Subgrupo conmutador

En matemáticas, el subgrupo conmutador de un grupo G, es el subgrupo generado por todos los elementos de la forma

$[a, b]=aba^{-1}b^{-1}$

denominado conmutador de a con b

Al subgrupo conmutador también se le conoce como subgrupo derivado de G y se simboliza por $G'$ o $[G, G]$. Esto significa que si $x\in [G,G]$ entonces x se escribe como una palabra de conmutadores esto es,

$x=a_1b_1{a_1}^{-1}{b_1}^{-1}a_2b_2{a_2}^{-1}{b_2}^{-1}\cdots a_rb_r{a_r}^{-1}{b_r}^{-1}$

Se puede demostrar que [G,G] es un subgrupo normal y que el grupo cociente $G/[G,G]$ es abeliano

La construcción $G/[G,G]$ recibe el nombre de abelianización de G.

Proposiciones

Baumslag y Chandler en su Teoría de grupos enuncian las siguientes proposiciones:

• El inverso de un conmutador es un conmutador.
• G'-subgrupo derivado de G- es un subgrupo normal en G.
• G es conmutativo si, sólo si G' ={e}, i.e. G es conmutativo s.s.s. su subgrupo conmutador es el subgrupo que contiene únicamente al elemento neutro.

Bibliografía

• Rotman, Joseph J. (1999). An Introduction to the Theory of Groups. Springer. ISBN 0387942858 Ficha en OpenLibrary. 
• Lang, Serge (2005). Algebra. Springer. ISBN 038795385X Ficha en OpenLibrary.