2⁺]		rotaciones en el espacio euclídeo 4-dimensional	{0123}	[2p⁺,2⁺,2⁺]⁺= [p]⁺
5	[2p⁺,2⁺,2⁺,2⁺]		double rotary reflection	{01234}	[2p⁺,2⁺,2⁺,2⁺]⁺= [p]⁺
6	[2p⁺,2⁺,2⁺,2⁺,2⁺]		triple rotation	{012345}	[2p⁺,2⁺,2⁺,2⁺,2⁺]⁺= [p]⁺
7	[2p⁺,2⁺,2⁺,2⁺,2⁺,2⁺]		triple rotary reflection	{0123456}	[2p⁺,2⁺,2⁺,2⁺,2⁺,2⁺]⁺= [p]⁺
4	[2p⁺,2⁺,2q⁺]	2pq	double rotation	{0123, 0132}	[2p⁺,2⁺,2q⁺]⁺	Double rotation: [2p⁺,2⁺,2q⁺]⁺ order pq
5	[2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺]		double rotary reflection	{01234, 01243}	[2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺]⁺
6	[2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺,2⁺]		triple rotation	{012345, 012354, 013245}	[2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺,2⁺]⁺
7	[2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺,2⁺,2⁺]		triple rotary reflection	{0123456, 0123465, 0124356, 0124356}	[2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺,2⁺,2⁺]⁺
6	[2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺,2r⁺]	2pqr	triple rotation	{012345, 012354, 013245}	[2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺,2r⁺]⁺	Triple rotation: [2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺,2r⁺]⁺ order pqr
7	[2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺,2r⁺,2⁺]	2pqr	triple rotary reflection	{0123456, 0123465, 0124356, 0213456}	[2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺,2r⁺,2⁺]⁺	Triple rotation: [2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺,2r⁺]⁺ order pqr

Subgrupos de conmutadores

Los grupos simples con solo elementos de ramificación de orden impar tienen solo un único subgrupo rotacional/traslacional de orden 2, que también es el subgrupo conmutador, ejemplos [3,3]⁺, [3,5]⁺, [3,3,3]⁺ , [3,3,5]⁺. Para otros grupos de Coxeter con ramas de orden par, el subgrupo del conmutador tiene un índice 2^c, donde c es el número de subgráficos desconectados cuando se eliminan todas las ramas de orden par.^[6]

Por ejemplo, [4,4] tiene tres nodos independientes en el diagrama de Coxeter cuando se eliminan los '4, por lo que su subgrupo conmutador es el índice 2³ y puede tener diferentes representaciones, todas con tres ⁺ Operadores : [4⁺,4⁺]⁺, [1⁺,4,1⁺,4,1⁺], [1⁺,4,4,1⁺]⁺, o [(4⁺,4⁺,2⁺)]. Se puede usar una notación general con +c como exponente de grupo, como [4,4]⁺³.

Subgrupos de ejemplo

Subgrupos de ejemplo de rango 2

Los grupos Grupo diedral con órdenes pares tienen varios subgrupos. Este ejemplo muestra dos espejos generadores de [4] en rojo y verde, y observa todos los subgrupos por reducción a la mitad, reducción de rango y sus subgrupos directos. El grupo [4], tiene dos generadores de espejos 0 y 1. Cada uno genera dos espejos virtuales 101 y 010 por reflexión sobre el otro.

Subgroups of [4]
Index	1	2 (half)		4 (Rank-reduction)
Diagram
Coxeter	[1,4,1]= [4]	= = [1⁺,4,1]= [1⁺,4]= [2]	= = [1,4,1⁺]= [4,1⁺]= [2]	[2,1⁺]= [1]= [ ]	[1⁺,2]= [1]= [ ]
Generators	{0,1}	{101,1}	{0,010}	{0}	{1}
Direct subgroups
Index	2	4		8
Diagram
Coxeter	[4]⁺	= = = [4]⁺²= [1⁺,4,1⁺]= [2]⁺		[ ]⁺
Generators	{01}	{(01)²}		{0²}= {1²}= {(01)⁴}= {}

Rango 3 Subgrupos de ejemplos euclidianos

El grupo [4,4] tiene 15 subgrupos de índices pequeños. Esta tabla los muestra todos, con un dominio fundamental amarillo para grupos reflectantes puros y dominios blancos y azules alternos que se emparejan para formar dominios rotacionales. Las líneas especulares cian, roja y verde corresponden a los mismos nodos de color en el diagrama de Coxeter. Los generadores de subgrupos se pueden expresar como productos de los 3 espejos originales del dominio fundamental, 0,1,2, correspondientes a los 3 nodos del diagrama de Coxeter, . Un producto de dos líneas de reflexión que se cruzan hace una rotación, como 012, 12 o 02. La eliminación de un espejo genera dos copias de los espejos vecinos, a través del espejo eliminado, como 010 y 212. Dos rotaciones en serie reducen el orden de rotación a la mitad, como 0101 o (01)², 1212 o (02)². Un producto de los tres espejos crea un reflexión deslizada, como 012 o 120.

Small index subgroups of [4,4]
Index	1	2			4
Diagram
Coxeter	[1,4,1,4,1]= [4,4]	[1⁺,4,4] =	[4,4,1⁺] =	[4,1⁺,4] =	[1⁺,4,4,1⁺] =	[4⁺,4⁺]
Generators	{0,1,2}	{010,1,2}	{0,1,212}	{0,101,121,2}	{010,1,212,20102}	{(01)²,(12)²,012,120}
Orbifold	*442			*2222		22×
Semidirect subgroups
Index		2			4
Diagram
Coxeter		[4,4⁺]	[4⁺,4]	[(4,4,2⁺)] =	[4,1⁺,4,1⁺] = =	[1⁺,4,1⁺,4] = =
Generators		{0,12}	{01,2}	{02,1,212}	{0,101,(12)²}	{(01)²,121,2}
Orbifold		4*2		2*22
Direct subgroups
Index	2	4			8
Diagram
Coxeter	[4,4]⁺ =	[4,4⁺]⁺ =	[4⁺,4]⁺ =	[(4,4,2⁺)]⁺ =	[4,4]⁺³= [(4⁺,4⁺,2⁺)]= [1⁺,4,1⁺,4,1⁺]= [4⁺,4⁺]⁺ == = =
Generators	{01,12}	{(01)²,12}	{01,(12)²}	{02,(01)²,(12)²}	{(01)²,(12)²,2(01)²2}
Orbifold	442			2222
Radical subgroups
Index		8		16
Diagram
Coxeter		[4,4*] =	[4*,4] =	[4,4*]⁺ =	[4*,4]⁺ =
Orbifold		*2222		2222

Subgrupos hiperbólicos de ejemplo

El mismo conjunto de 15 pequeños subgrupos existe en todos los grupos de triángulos con elementos de orden par, como [6,4] en el plano hiperbólico:

Small index subgroups of [6,4]
Index	1	2			4
Diagram
Coxeter	[1,6,1,4,1]= [6,4]	[1⁺,6,4] =	[6,4,1⁺] =	[6,1⁺,4] =	[1⁺,6,4,1⁺] =	[6⁺,4⁺]
Generators	{0,1,2}	{010,1,2}	{0,1,212}	{0,101,121,2}	{010,1,212,20102}	{(01)²,(12)²,012}
Orbifold	*642	*443	*662	*3222	*3232	32×
Semidirect subgroups
Diagram
Coxeter		[6,4⁺]	[6⁺,4]	[(6,4,2⁺)]	[6,1⁺,4,1⁺] = = = =	[1⁺,6,1⁺,4] = = = =
Generators		{0,12}	{01,2}	{02,1,212}	{0,101,(12)²}	{(01)²,121,2}
Orbifold		4*3	6*2	2*32	2*33	3*22
Direct subgroups
Index	2	4			8
Diagram
Coxeter	[6,4]⁺ =	[6,4⁺]⁺ =	[6⁺,4]⁺ =	[(6,4,2⁺)]⁺ =	[6⁺,4⁺]⁺= [1⁺,6,1⁺,4,1⁺] = = =
Generators	{01,12}	{(01)²,12}	{01,(12)²}	{02,(01)²,(12)²}	{(01)²,(12)²,201012}
Orbifold	642	443	662	3222	3232
Radical subgroups
Index		8	12	16	24
Diagram
Generators		{0,101,21012,1210121}	{2,121,101020101,0102010, 010101020101010, 10101010201010101}
Coxeter (orbifold)		[6,4] = (3333)	[6,4] (222222)	[6,4*]⁺ = (3333)	[6*,4]⁺ (222222)

Simetría extendida

Grupo del papel pintado	Simetría del triángulo	Simetría extendida	Diagrama extendido	Grupo extendido	Panal
p3m1 (*333)	a1	[3^[3]]		${\tilde {A}}_{2}$	(ninguno)
p6m (*632)	i2	[[3^[3]]] ↔ [6,3]	↔	${\tilde {A}}_{2}\times 2\leftrightarrow {\tilde {G}}_{2}$	₁, ₂
p31m (3*3)	g3	[3⁺[3^[3]]] ↔ [6,3⁺]	↔	${\tilde {A}}_{2}\times 3\leftrightarrow {\tfrac {1}{2}}{\tilde {G}}_{2}$	(ninguno)
p6 (632)	r6	[3[3^[3]]]⁺ ↔ [6,3]⁺	↔	${\tfrac {1}{2}}{\tilde {A}}_{2}\times 6\leftrightarrow {\tfrac {1}{2}}{\tilde {G}}_{2}$	₍₁₎
p6m (*632)	r6	[3[3^[3]]] ↔ [6,3]	↔	${\tilde {A}}_{2}\times 6\leftrightarrow {\tilde {G}}_{2}$	₃

In the Euclidean plane, the

{\tilde {A}}_{2}

, [3^[3]] Coxeter group can be extended in two ways into the

{\tilde {G}}_{2}

, [6,3] Coxeter group and relates uniform tilings as ringed diagrams.

Véase también: Goursat tetrahedron#Extended symmetry

La notación de Coxeter incluye la notación de corchetes dobles, [[X]] para expresar la simetría automorphic dentro de un diagrama de Coxeter. Johnson agregó duplicación alternativa mediante un soporte en ángulo <[X]>. Johnson también agregó un modificador de simetría de prefijo [Y[X]], donde Y puede representar la simetría del diagrama de Coxeter de [X] o la simetría del dominio fundamental de [X].

Por ejemplo, en 3D estos diagramas de geometría equivalentes rectángulo y rhombic de ${\tilde {A}}_{3}$ : y , el primero duplicado entre corchetes, [[3^[4]]] o duplicado dos veces como [2[3^[4]]], con [2], simetría de orden 4 superior. Para diferenciar el segundo, se utilizan paréntesis angulares para doblar, <[3^[4]]> y doblar dos veces como <2[3^[4]]>, también con diferente [2], simetría de orden 4. Finalmente, una simetría completa donde los 4 nodos son equivalentes se puede representar mediante [4[3^[4]]], con la simetría de orden 8, [4] de square. Pero al considerar el dominio fundamental disfenoide, la [4] simetría extendida del gráfico cuadrado se puede marcar más explícitamente como [(2⁺,4)[3^[4]]] o [2⁺,4[3^[4]]].

Existe más simetría en los diagramas ${\tilde {A}}_{n}$ cíclico y $D_{3}$ , ${\tilde {E}}_{6}$ y ${\tilde {D}}_{4}$ de ramificación. ${\tilde {A}}_{n}$ tiene una simetría de orden 2n de un gon-n regular, {n}, y está representado por [n[3^[n]]]. $D_{3}$ y ${\tilde {E}}_{6}$ están representados por [3[3^1,1,1]]= [3,4,3] y [3[3^2,2,2]] respectivamente mientras que ${\tilde {D}}_{4}$ por [(3,3)[3^1,1,1,1]]= [3,3,4,3 ], con el diagrama que contiene la simetría de orden 24 del tetraedro regular, {3,3}. El grupo hiperbólico paracompacto ${\bar {L}}_{5}$ = [3^1,1,1,1,1], , contiene la simetría de un pentácoron, {3,3,3}, y por lo tanto está representado por [(3,3,3)[3^1,1,1,1,1]]= [3,4, 3,3,3].

Un superíndice asterisco * es efectivamente una operación inversa, creando "subgrupos radicales" eliminando espejos conectados de orden impar.^[7]

Ejemplos:

Example Extended groups and radical subgroups

Extended groups	Radical subgroups	Diagrama de Coxeter-Dynkins	Index
[3[2,2]]= [4,3]	[4,3*]= [2,2]	=	6
[(3,3)[2,2,2]]= [4,3,3]	[4,(3,3)*]= [2,2,2]	=	24
[1[3^1,1]]= [[3,3]]= [3,4]	[3,4,1⁺]= [3,3]	=	2
[3[3^1,1,1]]= [3,4,3]	[3*,4,3]= [3^1,1,1]	=	6
[2[3^1,1,1,1]]= [4,3,3,4]	[1⁺,4,3,3,4,1⁺]= [3^1,1,1,1]	=	4
[3[3,3^1,1,1]]= [3,3,4,3]	[3*,4,3,3]= [3^1,1,1,1]	=	6
[(3,3)[3^1,1,1,1]]= [3,4,3,3]	[3,4,(3,3)*]= [3^1,1,1,1]	=	24
[2[3,3^1,1,1,1]]= [3,(3,4)^1,1]	[3,(3,4,1⁺)^1,1]= [3,3^1,1,1,1]	=	4
[(2,3)[^1,13^1,1,1]]= [4,3,3,4,3]	[3*,4,3,3,4,1⁺]= [3^1,1,1,1,1]	=	12
[(3,3)[3,3^1,1,1,1]]= [3,3,4,3,3]	[3,3,4,(3,3)*]= [3^1,1,1,1,1]	=	24
[(3,3,3)[3^1,1,1,1,1]]= [3,4,3,3,3]	[3,4,(3,3,3)*]= [3^1,1,1,1,1]	=	120

Extended groups	Radical subgroups	Coxeter diagrams	Index
[1[3^[3]]]= [3,6]	[3,6,1⁺]= [3^[3]]	=	2
[3[3^[3]]]= [6,3]	[6,3*]= [3^[3]]	=	6
[1[3,3^[3]]]= [3,3,6]	[3,3,6,1⁺]= [3,3^[3]]	=	2
[(3,3)[3^[3,3]]]= [6,3,3]	[6,(3,3)*]= [3^[3,3]]	=	24
[1[∞]²]= [4,4]	[4,1⁺,4]= [∞]²= [∞,2,∞]	=	2
[2[∞]²]= [4,4]	[1⁺,4,4,1⁺]= [(4,4,2*)]= [∞]²	=	4
[4[∞]²]= [4,4]	[4,4*]= [∞]²	=	8
[2[3^[4]]]= [4,3,4]	[1⁺,4,3,4,1⁺]= [(4,3,4,2*)]= [3^[4]]	= =	4
[3[∞]³]= [4,3,4]	[4,3*,4]= [∞]³= [∞,2,∞,2,∞]	=	6
[(3,3)[∞]³]= [4,3^1,1]	[4,(3^1,1)*]= [∞]³	=	24
[(4,3)[∞]³]= [4,3,4]	[4,(3,4)*]= [∞]³	=	48
[(3,3)[∞]⁴]= [4,3,3,4]	[4,(3,3)*,4]= [∞]⁴	=	24
[(4,3,3)[∞]⁴]= [4,3,3,4]	[4,(3,3,4)*]= [∞]⁴	=	384

En cuanto a los generadores, se considera que la doble simetría agrega un nuevo operador que mapea posiciones simétricas en el diagrama de Coxeter, lo que hace que algunos generadores originales sean redundantes. Para grupo espacial 3D y grupos de puntos 4D, Coxeter define un subgrupo de índice dos de [[X]], [[X]⁺], que define como el producto de los generadores originales de [X] por el generador de duplicación. Esto se parece a [[X]]⁺, que es el subgrupo quiral de [[X]]. Por ejemplo, los grupos espaciales 3D [[4,3,4]]⁺ (I432, 211) y [[4,3,4]⁺] (Pm3n, 223) son subgrupos distintos de [[4,3,4]] (Im3m, 229).

Rango uno grupos

Véase también: One-dimensional symmetry group

En una dimensión, el grupo bilateral [ ] representa una simetría de un solo espejo, abstracta Dih₁ o Z₂, simetría order 2. Se representa como un Diagrama de Coxeter-Dynkin con un solo nodo , . El identity group es el subgrupo directo [ ]⁺, Z₁, orden de simetría 1. El superíndice + simplemente implica que se ignoran los reflejos alternativos del espejo, dejando el grupo de identidad en este caso más simple. Coxeter usó un solo nodo abierto para representar una alternancia, .

Group	Coxeter notation	Diagrama de Coxeter-Dynkin	Order	Description
C₁	[ ]⁺		1	Identity
D₂	[ ]		2	Reflection group

Clasifique dos grupos

Véase también: Point groups in two dimensions

En dos dimensiones, el grupo rectangular [2], abstracto D₂² o D₄, también se puede representar como un producto directo [ ]×[ ], siendo el producto de dos grupos bilaterales, representa dos espejos ortogonales, con diagrama de Coxeter, , con order 4. El 2 en [2] proviene de la linealización de los subgrafos ortogonales en el diagrama de Coxeter, como con orden de ramificación explícito 2. El grupo rómbico, [2]⁺ ( o ), la mitad del grupo rectangular, la simetría simetría central, Z₂, orden 2.

Notación de Coxeter para permitir un marcador de posición 1 para grupos de menor rango, por lo que [1] es lo mismo que [ ], y [1⁺] o [1]⁺ es lo mismo que [ ]⁺ y el diagrama de Coxeter .

El grupo p-gonal completo [p], abstracto grupo diedral D_2p, (nonabelian para p>2), de order 2p, es generado por dos espejos en ángulo π' '/p, representada por el diagrama de Coxeter . El subgrupo p-gonal [p]⁺, grupo cíclico''Z_p, de orden p, generado por un ángulo de rotación de π/ pags.

La notación de Coxeter utiliza corchetes dobles para representar una "duplicación" de simetría automorphic al agregar un espejo bisectriz a fundamental domain. Por ejemplo, [[p]] agrega un espejo bisectriz a [p] y es isomorfo a [2p].

En el límite, bajando a una dimensión, se obtiene el grupo completo apeirógonoal cuando el ángulo llega a cero, por lo que [∞], en abstracto, el infinite dihedral group D_∞, representa dos espejos paralelos y tiene un diagrama de Coxeter . El apeirogonal group [∞]⁺, , de forma abstracta el infinito grupo cíclico Z_∞, isomorphic al grupo aditivo de número entero, se genera mediante una única traducción distinta de cero.

En el plano hiperbólico, hay un grupo completo apeirógonoal [iπ/λ] y un subgrupo pseudogonal [iπ/λ]⁺, . Estos grupos existen en polígonos regulares de lados infinitos, con longitud de borde λ. Los espejos son todos ortogonales a una sola línea.

Example rank 2 finite and hyperbolic symmetries
Type	Finite					Affine	Hyperbolic
Geometry					...
Coxeter	[ ]	= [2]=[ ]×[ ]	[3]	[4]	[p]	[∞]	[∞]	[iπ/λ]
Order	2	4	6	8	2p	∞
Mirror lines are colored to correspond to Coxeter diagram nodes. Fundamental domains are alternately colored.
Even images (direct)					...
Odd images (inverted)					...
Coxeter	[ ]⁺	[2]⁺	[3]⁺	[4]⁺	[p]⁺	[∞]⁺	[∞]⁺	[iπ/λ]⁺
Order	1	2	3	4	p	∞
Cyclic subgroups represent alternate reflections, all even (direct) images.

Group	Intl	Orbifold	Coxeter	Order	Description
Finite
Z_n	n	n•	[n]⁺	n	Cyclic: n-fold rotations. Abstract group Z_n, the group of integers under addition modulo n.
D_2n	nm	*n•	[n]	2n	Dihedral: cyclic with reflections. Abstract group Dih_n, the grupo diedral.
Affine
Z_∞	∞	∞•	[∞]⁺	∞	Cyclic: apeirogonal group. Abstract group Z_∞, the group of integers under addition.
Dih_∞	∞m	*∞•	[∞]	∞	Dihedral: parallel reflections. Abstract infinite dihedral group Dih_∞.
Hyperbolic
Z_∞			[πi/λ]⁺	∞	pseudogonal group
Dih_∞			[πi/λ]	∞	full pseudogonal group

Clasifique tres grupos

Véanse también: Point groups in three dimensions y List of spherical symmetry groups.

Los grupos de puntos en 3 dimensiones se pueden expresar entre corchetes relacionados con los grupos de Coxeter de rango 3:

Finite groups of isometries in 3-space^[2]
Rotation groups						Extended groups
Name	Bracket	Orb	Sch	Abstract	Order	Name	Bracket	Orb	Sch	Abstract	Order
Identity	[ ]⁺	11	C₁	Z₁	1	Bilateral	[1,1]= [ ]	*	D₂	Z₂	2
Identity	[ ]⁺	11	C₁	Z₁	1	Central	[2⁺,2⁺]	×	C_i	2×Z₁	2
Acrorhombic	[1,2]⁺= [2]⁺	22	C₂	Z₂	2	Acrorectangular	[1,2]= [2]	*22	C_2v	D₄	4
						Gyrorhombic	[2⁺,4⁺]	2×	S₄	Z₄	4
						Orthorhombic	[2,2⁺]	2*	D_1d	Z₂×Z₂	4
Pararhombic	[2,2]⁺	222	D₂	D₄	4	Gyrorectangular	[2⁺,4]	2*2	D_2d	D₈	8
Pararhombic	[2,2]⁺	222	D₂	D₄	4	Orthorectangular	[2,2]	*222	D_2h	Z₂×D₄	8
Acro-p-gonal	[1,p]⁺= [p]⁺	pp	C_p	Z_p	p	Full acro-p-gonal	[1,p]= [p]	*pp	C_pv	D_2p	2p
						Gyro-p-gonal	[2⁺,2p⁺]	p×	S_2p	Z_2p	2p
						Ortho-p-gonal	[2,p⁺]	p*	C_ph	Z₂×Z_p	2p
Para-p-gonal	[2,p]⁺	p22	D_2p	D_2p	2p	Full gyro-p-gonal	[2⁺,2p]	2*p	D_pd	D_4p	4p
Para-p-gonal	[2,p]⁺	p22	D_2p	D_2p	2p	Full ortho-p-gonal	[2,p]	*p22	D_ph	Z₂×D_2p	4p
Tetrahedral	[3,3]+	332	T	A₄	12	Full tetrahedral	[3,3]	*332	T_d	S₄	24
Tetrahedral	[3,3]+	332	T	A₄	12	Pyritohedral	[3⁺,4]	3*2	T_h	2×A₄	24
Octahedral	[3,4]⁺	432	O	S₄	24	Full octahedral	[3,4]	*432	O_h	2×S₄	48
Icosahedral	[3,5]⁺	532	I	A₅	60	Full icosahedral	[3,5]	*532	I_h	2×A₅	120

En tres dimensiones, el grupo ortorrómbico completo u ortorrectangular [2,2], de forma abstracta Z₂³, order 8, representa tres espejos ortogonales (también representados por el diagrama de Coxeter como tres puntos separados ). También se puede representar como producto directo [ ]×[ ]×[ ], pero la expresión [2,2] permite definir subgrupos:

Primero hay un subgrupo "semidirecto", el grupo ortorrómbico, [2,2⁺] ( o ), abstractamente Z₂×Z₂, de orden 4. Cuando el + El superíndice se encuentra dentro de los corchetes, lo que significa que los reflejos generados solo por los espejos adyacentes (como se define en el diagrama de Coxeter, ) se alternan. En general, las órdenes de rama vecinas al nodo +' deben ser pares. En este caso [2,2⁺] y [2⁺,2] representan dos subgrupos isomorfos que son geométricamente distintos. Los otros subgrupos son el grupo pararómbico [2,2]⁺ ( o ), también de orden 4, y finalmente el central group [2⁺,2⁺] ( o ) de orden 2.

Luego está el grupo orto-p-gonal completo, [2,p] (), abstractamente Z₂×D_2p, de orden 4p, que representa dos espejos en un ángulo diedro π/p' ', y ambos son ortogonales a un tercer espejo. También está representado por el diagrama de Coxeter como .

El subgrupo directo se denomina grupo para-p-gonal, [2,p]⁺ ( o ), en abstracto D_2p, de orden 2p, y otro subgrupo es [2,p⁺] () en abstracto Z₂ ×Z_p, también de orden 2p.

El grupo giro-p-gonal completo, [2⁺,2p] ( o ), en abstracto D_4p, de orden 4p. El grupo giro-p-gonal, [2⁺,2p⁺] ( o ), abstractamente Z_2p, de orden 2p es un subgrupo de ambos [2⁺,2 p] y [2,2p⁺].

Los grupo poliédrico se basan en la simetría de los sólidos platónicos: tetraedro, octaedro, cubo, icosaedro y dodecaedro, con Símbolo de Schläfli {3,3}, {3,4}, {4,3}, {3,5} y { 5,3} respectivamente. Los grupos de Coxeter para estos son: [3,3] (), [3,4] (), [3,5] () llamados simetría tetraédrica, simetría octaédrica y simetría icosaédrica completos, con órdenes de 24, 48 y 120.

En todas estas simetrías, los reflejos alternos se pueden eliminar produciendo los grupos rotacionales tetraédricos [3,3]⁺(), octaédricos [3,4]⁺ () e icosaédricos [3,5]⁺ () de orden 12 , 24 y 60. El grupo octaédrico también tiene un subgrupo único de índice 2 llamado grupo simetría tetraédrica, [3⁺,4] ( o ), de orden 12, con una mezcla de simetría rotacional y reflexiva. La simetría piritoédrica también es un subgrupo de índice 5 de simetría icosaédrica: --> , con un espejo virtual 1 a través de 0', {010} y rotación triple {12}.

El grupo tetraédrico, [3,3] (), tiene un [[3,3]] duplicado (que se puede representar con nodos coloreados ), mapeando el primer y el último espejo entre sí, y esto produce el [3,4] ( o grupo ). El subgrupo [3,4,1⁺] ( o ) es igual a [3,3] y [3⁺,4,1⁺] ( o ) es igual a [3,3]⁺.

Example rank 3 finite Coxeter groups subgroup trees
Simetría tetraédrica	Simetría octaédrica

Simetría icosaédrica

Finite (grupos de puntos en tres dimensiones)

Intl*	Geo ^[8]	Orb.	Schön.	Struct.	Coxeter		Ord.
1	1	1	C₁	Z₁	[]= [ ]⁺	=	1
2= m	1	*	C_s	Z₂	[ ]		2
2 3 4 5 6 n	2 3 4 5 6 n	22 33 44 55 66 nn	C₂ C₃ C₄ C₅ C₆ C_n	Z₂ Z₃ Z₄ Z₅ Z₆ Z_n	[1,2]⁺ [1,3]⁺ [1,4]⁺ [1,5]⁺ [1,6]⁺ [1,n]⁺		2 3 4 5 6 n
2mm 3m 4mm 5m 6mm nmm nm	2 3 4 5 6 n	22 33 44 55 66 nn	C_2v C_3v C_4v C_5v C_6v C_nv	D₂ D₃ D₄ D₅ D₆ D_n	[1,2] [1,3] [1,4] [1,5] [1,6] [1,n]		4 6 8 10 12 2n
2/m 3/m 4/m 5/m 6/m n/m	2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 n 2	2* 3* 4* 5* 6* n*	C_2h C_3h C_4h C_5h C_6h C_nh	Z₂×Z₂ Z₂×Z₃ Z₂×Z₄ Z₂×Z₅ Z₂×Z₆ Z₂×Z_n	[2,2⁺] [2,3⁺] [2,4⁺] [2,5⁺] [2,6⁺] [2,n⁺]		4 6 8 10 12 2n
1 4 3 8 5 12 2n n	2 2 4 2 6 2 8 2 10 2 12 2 2n 2	1× 2× 3× 4× 5× 6× n×	C_i= S₂ S₄ S₆ S₈ S₁₀ S₁₂ S_2n	Z₂ Z₄ Z₆=Z₂×Z₃ Z₈ Z₁₀=Z₂×Z₅ Z₁₂ Z_2n	[2⁺,2⁺] [2⁺,4⁺] [2⁺,6⁺] [2⁺,8⁺] [2⁺,10⁺] [2⁺,12⁺] [2⁺,2n⁺]		2 4 6 8 10 12 2n

Intl	Geo	Orb.	Schön.	Struct.	Coxeter	Ord.
222 32 422 52 622 n22 n2	2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 n 2	222 223 224 225 226 22n	D₂ D₃ D₄ D₅ D₆ D_n	D₄ D₆ D₈ D₁₀ D₁₂ D_2n	[2,2]⁺ [2,3]⁺ [2,4]⁺ [2,5]⁺ [2,6]⁺ [2,n]⁺	4 6 8 10 12 2n
mmm 6m2 4/mmm 10m2 6/mmm n/mmm 2nm2	2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 n 2	222 223 224 225 226 22n	D_2h D_3h D_4h D_5h D_6h D_nh	Z₂×D₄ Z₂×D₆ Z₂×D₈ Z₂×D₁₀ Z₂×D₁₂ Z₂×D_2n	[2,2] [2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2,n]	8 12 16 20 24 4n
42m 3m 82m 5m 122m 2n2m nm	4 2 6 2 8 2 10 2 12 2 n 2	22 23 24 25 26 2n	D_2d D_3d D_4d D_5d D_6d D_nd	D₄ D₆ D₈ D₁₀ D₁₂ D_2n	[2⁺,4] [2⁺,6] [2⁺,8] [2⁺,10] [2⁺,12] [2⁺,2n]	8 12 16 20 24 4n
23	3 3	332	T	A₄	[3,3]⁺	12
m3	4 3	3*2	T_h	A₄×S₂	[3⁺,4]	24
43m	3 3	*332	T_d	S₄	[3,3]	24
432	4 3	432	O	S₄	[3,4]⁺	24
m3m	4 3	*432	O_h	S₄×S₂	[3,4]	48
532	5 3	532	I	A₅	[3,5]⁺	60
53m	5 3	*532	I_h	A₄×S₂	[3,5]	120

Afín

Véase también: Anexo:Grupos de simetría plana

En el plano euclidiano hay 3 grupos fundamentales de reflexión generados por 3 espejos, representados por los diagramas de Coxeter , y , y reciben la notación de Coxeter como [4,4], [6,3] y [(3,3, 3)]. Los paréntesis del último grupo implican el ciclo del diagrama y también tiene una notación abreviada [3^[3]].

[[4,4]] como una duplicación del grupo [4,4] produjo la misma simetría girada π/4 desde el conjunto original de espejos.

Los subgrupos directos de simetría rotacional son: [4,4]⁺, [6,3]⁺ y [(3,3,3)]⁺. [4⁺,4] y [6,3⁺] son subgrupos semidirectos.

Semiaffine (friso (matemáticas)s)
IUC	Orb.	Geo	Sch.	Coxeter
p1	∞∞	p1	C_∞	[∞]= [∞,1]⁺= [∞⁺,2,1⁺]	=
p1m1	*∞∞	p1	C_∞v	[∞]= [∞,1]= [∞,2,1⁺]	=
p11g	∞×	p._g1	S_2∞	[∞⁺,2⁺]
p11m	∞*	p. 1	C_∞h	[∞⁺,2]
p2	22∞	p2	D_∞	[∞,2]⁺
p2mg	2*∞	p2_g	D_∞d	[∞,2⁺]
p2mm	*22∞	p2	D_∞h	[∞,2]

Affine (Grupo del papel pintados)
IUC	Orb.	Geo.	Coxeter
p2	2222	p2	[4,1⁺,4]⁺
p2gg	22×	p_g2_g	[4⁺,4⁺]
p2mm	*2222	p2	[4,1⁺,4]
c2mm	2*22	c2	[[4⁺,4⁺]]
p4	442	p4	[4,4]⁺
p4gm	4*2	p_g4	[4⁺,4]
p4mm	*442	p4	[4,4]
p3	333	p3	[1⁺,6,3⁺]= [3^[3]]⁺	=
p3m1	*333	p3	[1⁺,6,3]= [3^[3]]	=
p31m	3*3	h3	[6,3⁺]= [3[3^[3]]⁺]
p6	632	p6	[6,3]⁺= [3[3^[3]]]⁺
p6mm	*632	p6	[6,3]= [3[3^[3]]]

Dado en notación de Coxeter (orbifold notation), algunos subgrupos afines de bajo índice son:

Reflective group	Reflective subgroup	Mixed subgroup	Rotation subgroup	Rotación impropia/ traducción	Commutator subgroup
[4,4], (*442)	[1⁺,4,4], (442) [4,1⁺,4], (2222) [1⁺,4,4,1⁺], (*2222)	[4⁺,4], (42) [(4,4,2⁺)], (222) [1⁺,4,1⁺,4], (2*22)	[4,4]⁺, (442) [1⁺,4,4⁺], (442) [1⁺,4,1⁺4,1⁺], (2222)	[4⁺,4⁺], (22×)	[4⁺,4⁺]⁺, (2222)
[6,3], (*632)	[1⁺,6,3]= [3^[3]], (*333)	[3⁺,6], (3*3)	[6,3]⁺, (632) [1⁺,6,3⁺], (333)		[1⁺,6,3⁺], (333)

Clasifique cuatro grupos

Subgroup relations

Grupos de puntos

Véase también: Point groups in four dimensions

Los cuatro grupos de rango definieron los grupo puntual de 4 dimensiones:

Grupos finitos

[ ]:
Símbolo	Orden
[1]⁺	1.1
[1]= [ ]	2.1

[2]:
Símbolo	Orden
[1⁺,2]⁺	1.1
[2]⁺	2.1
[2]	4.1

[2,2]:
Símbolo	Orden
[2⁺,2⁺]⁺ = [(2⁺,2⁺,2⁺)]	1.1
[2⁺,2⁺]	2.1
[2,2]⁺	4.1
[2⁺,2]	4.1
[2,2]	8.1

[2,2,2]:
Símbolo	Orden
[(2⁺,2⁺,2⁺,2⁺)] = [2⁺,2⁺,2⁺]⁺	1.1
[2⁺,2⁺,2⁺]	2.1
[2⁺,2,2⁺]	4.1
[(2,2)⁺,2⁺]	4
[[2⁺,2⁺,2⁺]]	4
[2,2,2]⁺	8
[2⁺,2,2]	8.1
[(2,2)⁺,2]	8
[[2⁺,2,2⁺]]	8.1
[2,2,2]	16.1
[[2,2,2]]⁺	16
[[2,2⁺,2]]	16
[[2,2,2]]	32

[p]:
Símbolo	Orden
[p]⁺	p
[p]	2p

[p,2]:
Símbolo	Orden
[p,2]⁺	2p
[p,2]	4p

[2p,2⁺]:
Símbolo	Orden
[2p,2⁺]	4p
[2p⁺,2⁺]	2p

[p,2,2]:
Símbolo	Orden
[p⁺,2,2⁺]	2p
[(p,2)⁺,2⁺]	2p
[p,2,2]⁺	4p
[p,2,2⁺]	4p
[p⁺,2,2]	4p
[(p,2)⁺,2]	4p
[p,2,2]	8p

[2p,2⁺,2]:
Símbolo	Orden
[2p⁺,2⁺,2⁺]⁺	p
[2p⁺,2⁺,2⁺]	2p
[2p⁺,2⁺,2]	4p
[2p⁺,(2,2)⁺]	4p
[2p,(2,2)⁺]	8p
[2p,2⁺,2]	8p

[p,2,q]:
Símbolo	Orden
[p⁺,2,q⁺]	pq
[p,2,q]⁺	2pq
[p⁺,2,q]	2pq
[p,2,q]	4pq
Símbolo	Orden
[(p,2)⁺,2q⁺]	2pq
[(p,2)⁺,2q]	4pq

[2p,2,2q]:
Símbolo	Orden
[2p⁺,2⁺,2q⁺]⁺= [(2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺)]	pq
[2p⁺,2⁺,2q⁺]	2pq
[2p,2⁺,2q⁺]	4pq
[((2p,2)⁺,(2q,2)⁺)]	4pq
[2p,2⁺,2q]	8pq

[[p,2,p]]:
Símbolo	Orden
[[p⁺,2,p⁺]]	2p²
[[p,2,p]]⁺	4p²
[[p,2,p]⁺]	4p²
[[p,2,p]]	8p²

[[2p,2,2p]]:
Símbolo	Orden
[[(2p⁺,2⁺,2p⁺,2⁺)]]	2p²
[[2p⁺,2⁺,2p⁺]]	4p²
[[((2p,2)⁺,(2p,2)⁺)]]	8p²
[[2p,2⁺,2p]]	16p²

[3,3,2]:
Símbolo	Orden
[(3,3)^Δ,2,1⁺] ≅ [2,2]⁺	4
[(3,3)^Δ,2] ≅ [2,(2,2)⁺]	8
[(3,3)^⅄,2,1⁺] ≅ [4,2⁺]	8
[(3,3)⁺,2,1⁺] = [3,3]⁺	12.5
[(3,3)^⅄,2] ≅ [2,4,2⁺]	16
[3,3,2,1⁺] = [3,3]	24
[(3,3)⁺,2]	24.10
[3,3,2]⁺	24.10
[3,3,2]	48.36

[4,3,2]:
Símbolo	Orden
[1⁺,4,3⁺,2,1⁺] = [3,3]⁺	12
[3⁺,4,2⁺]	24
[(3,4)⁺,2⁺]	24
[1⁺,4,3⁺,2] = [(3,3)⁺,2]	24.10
[3⁺,4,2,1⁺] = [3⁺,4]	24.10
[(4,3)⁺,2,1⁺] = [4,3]⁺	24.15
[1⁺,4,3,2,1⁺] = [3,3]	24
[1⁺,4,(3,2)⁺] = [3,3,2]⁺	24
[3,4,2⁺]	48
[4,3⁺,2]	48.22
[4,(3,2)⁺]	48
[(4,3)⁺,2]	48.36
[1⁺,4,3,2] = [3,3,2]	48.36
[4,3,2,1⁺] = [4,3]	48.36
[4,3,2]⁺	48.36
[4,3,2]	96.5

[5,3,2]:
Símbolo	Orden
[(5,3)⁺,2,1⁺] = [5,3]⁺	60.13
[5,3,2,1⁺] = [5,3]	120.2
[(5,3)⁺,2]	120.2
[5,3,2]⁺	120.2
[5,3,2]	240 (nc)

[3^1,1,1]:
Símbolo	Orden
[3^1,1,1]^Δ ≅[[ 4,2⁺,4]]⁺	32
[3^1,1,1]^⅄	64
[3^1,1,1]⁺	96.1
[3^1,1,1]	192.2
<[3,3^1,1]> = [4,3,3]	384.1
[3[3^1,1,1]] = [3,4,3]	1152.1

[3,3,3]:
Símbolo	Orden
[3,3,3]⁺	60.13
[3,3,3]	120.1
[[3,3,3]]⁺	120.2
[[3,3,3]⁺]	120.1
[[3,3,3]]	240.1

[4,3,3]:
Símbolo	Orden
[1⁺,4,(3,3)^Δ] = [3^1,1,1]^Δ ≅[[ 4,2⁺,4]]⁺	32
[4,(3,3)^Δ] = [2⁺,4[2,2,2]⁺] ≅[[ 4,2⁺,4]]	64
[1⁺,4,(3,3)^⅄] = [3^1,1,1]^⅄	64
[1⁺,4,(3,3)⁺] = [3^1,1,1]⁺	96.1
[4,(3,3)^⅄] ≅ [[4,2,4]]	128
[1⁺,4,3,3] = [3^1,1,1]	192.2
[4,(3,3)⁺]	192.1
[4,3,3]⁺	192.3
[4,3,3]	384.1

[3,4,3]:
Símbolo	Orden
[3⁺,4,3⁺]	288.1
[3,4,3^⅄] = [4,3,3]	384.1
[3,4,3]⁺	576.2
[3⁺,4,3]	576.1
[[3⁺,4,3⁺]]	576 (nc)
[3,4,3]	1152.1
[[3,4,3]]⁺	1152 (nc)
[[3,4,3]⁺]	1152 (nc)
[[3,4,3]]	2304 (nc)

[5,3,3]:
Símbolo	Orden
[5,3,3]⁺	7200 (nc)
[5,3,3]	14400 (nc)

Subgrupos

1D-4D reflective point groups and subgroups
Order	Reflection	Semidirect subgroups			Direct subgroups	Commutator subgroup
2	[ ]				[ ]⁺	[ ]⁺¹	[ ]⁺
4	[2]				[2]⁺	[2]⁺²
8	[2,2]	[2⁺,2]	[2⁺,2⁺]		[2,2]⁺	[2,2]⁺³
16	[2,2,2]	[2⁺,2,2] [(2,2)⁺,2]	[2⁺,2⁺,2] [(2,2)⁺,2⁺] [2⁺,2⁺,2⁺]		[2,2,2]⁺ [2⁺,2,2⁺]	[2,2,2]⁺⁴
16	[2^1,1,1]		[(2⁺)^1,1,1]			[2,2,2]⁺⁴
2n	[n]				[n]⁺	[n]⁺¹	[n]⁺
4n	[2n]				[2n]⁺	[2n]⁺²
4n	[2,n]	[2,n⁺]			[2,n]⁺	[2,n]⁺²
8n	[2,2n]	[2⁺,2n]	[2⁺,2n⁺]		[2,2n]⁺	[2,2n]⁺³
8n	[2,2,n]	[2⁺,2,n] [2,2,n⁺]	[2⁺,(2,n)⁺]		[2,2,n]⁺ [2⁺,2,n⁺]	[2,2,n]⁺³
16n	[2,2,2n]	[2,2⁺,2n]	[2⁺,2⁺,2n] [2,2⁺,2n⁺] [(2,2)⁺,2n⁺] [2⁺,2⁺,2n⁺]		[2,2,2n]⁺ [2⁺,2n,2⁺]	[2,2,2n]⁺⁴
	[2,2n,2]		[2⁺,2n⁺,2⁺]
	[2n,2^1,1]		[2n⁺,(2⁺)^1,1]
24	[3,3]				[3,3]⁺	[3,3]⁺¹	[3,3]⁺
48	[3,3,2]	[(3,3)⁺,2]			[3,3,2]⁺	[3,3,2]⁺²
48	[4,3]	[4,3⁺]			[4,3]⁺	[4,3]⁺²
96	[4,3,2]	[(4,3)⁺,2] [4,(3,2)⁺]			[4,3,2]⁺	[4,3,2]⁺³
96	[3,4,2]	[3,4,2⁺] [3⁺,4,2]	[(3,4)⁺,2⁺]		[3⁺,4,2⁺]	[4,3,2]⁺³
120	[5,3]				[5,3]⁺	[5,3]⁺¹	[5,3]⁺
240	[5,3,2]	[(5,3)⁺,2]			[5,3,2]⁺	[5,3,2]⁺²	[5,3]⁺
4pq	[p,2,q]	[p⁺,2,q]			[p,2,q]⁺ [p⁺,2,q⁺]	[p,2,q]⁺²	[p⁺,2,q⁺]
8pq	[2p,2,q]	[2p,(2,q)⁺]	[2p⁺,(2,q)⁺]		[2p,2,q]⁺	[2p,2,q]⁺³
16pq	[2p,2,2q]	[2p,2⁺,2q]	[2p⁺,2⁺,2q] [2p⁺,2⁺,2q⁺] [(2p,(2,2q)⁺,2⁺)]	-	[2p,2,2q]⁺	[2p,2,2q]⁺⁴
120	[3,3,3]				[3,3,3]⁺	[3,3,3]⁺¹	[3,3,3]⁺
192	[3^1,1,1]				[3^1,1,1]⁺	[3^1,1,1]⁺¹	[3^1,1,1]⁺
384	[4,3,3]	[4,(3,3)⁺]			[4,3,3]⁺	[4,3,3]⁺²	[3^1,1,1]⁺
1152	[3,4,3]	[3⁺,4,3]			[3,4,3]⁺ [3⁺,4,3⁺]	[3,4,3]⁺²	[3⁺,4,3⁺]
14400	[5,3,3]				[5,3,3]⁺	[5,3,3]⁺¹	[5,3,3]⁺

Grupos espaciales

Space groups
Affine isomorphism and correspondences	8 cubic space groups as extended symmetry from [3^[4]], with square Coxeter diagrams and reflective fundamental domains	35 cubic space groups in International, Fibrifold notation, and Coxeter notation

Grupos de rango cuatro como grupos espaciales tridimensionales

Triclínico (1-2)
Coxeter	Grupo espacial
[∞⁺,2,∞⁺,2,∞⁺]	(1) P1

Monoclínico (3-15)
Coxeter	Grupo espacial
[(∞,2,∞)⁺,2,∞⁺]	(3) P2
[∞⁺,2,∞⁺,2,∞]	(6) Pm
[(∞,2,∞)⁺,2,∞]	(10) P2/m

Ortorrómbico (16-74)
Coxeter	Grupo espacial
[∞,2,∞,2,∞]⁺	(16) P222
[[∞,2,∞,2,∞]]⁺	(23) I222
[∞⁺,2,∞,2,∞]	(25) Pmm2
[∞,2,∞,2,∞]	(47) Pmmm
[[∞,2,∞,2,∞]]	(71) Immm
[∞⁺,2,∞⁺,2,∞⁺]
[∞,2,∞,2⁺,∞]
[∞,2⁺,∞,2⁺,∞]

Tetragonal (75-142)
Coxeter	Grupo espacial
[(4,4)⁺,2,∞⁺]	(75) P4
[2⁺[(4,4)⁺,2,∞⁺]]	(79) I4
[(4,4)⁺,2,∞]	(83) P4/m
[2⁺[(4,4)⁺,2,∞]]	(87) I4/m
[4,4,2,∞]⁺	(89) P422
[2⁺[4,4,2,∞]]⁺	(97) I422
[4,4,2,∞⁺]	(99) P4mm
[4,4,2,∞]	(123) P4/mmm
[2⁺[4,4,2,∞]]	(139) I4/mmm
[4,(4,2)⁺,∞]	(140) I4/mcm
[4,4,2⁺,∞]
[(4,4)⁺,2⁺,∞]
[4,4,2⁺,∞⁺]
[(4,4)⁺,2⁺,∞⁺]
[4⁺,4⁺,2⁺,∞]
[4,4⁺,2,∞]
[4,4⁺,2⁺,∞]
[((4,2⁺,4)),2,∞]
[4,4⁺,2,∞⁺]
[4,4⁺,2⁺,∞⁺]
[((4,2⁺,4)),2,∞⁺]

Trigonal (143-167), romboedral
Coxeter	Grupo espacial

Hexagonal (168-194)
[(6,3)⁺,2,∞⁺]	(168) P6
[(6,3)⁺,2,∞]	(175) P6/m
[6,3,2,∞]⁺	(177) P622
[6,3,2,∞⁺]	(183) P6mm
[6,3,2,∞]	(191) P6/mmm
[(3^[3])⁺,2,∞⁺]
[3^[3],2,∞]
[6,3⁺,2,∞]
[6,3⁺,2,∞⁺]
[3^[3],2,∞]⁺
[3^[3],2,∞⁺]
[(3^[3])⁺,2,∞]

Cúbico (195-230)
Group	Coxeter	Grupo espacial	Índice
[[4,3,4]]	[[4,3,4]]	(229) Im3m	1
	[[4,3,4]]⁺	(211) I432	2
	[[4,3,4]⁺]	(223) Pm3n	2
	[[4,3⁺,4]]	(204) I3	2
	[[(4,3,4,2⁺)]]	(217) I43m	2
	[[4,3⁺,4]]⁺	(197) I23	4
	[[4,3,4]⁺]⁺	(208) P4₂32	4
	[[4,3⁺,4)]⁺]	(201) Pn43	4
	[[(4,3,4,2⁺)]⁺]	(218) P43n	4
[4,3,4]	[4,3,4]	(221) Pm3m	2
	[4,3,4]⁺	(207) P432	4
	[4,3⁺,4]	(200) Pm3	4
	[4,(3,4)⁺]	(226) Fm3c	4
	[(4,3,4,2⁺)]	(215) P43m	4
	[[{4,(3}⁺,4)⁺]]	(228) Fd3c	4
	[4,3⁺,4]⁺	(195) P23	8
	[{4,(3}⁺,4)⁺]	(219) F43c	8
[4,3^1,1]	[4,3^1,1]	(225) Fm3m	4
	[4,(3^1,1)⁺]	(202) Fm3	8
	[4,3^1,1]⁺	(209) F432	8
[[3^[4]]]
	[(4⁺,2⁺)[3^[4]]]	(222) Pn3n	2
	[[3^[4]]]	(227) Fd3m	4
	[[3^[4]]]⁺	(203) Fd3	8
	[[3^[4]]⁺]	(210) F4₁32	8
[3^[4]]	[3^[4]]	(216) F43m	8
[3^[4]]	[3^[4]]⁺	(196) F23	16

Grupos de línea

Los grupos de rango cuatro también definieron los line group tridimensionales:

Semiaffine (3D) groups
Point group			Line group
Hermann-Mauguin		Schönflies	Hermann-Mauguin		Offset type	Wallpaper			Coxeter [∞_h,2,p_v]
Even n	Odd n	Schönflies	Even n	Odd n	Offset type	IUC	Orbifold	Diagram	Coxeter [∞_h,2,p_v]
n		C_n	Pn_q		Helical: q	p1	o		[∞⁺,2,n⁺]
2n	n	S_2n	P2n	Pn	None	p11g, pg(h)	××		[(∞,2)⁺,2n⁺]
n/m	2n	C_nh	Pn/m	P2n	None	p11m, pm(h)	**		[∞⁺,2,n]
2n/m		C_2nh	P2n_n/m		Zigzag	c11m, cm(h)	*×		[∞⁺,2⁺,2n]
nmm	nm	C_nv	Pnmm	Pnm	None	p1m1, pm(v)	**		[∞,2,n⁺]
nmm	nm	C_nv	Pncc	Pnc	Planar reflection	p1g1, pg(v)	××		[∞⁺,(2,n)⁺]
2nmm		C_2nv	P2n_nmc		Zigzag	c1m1, cm(v)	*×		[∞,2⁺,2n⁺]
n22	n2	D_n	Pn_q22	Pn_q2	Helical: q	p2	2222		[∞,2,n]⁺
2n2m	nm	D_nd	P2n2m	Pnm	None	p2mg, pmg(h)	22*		[(∞,2)⁺,2n]
2n2m	nm	D_nd	P2n2c	Pnc	Planar reflection	p2gg, pgg	22×		[⁺(∞,(2),2n)⁺]
n/mmm	2n2m	D_nh	Pn/mmm	P2n2m	None	p2mm, pmm	*2222		[∞,2,n]
n/mmm	2n2m	D_nh	Pn/mcc	P2n2c	Planar reflection	p2mg, pmg(v)	22*		[∞,(2,n)⁺]
2n/mmm		D_2nh	P2n_n/mcm		Zigzag	c2mm, cmm	2*22		[∞,2⁺,2n]

Grupo duoprismático

Extended duoprismatic symmetry

Extended duoprismatic groups, [p]×[p] or [p,2,p] or , expressed in relation to its disfenoide fundamental domain symmetry.

Los grupos de rango cuatro definieron los grupos duoprismáticos de 4 dimensiones. En el límite cuando p y q van al infinito, degeneran en 2 dimensiones y los grupos de papel tapiz.

Duoprismatic groups (4D)
Wallpaper			Coxeter [p,2,q]	Coxeter [[p,2,p]]	Wallpaper
IUC	Orbifold	Diagram	Coxeter [p,2,q]	Coxeter [[p,2,p]]	IUC	Orbifold	Diagram
p1	o		[p⁺,2,q⁺]	[[p⁺,2,p⁺]]	p1	o
pg	××		[(p,2)⁺,2q⁺]	-
pm	**		[p⁺,2,q]	-
cm	*×		[2p⁺,2⁺,2q]	-
p2	2222		[p,2,q]⁺	[[p,2,p]]⁺	p4	442
pmg	22*		[(p,2)⁺,2q]	-
pgg	22×		[⁺(2p,(2),2q)⁺]	[[⁺(2p,(2),2p)⁺]]	cmm	2*22
pmm	*2222		[p,2,q]	[[p,2,p]]	p4m	*442
cmm	2*22		[2p,2⁺,2q]	[[2p,2⁺,2p]]	p4g	4*2

Grupos de papel tapiz

Los grupos de rango cuatro también definieron algunos de los grupo del papel pintado bidimensionales, como casos límite de los grupos de duoprisma de cuatro dimensiones:

Affine (2D plane)

IUC	Orb.	Geo	Coxeter
p1	o	p1	[∞⁺,2,∞⁺]
			[∞⁺,2⁺,∞⁺]
			[(∞⁺,2⁺,∞⁺,2⁺)]
p2	2222	p2	[∞,2,∞]⁺
p2	2222	p2	[(∞,2⁺,∞,2⁺)]
p11g	××	p_g1	h: [∞⁺,(2,∞)⁺]
p1g1	××	p_g1	v: [(∞,2)⁺,∞⁺]
p2gm	22*	p_g2	h: [(∞,2)⁺,∞]
p2mg	22*	p_g2	v: [∞,(2,∞)⁺]

IUC	Orb.	Geo	Coxeter
p11m	**	p1	h: [∞⁺,2,∞]
p1m1	**	p1	v: [∞,2,∞⁺]
p2mm	*2222	p2	[∞,2,∞]
c11m	*×	c1	h: [∞⁺,2⁺,∞]
c1m1	*×	c1	v: [∞,2⁺,∞⁺]
p2gg	22×	p_g2_g	[⁺(∞,(2),∞)⁺] [((∞,2)⁺)^[2]]
c2mm	2*22	c2	[∞,2⁺,∞]

Los subgrupos de [8,2,8], (*2222) se pueden expresar hasta su subgrupo de conmutador de índice 16:

Subgroups of [∞,2,∞]
Reflective group	Reflective subgroup	Mixed subgroup	Rotation subgroup	Rotación impropia/ traducción	Commutator subgroup
[∞,2,∞], (*2222)	[1⁺,∞,2,∞], (*2222)	[∞⁺,2,∞], (**)	[∞,2,∞]⁺, (2222)	[∞,2⁺,∞]⁺, (°) [∞⁺,2⁺,∞⁺], (°) [∞⁺,2,∞⁺], (°) [∞⁺,2⁺,∞], (*×) [(∞,2)⁺,∞⁺], (××) [((∞,2)⁺,(∞,2)⁺)], (22×)	[(∞⁺,2⁺,∞⁺,2⁺)], (°)
[∞,2,∞], (*2222)	[1⁺,∞,2,∞], (*2222)	[∞,2⁺,∞], (222) [(∞,2)⁺,∞], (22)	[∞,2,∞]⁺, (2222)		[(∞⁺,2⁺,∞⁺,2⁺)], (°)

Reflexiones complejas

La notación de Coxeter se ha ampliado a Complex space, Cⁿ, donde los nodos son unitary reflection del período 2 o superior. Los nodos están etiquetados por un índice, que se supone que es 2 para la reflexión real ordinaria si se suprime. Los Complex reflection group se denominan Shephard group en lugar de Grupo de Coxeter y se pueden utilizar para construir complex polytope.

En $\mathbb {C} ^{1}$ , un grupo de pastores de rango 1 , orden p, se representa como _p[ ], [ ]_p o ]_p[. Tiene un solo generador, representando una rotación de 2π/p radianes en el Plano complejo: $e^{2\pi i/p}$ .

Coxeter escribe el grupo complejo de rango 2, _p[q]_r representa Diagrama de Coxeter-Dynkin . La p y la r solo deben suprimirse si ambas son 2, que es el caso real [q]. El orden de un grupo de rango 2 _p[q]_r es $g=8/q(1/p+2/q+1/r-1)^{-2}$ .^[9]

Las soluciones de rango 2 que generan polígonos complejos son: _p[4]₂ (p es 2,3,4,...), ₃[3]₃ , ₃[6]₂, ₃[4]₃, ₄[3]₄, ₃[8]₂, ₄ (045)[6]₂, ₄[4]₃, ₃[5]₃, ₅[3]₅, ₃ )[10]₂, ₅[6]₂ y ₅[4]₃ con diagramas de Coxeter , , , , , , , , , , , , .

Los grupos infinitos son ₃[12]₂, ₄[8]₂, ₆[6]₂, ₃[6]₃, ₆[4]₃, ₄[4]₄ y ₆[3]₆ o , , , , , , .

Los subgrupos del índice 2 existen al eliminar un reflejo real: _p[2q]₂ → _p[q]_p. También existen subgrupos de índice r para 4 ramas: _p[4]_r → _p[r]_p.

Para la familia infinita _p[4]₂, para cualquier p= 2, 3, 4,..., hay dos subgrupos: _p[4]₂ → [p], índice p, while y _p[4]₂ → _p[ ]×_p[ ], índice 2.

Cálculo con matrices de reflexión como generadores de simetría

Un grupo de Coxeter, representado por Diagrama de Coxeter-Dynkin , recibe la notación de Coxeter [p,q] para las órdenes de rama. Cada nodo en el diagrama de Coxeter representa un espejo, por convención llamado ?_i (y matriz R_i). Los generadores de este grupo [p,q] son ??reflexiones: ?₀, ?₁ y ?₂. La subsimetría rotacional se da como productos de reflexiones: Por convención, s_0,1 (y la matriz S_0,1)= ?₀?₁ representa una rotación del ángulo p/p, y s_1,2= ?₁?₂ es una rotación del ángulo p/q, y s_0,2= ?₀?₂ representa una rotación de ángulo p/2.

[p,q]⁺, , es un subgrupo de índice 2 representado por dos generadores de rotación, cada uno de los cuales es producto de dos reflexiones: s_0,1, s_1,2, y representa rotaciones de p/p y p/q' ' ángulos respectivamente.

Con una rama par, [p⁺,2q], o , es otro subgrupo de índice 2, representado por el generador de rotación s_0,1, y reflexivo ?₂.

Con ramas pares, [2p⁺,2q⁺], , es un subgrupo de índice 4 con dos generadores, construido como un producto de las tres matrices de reflexión: Por convención como: ?_0,1,2 y ?_1,2,0, que son rotación impropia, que representan una reflexión y una rotación o reflexión.

En el caso de grupos afines de Coxeter como o , un espejo, generalmente el último, se traslada fuera del origen. Un generador translation t_0,1 (y una matriz T_0,1) se construye como el producto de dos (o un número par de) reflejos, incluido el reflejo afín. Un reflexión deslizada (reflexión más traslación) puede ser el producto de un número impar de reflexiones f_0,1,2 (y matriz V_0,1,2), como el subgrupo de índice 4 : [4⁺,4⁺]= .

Otro generador compuesto, por convención como ? (y matriz Z), representa el inversion, asignando un punto a su inversa. Para [4,3] y [5,3], ?= (?₀?₁?₂)^h/2, donde h es 6 y 10 respectivamente, el Coxeter number para cada familia. Para el grupo de Coxeter 3D [p,q] (), este subgrupo es un reflejo giratorio [2⁺,h⁺].

Los grupos de Coxeter se clasifican por su rango, siendo el número de nodos en su Diagrama de Coxeter-Dynkin. La estructura de los grupos también se proporciona con sus tipos de grupos abstractos: en este artículo, los grupo diedral abstractos se representan como Dih_n, y los grupo cíclico se representan como Z_n, con Dih₁ =Z₂.

Rango 2

Grupo diedrals	Grupo cíclicos
[2]	[2]⁺
[3]	[3]⁺
[4]	[4]⁺
[6]	[6]⁺

Ejemplo, en 2D, el grupo de Coxeter [p] () está representado por dos matrices de reflexión R₀ y R₁, la simetría cíclica [p]⁺ () está representada por el generador de rotación de la matriz S_0,1 .

[p],
	Reflections		Rotation
Name	R₀	R₁	S_0,1=R₀×R₁
Order	2	2	p
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p\\\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p\\-\sin 2\pi /p&\cos 2\pi /p\\\end{smallmatrix}}\right]$

[2],
	Reflections		Rotation
Name	R₀	R₁	S_0,1=R₀×R₁
Order	2	2	2
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$

[3],
	Reflections		Rotation
Name	R₀	R₁	S_0,1=R₀×R₁
Order	2	2	3
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&{\sqrt {3}}/2\\{\sqrt {3}}/2&-1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&{\sqrt {3}}/2\\-{\sqrt {3}}/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$

[4],
	Reflections		Rotation
Name	R₀	R₁	S_0,1=R₀×R₁
Order	2	2	4
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$

[6],
	Reflections		Rotation
Name	R₀	R₁	S_0,1=R₀×R₁
Order	2	2	6
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\sqrt {3}}/2&1/2\\1/2&-{\sqrt {3}}/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\sqrt {3}}/2&1/2\\-1/2&{\sqrt {3}}/2\\\end{smallmatrix}}\right]$

[8],
	Reflections		Rotation
Name	R₀	R₁	S_0,1=R₀×R₁
Order	2	2	8
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2\\{\sqrt {2}}/2&-{\sqrt {2}}/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2\\-{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2\\\end{smallmatrix}}\right]$

Rango 3

Los grupos de Coxeter de rango finito 3 son [1,p], [2,p], [3,3], [3,4] y [3,5].

Reflejar un punto a través de un plano $ax+by+cz=0$ (que pasa por el origen), se puede usar $\mathbf {A} =\mathbf {I} -2\mathbf {NN} ^{T}$ , donde $\mathbf {I}$ es la matriz identidad 3×3 y $\mathbf {N}$ es el vector unitario tridimensional para el vector normal del plano. Si el Norma vectorial de $a,b,$ y $c$ es la unidad, la matriz de transformación se puede expresar como:

\mathbf {A} =\left[{\begin{smallmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}\end{smallmatrix}}\right]

[p,2]

El grupo reflexivo finito tridimensional reducible es grupo diedral, [p,2], orden 4p, . Los generadores de reflexión son las matrices R₀, R₁, R₂. R₀²=R₁²=R₂²=(R₀×R₁)³=(R₁×R₂)³=(R₀×R₂)²=Identidad. [p,2]⁺ () se genera mediante 2 de 3 rotaciones: S_0,1, S_1,2 y S_0,2. Una orden p rotación impropia es generada por V_0,1,2, el producto de las 3 reflexiones.

[p,2],
	Reflections			Rotation			Rotoreflection
Name	R₀	R₁	R₂	S_0,1	S_1,2	S_0,2	V_0,1,2
Group
Order	2	2	2	p	2		2p
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0\\\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0\\-\sin 2\pi /p&\cos 2\pi /p&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0\\-\sin 2\pi /p&\cos 2\pi /p&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&-\sin 2\pi /p&0\\-\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$

[3,3]

El grupo reflexivo finito tridimensional irreducible más simple es simetría tetraédrica, [3,3], orden 24, . Los generadores de reflexión, a partir de una construcción D₃=A₃, son las matrices R₀, R₁, R₂. R₀²=R₁²=R₂²=(R₀×R₁)³=(R₁×R₂)³=(R₀×R₂)²=Identidad. [3,3]⁺ () se genera mediante 2 de 3 rotaciones: S_0,1, S_1,2 y S_0,2. Un trionic subgroup, isomorfo a [2⁺,4], orden 8, es generado por S_0,2 y R₁. Vrotación impropia genera una orden 4 _0,1,2, el producto de las 3 reflexiones.

[3,3],
	Reflections			Rotations			Rotoreflection
Name	R₀	R₁	R₂	S_0,1	S_1,2	S_0,2	V_0,1,2
Name
Order	2	2	2	3		2	4
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&0&-1\\0&-1&0\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$
	(0,1,−1)_n	(1,−1,0)_n	(0,1,1)_n	(1,1,1)_axis	(1,1,−1)_axis	(1,0,0)_axis

[4,3]

Otro grupo reflexivo finito tridimensional irreducible es simetría octaédrica, [4,3], orden 48, . Las matrices generadoras de reflexión son R₀, R₁, R₂. R₀²=R₁²=R₂²=(R₀×R₁)⁴=(R₁×R₂)³=(R₀×R₂)²=Identidad. La simetría octaédrica quiral, [4,3]⁺, () se genera mediante 2 de 3 rotaciones: S_0,1, S_1,2 y S_0,2. Simetría tetraédrica [4,3⁺], () se genera mediante la reflexión R₀ y la rotación S_1,2. Vrotación impropia genera un _0,1,2 de 6 veces, el producto de los 3 reflejos.

[4,3],
	Reflections			Rotations			Rotoreflection
Name	R₀	R₁	R₂	S_0,1	S_1,2	S_0,2	V_0,1,2
Group
Order	2	2	2	4	3	2	6
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$
	(0,0,1)_n	(0,1,−1)_n	(1,−1,0)_n	(1,0,0)_axis	(1,1,1)_axis	(1,−1,0)_axis

[5,3]

Un grupo reflexivo finito tridimensional irreducible final es simetría icosaédrica, [5,3], orden 120, . Las matrices generadoras de reflexión son R₀, R₁, R₂. R₀²=R₁²=R₂²=(R₀×R₁)⁵=(R₁×R₂)³=(R₀×R₂)²=Identidad. [5,3]⁺ () se genera mediante 2 de 3 rotaciones: S_0,1, S_1,2 y S_0,2. Vrotación impropia genera un _0,1,2 de 10 veces, el producto de los 3 reflejos.

[5,3],
	Reflections			Rotations			Rotoreflection
Name	R₀	R₁	R₂	S_0,1	S_1,2	S_0,2	V_0,1,2
Group
Order	2	2	2	5	3	2	10
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$
	(1,0,0)_n	(φ,1,φ−1)_n	(0,1,0)_n	(φ,1,0)_axis	(1,1,1)_axis	(1,0,0)_axis

Rango 4

Plantilla:See Hay 4 Grupo de Coxeter irreducibles en 4 dimensiones: [3,3,3], [4,3,3], [3^1,1,1], [3,4,4], [5,3,3], así como un infinito familia de grupos duoprismáticos [p,2,q].

[p,2,q]

El grupo duprismático, [p,2,q], tiene orden 4pq.

[p,2,q],
	Reflections
Name	R₀	R₁	R₂	R₃
Group element
Order	2	2	2	2
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0&0\\\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos 2\pi /q&\sin 2\pi /q\\0&0&\sin 2\pi /q&-\cos 2\pi /q\\\end{smallmatrix}}\right]$

[[ p,2,p]]

El grupo duoprismático puede duplicarse en orden, hasta 8p², con una rotación de 2 veces entre los dos planos.

[[ p,2,p]],
	Rotation	Reflections
Name	T	R₀	R₁	R₂=TR₁T	R₃=TR₀T
Element
Order	2	2	2
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0&0\\\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0&-1\\0&0&-1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p\\0&0&\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p\\\end{smallmatrix}}\right]$

[3,3,3]

Hypertetrahedral symmetry, [3,3,3], order 120, is easiest to represent with 4 mirrors in 5-dimensions, as a subgroup of [4,3,3,3].

[3,3,3],
	Reflections				Rotations						Rotoreflections		Double rotation
Name	R₀	R₁	R₂	R₃	S_0,1	S_1,2	S_2,3	S_0,2	S_1,3	S_2,3	V_0,1,2	V_0,1,3	W_0,1,2,3
Name
Order	2	2	2	2	3			2			4	6	5
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&1&0&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\1&0&0&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$
	(0,0,0,1,-1)_n	(0,0,1,−1,0)_n	(0,1,−1,0,0)_n	(1,−1,0,0,0)_n

[[pentácoron]]

The extended group [[pentácoron]], order 240, is doubled by a 2-fold rotation matrix T, here reversing coordinate order and sign: There are 3 generators {T, R₀, R₁}. Since T is self-reciprocal R₃=TR₀T, and R₂=TR₁T.

[[pentácoron]],
	Rotation	Reflections
Name	T	R₀	R₁	TR₁T=R₂	TR₀T=R₃
Element group
Order	2	2	2	2	2
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0&0&-1\\0&0&0&-1&0\\0&0&-1&0&0\\0&-1&0&0&0\\-1&0&0&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
		(0,0,0,1,-1)_n	(0,0,1,−1,0)_n	(0,1,−1,0,0)_n	(1,−1,0,0,0)_n

[4,3,3]

A irreducible 4-dimensional finite reflective group is hyperoctahedral group (or hexadecachoric group (for hexadecacoron), B₄=[4,3,3], order 384, . The reflection generators matrices are R₀, R₁, R₂, R₃. R₀²=R₁²=R₂²=R₃²=(R₀×R₁)⁴=(R₁×R₂)³=(R₂×R₃)³=(R₀×R₂)²=(R₁×R₃)²=(R₀×R₃)²=Identity.

Chiral hyperoctahedral symmetry, [4,3,3]⁺, () is generated by 3 of 6 rotations: S_0,1, S_1,2, S_2,3, S_0,2, S_1,3, and S_0,3. Hyperpyritohedral symmetry [4,(3,3)⁺], () is generated by reflection R₀ and rotations S_1,2 and S_2,3. An 8-fold rotaciones en el espacio euclídeo 4-dimensional is generated by W_0,1,2,3, the product of all 4 reflections.

[4,3,3],
	Reflections				Rotations						Rotoreflection				Double rotation
Name	R₀	R₁	R₂	R₃	S_0,1	S_1,2	S_2,3	S_0,2	S_1,3	S_0,3	V_1,2,3	V_0,1,3	V_0,1,2	V_0,2,3	W_0,1,2,3
Group
Order	2	2	2	2	4	3		2			4		6		8
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\-1&0&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$
	(0,0,0,1)_n	(0,0,1,−1)_n	(0,1,−1,0)_n	(1,−1,0,0)_n

[3,3^1,1]

A half group of [4,3,3] is [3,3^1,1], , order 192. It shares 3 generators with [4,3,3] group, but has two copies of an adjacent generator, one reflected across the removed mirror.

[3,3^1,1],
	Reflections
Name	R₀	R₁	R₂	R₃
Group
Order	2	2	2	2
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$
	(1,−1,0,0)_n	(0,1,−1,0)_n	(0,0,1,−1)_n	(0,0,1,1)_n

[3,4,3]

A irreducible 4-dimensional finite reflective group is Icositetrachoric group (for icositetracoron), F₄=[3,4,3], order 1152, . The reflection generators matrices are R₀, R₁, R₂, R₃. R₀²=R₁²=R₂²=R₃²=(R₀×R₁)³=(R₁×R₂)⁴=(R₂×R₃)³=(R₀×R₂)²=(R₁×R₃)²=(R₀×R₃)²=Identity.

Chiral icositetrachoric symmetry, [3,4,3]⁺, () is generated by 3 of 6 rotations: S_0,1, S_1,2, S_2,3, S_0,2, S_1,3, and S_0,3. Ionic diminished [3,4,3⁺] group, () is generated by reflection R₀ and rotations S_1,2 and S_2,3. A 12-fold rotaciones en el espacio euclídeo 4-dimensional is generated by W_0,1,2,3, the product of all 4 reflections.

[3,4,3],
	Reflections				Rotations
Name	R₀	R₁	R₂	R₃	S_0,1	S_1,2	S_2,3	S_0,2	S_1,3	S_0,3
Element group
Order	2	2	2	2	3	4	3	2
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&1/2&-1/2&-1/2\\1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$
	(1,−1,0,0)_n	(0,1,−1,0)_n	(0,0,1,0)_n	(−1,−1,−1,−1)_n

[3,4,3],
	Rotoreflection				Double rotation
Name	V_1,2,3	V_0,1,3	V_0,1,2	V_0,2,3	W_0,1,2,3
Element group
Order	6				12
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&-1/2\\1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&1/2&1/2&-1/2\\1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&1/2&-1/2&-1/2\\1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\1/2&-1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$

[[icositetracoron]]

The group [[icositetracoron]] extends [3,4,3] by a 2-fold rotation, T, doubling order to 2304.

[[icositetracoron]],
	Rotation	Reflections
Name	T	R₀	R₁	R₂= TR₁T	R₃= TR₀T
Element group
Order	2	2	2	2	2
Matrix		$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$
		(1,−1,0,0)_n	(0,1,−1,0)_n	(0,0,1,0)_n	(−1,−1,−1,−1)_n

[5,3,3]

Proyección estereográficas
[5,3,3]⁺ 72 order-5 gyrations	[5,3,3]⁺ 200 order-3 gyrations
[5,3,3]⁺ 450 order-2 gyrations	[5,3,3]⁺ all gyrations

The hyper-icosahedral symmetry, [5,3,3], order 14400, . The reflection generators matrices are R₀, R₁, R₂, R₃. R₀²=R₁²=R₂²=R₃²=(R₀×R₁)⁵=(R₁×R₂)³=(R₂×R₃)³=(R₀×R₂)²=(R₀×R₃)²=(R₁×R₃)²=Identity. [5,3,3]⁺ () is generated by 3 rotations: S_0,1= R₀×R₁, S_1,2= R₁×R₂, S_2,3= R₂×R₃, etc.

[5,3,3],
	Reflections
Name	R₀	R₁	R₂	R₃
Element group
Order	2	2	2	2
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&0\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&0\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}&0\\0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\0&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$
	(1,0,0,0)_n	(φ,1,φ−1,0)_n	(0,1,0,0)_n	(0,−1,φ,1−φ)_n

Rank 8

[3^4,2,1]

The E8 Coxeter group, [3^4,2,1], , has 8 mirror nodes, order 696729600 (192x10!). E7 and E6, [3^3,2,1], , and [3^2,2,1], can be constructed by ignoring the first mirror or the first two mirrors respectively.

E8=[3^4,2,1],
	Reflections
Name	R₀	R₁	R₂	R₃	R₄	R₅	R₆	R₇
Element group
Order	2	2	2	2	2	2	2	2
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}3/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4\\-1/4&3/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4\\-1/4&-1/4&3/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4\\-1/4&-1/4&-1/4&3/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4\\-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&3/4&-1/4&-1/4&-1/4\\-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&3/4&-1/4&-1/4\\-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&3/4&-1/4\\-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&3/4\end{smallmatrix}}\right]$
	(1,-1,0,0,0,0,0,0)_n	(0,1,-1,0,0,0,0,0)_n	(0,0,1,-1,0,0,0,0)_n	(0,0,0,1,-1,0,0,0)_n	(0,0,0,0,1,-1,0,0)_n	(0,0,0,0,0,1,-1,0)_n	(0,0,0,0,0,1,1,0)_n	(1,1,1,1,1,1,1,1)_n

Affine rank 2

Affine matrices are represented by adding an extra row and column, the last row being zero except last entry 1. The last column represents a translation vector.

[∞]

The affine group [∞], , can be given by two reflection matrices, x=0 and x=1.

[∞],
	Reflections		Translation
Name	R₀	R₁	S_0,1
Element group
Order	2	2	∞
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&1\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&-1\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Hiperplano	x=0	x=1

Affine rank 3

[4,4]

Plantilla:See

The affine group [4,4], , (p4m), can be given by three reflection matrices, reflections across the x axis (y=0), a diagonal (x=y), and the affine reflection across the line (x=1). [4,4]⁺ () (p4) is generated by S_0,1 S_1,2, and S_0,2. [4⁺,4⁺] () (pgg) is generated by 2-fold rotation S_0,2 and reflexión deslizada (transreflection) V_0,1,2. [4⁺,4] () (p4g) is generated by S_0,1 and R₃. The group [(4,4,2⁺)] () (cmm), is generated by 2-fold rotation S_1,3 and reflection R₂.

[4,4],
	Reflections			Rotations			Glides
Name	R₀	R₁	R₂	S_0,1	S_1,2	S_0,2	V_0,1,2	V_0,2,1
Element group
Order	2	2	2	4		2	∞ (2)
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&2\\0&1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\-1&0&2\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&2\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&-2\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&-1&2\\-1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Hiperplano	y=0	x=y	x=1

[3,6]

The affine group [3,6], , (p6m), can be given by three reflection matrices, reflections across the x axis (y=0), line y=(√3/2)x, and vertical line x=1.

[3,6],
	Reflections			Rotations			Glides
Name	R₀	R₁	R₂	S_0,1	S_1,2	S_0,2	V_0,1,2	V_0,2,1
Element group
Order	2	2	2	3	6	2	∞ (2)
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&{\sqrt {3}}/2&0\\{\sqrt {3}}/2&1/2&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&2\\0&1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&{\sqrt {3}}/2&0\\-{\sqrt {3}}/2&-1/2&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&{\sqrt {3}}/2&-1\\-{\sqrt {3}}/2&1/2&{\sqrt {3}}\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&2\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&{\sqrt {3}}/2&-1\\{\sqrt {3}}/2&-1/2&-{\sqrt {3}}\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&-{\sqrt {3}}/2&2\\-{\sqrt {3}}/2&-1/2&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Hiperplano	y=0	y=(√3/2)x	x=1

[3^[3]]

The affine group [3^[3]] can be constructed as a half group of . R₂ is replaced by R'₂= R₂×R₁×R₂, presented by the hyperplane: y+(√3/2)x=2. The fundamental domain is an triángulo equilátero with edge length 2.

[3^[3]],
	Reflections			Rotations			Glides
Name	R₀	R₁	R'₂= R₂×R₁×R₂	S_0,1	S_1,2	S_0,2	V_0,1,2	V_0,2,1
Element group
Order	2	2	2	3			∞ (2)
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&{\sqrt {3}}/2&0\\{\sqrt {3}}/2&1/2&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&-{\sqrt {3}}/2&3\\-{\sqrt {3}}/2&1/2&{\sqrt {3}}\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&{\sqrt {3}}/2&0\\-{\sqrt {3}}/2&-1/2&2{\sqrt {3}}\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&-{\sqrt {3}}/2&3\\{\sqrt {3}}/2&-1/2&-{\sqrt {3}}\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&{\sqrt {3}}/2&0\\{\sqrt {3}}/2&1/2&-2{\sqrt {3}}\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&-{\sqrt {3}}/2&3\\-{\sqrt {3}}/2&1/2&-{\sqrt {3}}\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Hiperplano	y=0	y=(√3/2)x	y+(√3/2)x=2

Rango afín 4

[4,3,4]

El grupo afín es [4,3,4] (), puede estar dado por cuatro matrices de reflexión. El espejo R₀ se puede colocar en el plano z=0. El espejo R₁ se puede colocar en el plano y=z. El espejo R₂ se puede colocar en el plano x=y. El espejo R₃ se puede colocar en el plano x=1. [4,3,4]⁺ () es generado por S_0,1, S_1,2 y S_2,3.

[4,3,4],
	Reflections				Rotations						Reflexión deslizadas		Eje helicoidal
Name	R₀	R₁	R₂	R₃	S_0,1	S_1,2	S_2,3	S_0,2	S_0,3	S_1,3	T_0,1,2	T_1,2,3	U_0,1,2,3
Element group
Order	2	2	2	2	4	3	4	2			6		∞ (3)
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&2\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&2\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&2\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\-1&0&0&2\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&-2\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Hiperplano	z=0	y=z	x=y	x=1

[[ 4,3,4]]

El grupo extendido [[ 4,3,4]] duplica el orden del grupo, sumando con una matriz de rotación doble T, con un eje fijo a través de los puntos (1,1/2,0) y (1/2,1/2,1/2). Los generadores son {R₀,R₁,T}. R₂= T×R₁×T y R₃= T×R₀×T.

[[ 4,3,4]],
	Rotation	Reflections
Name	T	R₀	R₁	R₂= T×R₁×T	R₃= T×R₀×T
Element group
Order	2	2	2	2	2
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}0&0&-1&1\\0&-1&0&1\\-1&0&0&1\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&2\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Hiperplano	Point (1/2,1/2,1/2) Axis (-1,0,1)	z=0	y=z	x=y	x=1

[4,3^1,1]

El grupo [4,3^1,1] se puede construir a partir de [4,3,4], calculando [4,3,4,1⁺], , como R'₃=R₃×R₂×R₃, con el nuevo R'₃ como una imagen de R₂ a través de R₃.

[4,3^1,1],
	Reflections				Rotations
Name	R₀	R₁	R₂	R'₃	S_0,1	S_1,2	S_1,3	S_0,2	S_0,3	S_2,3
Element group
Order	2	2	2	2	3	3	3	2
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&-1&0&2\\-1&0&0&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&-1&0&2\\0&0&1&0\\-1&0&0&2\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&-1&0&2\\-1&0&0&2\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&2\\0&-1&0&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Hiperplano	z=0	y=z	x=y	x+y=2

[3^[4]]

El grupo [3^[4]] se puede construir a partir de [4,3,4], eliminando el primer y el último espejo, [1⁺,4,3,4,1⁺], , mediante R'₁=R₀×R₁×R₀ y R '₃=R₃×R₂×R₃.

[3^[4]]
	Reflections				Rotations
Name	R'₀	R₁	R₂	R'₃	S_0,1	S_1,2	S_1,3	S_0,2	S_0,3	S_2,3
Element group
Order	2	2	2	2	3	3	3	2
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&-1&0&2\\-1&0&0&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&-1&0&2\\0&0&1&0\\-1&0&0&2\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&-1&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&-1&0&2\\0&0&-1&0\\1&0&0&-2\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&2\\0&-1&0&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Hiperplano	y=-z	y=z	x=y	x+y=2

Referencias

↑ Johnson (2018), 11.6 Subgroups and extensions, p 255, halving subgroups
↑ ^a ^b Johnson (2018), pp.231-236, and p 245 Table 11.4 Finite groups of isometries in 3-space
↑ Johnson (2018), 11.6 Subgroups and extensions, p 259, radical subgroup
↑ Johnson (2018), 11.6 Subgroups and extensions, p 258, trionic subgroups
↑ Conway, 2003, p.46, Table 4.2 Chiral groups II
↑ Coxeter and Moser, 1980, Sec 9.5 Commutator subgroup, p. 124–126
↑ Johnson, Norman W.; Weiss, Asia Ivić (1999). «Quaternionic modular groups». Linear Algebra and Its Applications 295 (1–3): 159-189. doi:10.1016/S0024-3795(99)00107-X.
↑ The Crystallographic Space groups in Geometric algebra, D. Hestenes and J. Holt, Journal of Mathematical Physics. 48, 023514 (2007) (22 pages) PDF [1]
↑ Coxeter, Regular Complex Polytopes, 9.7 Two-generator subgroups reflections. pp. 178–179

Bibliografía

H.S.M. Coxeter:
- Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
  - (Documento 22) Coxeter, H.S.M. (1940), «Regular and Semi Regular Polytopes I», Math. Z. 46: 380-407, S2CID 186237114, doi:10.1007/bf01181449 .
  - (Documento 23) Coxeter, H.S.M. (1985), «Regular and Semi-Regular Polytopes II», Math. Z. 188 (4): 559-591, S2CID 120429557, doi:10.1007/bf01161657 .
  - (Documento 24) Coxeter, H.S.M. (1988), «Regular and Semi-Regular Polytopes III», Math. Z. 200: 3-45, S2CID 186237142, doi:10.1007/bf01161745 .
Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.
Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
- N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. (1966)
- Norman W. Johnson and Asia Ivic Weiss Quadratic Integers and Coxeter Groups PDF Can. J. Math. Vol. 51 (6), 1999 pp. 1307–1336
- N. W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups [3]
Conway, John Horton; Delgado Friedrichs, Olaf; Huson, Daniel H.; Thurston, William P. (2001), «On three-dimensional space groups», Beiträge zur Algebra und Geometrie 42 (2): 475-507, ISSN 0138-4821, MR 1865535 .
John H. Conway and Derek A. Smith, On Quaternions and Octonions, 2003, ISBN 978-1-56881-134-5
The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 Ch.22 35 prime space groups, ch.25 184 composite space groups, ch.26 Higher still, 4D point groups

Datos: Q5179942

[subgroups2-1] Johnson (2018), 11.6 Subgroups and extensions, p 255, halving subgroups

[subgroups-2] Johnson (2018), pp.231-236, and p 245 Table 11.4 Finite groups of isometries in 3-space

[3] Johnson (2018), 11.6 Subgroups and extensions, p 259, radical subgroup

[4] Johnson (2018), 11.6 Subgroups and extensions, p 258, trionic subgroups

[5] Conway, 2003, p.46, Table 4.2 Chiral groups II

[6] Coxeter and Moser, 1980, Sec 9.5 Commutator subgroup, p. 124–126

[7] Johnson, Norman W.; Weiss, Asia Ivić (1999). «Quaternionic modular groups». Linear Algebra and Its Applications 295 (1–3): 159-189. doi:10.1016/S0024-3795(99)00107-X.

[8] The Crystallographic Space groups in Geometric algebra, D. Hestenes and J. Holt, Journal of Mathematical Physics. 48, 023514 (2007) (22 pages) PDF [1]

[9] Coxeter, Regular Complex Polytopes, 9.7 Two-generator subgroups reflections. pp. 178–179

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Revisión del 18:13 23 ago 2022

Grupos reflexivos

Subgrupos

Reducción a la mitad de subgrupos y grupos extendidos

Subgrupos radicales

Subgrupos triónicos

subgrupo triónicos de simetría tetraédrica

Inversión central

Rotaciones y reflexiones rotatorias

Subgrupos de conmutadores

Subgrupos de ejemplo

Subgrupos de ejemplo de rango 2

Rango 3 Subgrupos de ejemplos euclidianos

Subgrupos hiperbólicos de ejemplo

Simetría extendida

Rango uno grupos

Clasifique dos grupos

Clasifique tres grupos

Afín

Clasifique cuatro grupos

Grupos de puntos

Subgrupos

Grupos espaciales

Grupos de línea

Grupo duoprismático

Grupos de papel tapiz

Reflexiones complejas

Cálculo con matrices de reflexión como generadores de simetría

Rango 2

Rango 3

[p,2]

[3,3]

[4,3]

[5,3]

Rango 4

[p,2,q]

[[ p,2,p]]

[3,3,3]

[[pentácoron]]

[4,3,3]

[3,31,1]

[3,4,3]

[[icositetracoron]]

[5,3,3]

Rank 8

[34,2,1]

Affine rank 2

[∞]

Affine rank 3

[4,4]

[3,6]

[3[3]]

Rango afín 4

[4,3,4]

[[ 4,3,4]]

[4,31,1]

[3[4]]

Referencias

Bibliografía

[3,3^1,1]

[3^4,2,1]

[3^[3]]

[4,3^1,1]

[3^[4]]