Subgrupo conmutador

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En matemáticas, el subgrupo conmutador de un grupo G, es el subgrupo generado por todos los elementos de la forma

[a, b]=aba^{-1}b^{-1}

denominado conmutador de a con b.

Al subgrupo conmutador también se le conoce como subgrupo derivado de G y se simboliza por G' o [G, G]. Esto significa que si x\in [G,G] entonces x se escribe como una palabra de conmutadores esto es,

x=a_1b_1{a_1}^{-1}{b_1}^{-1}a_2b_2{a_2}^{-1}{b_2}^{-1}\cdots a_rb_r{a_r}^{-1}{b_r}^{-1}.

Se puede demostrar que [G,G] es un subgrupo normal y que el grupo cociente G/[G,G] es abeliano. El subgrupo conmutador es el menor que verifica esa propiedad, es decir: si H \vartriangleleft G verifica que G/H es abeliano entonces [G,G]\subseteq H.

La construcción G/[G,G] recibe el nombre de abelianización de G.

Proposiciones[editar]

Baumslag y Chandler en su Teoría de grupos enuncian las siguientes proposiciones:

  • El inverso de un conmutador es un conmutador.
  • G'-subgrupo derivado de G- es un subgrupo normal en G.
  • G es conmutativo si, sólo si G' ={e}, i.e. G es conmutativo si y solo si su subgrupo conmutador es el subgrupo que contiene únicamente al elemento neutro.

Bibliografía[editar]

  • Rotman, Joseph J. (1999). An Introduction to the Theory of Groups. Springer. ISBN 0387942858. 
  • Lang, Serge (2005). Algebra. Springer. ISBN 038795385X.